Geodezja i Kartografia

WSI-E Rzeszów

Rok II semestr III

ĆWICZENIE II

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Mateusz Frydrych

DANE:

i	j	nij	hij	μij	Pij
B	1	15	-30,5083	0,003	0,07
A	1	10	19,3841	0,003	0,10
A	3	11	24,4242	0,004	0,09
C	2	12	10,1154	0,003	0,08
1	2	7	20,5156	0,003	0,14
2	3	5	-15,4702	0,002	0,20
3	1	9	-5,0428	0,003	0,11

Tabela 1. Dane do obliczeń

Wysokości reperów nawiązania:

H_A=200,963

H_B=250,852

H_C=230,741

WARIANT I

1.Tworzymy macierze A, A^T, P oraz L

1	0	0
1	0	0
0	0	1
0	1	0
-1	1	0
0	-1	1
1	0	-1
	A

0,07	0	0	0	0	0	0
0	0,10	0	0	0	0	0
0	0	0,09	0	0	0	0
0	0	0	0,08	0	0	0
0	0	0	0	0,14	0	0
0	0	0	0	0	0,20	0
0	0	0	0	0	0	0,11
			P

220,344
220,347
225,387
240,856
20,516
-15,470
-5,043
L

1	1	0	0	-1	0	1
0	0	0	1	1	-1	0
0	0	1	0	0	1	-1
			A^T

2. Korzystając ze wzoru A^T*P*A = B oraz A^T*P*L = W otrzymujemy kolejno:

0,42	-0,14	-0,11
-0,14	0,42	-0,20
-0,11	-0,20	0,40
	B

33,2332
26,0962
17,9560
W

3. Korzystając ze wzoru B^-1*W = X wyliczamy szukane wysokości:

220,344
240,858
225,388
X

H1= 220,344m
H2= 240,858m
H3= 225,388m

3,71	2,25	2,14
2,25	4,42	2,82
2,14	2,82	4,48
	B^-1

33,2332
26,0962
17,9560
W

4.Teraz ze wzoru V=A*X-L otrzymujemy poprawki oraz sprawdzamy zależność V^T*P*V=minimum.

0,001
-0,003
0,000
0,002
-0,002
0,000
0,000
V

V^T*P*V=	0,000002

WARIANT II

Przesunięcie wartości niewiadomych do ich wartości przybliżonych.

1.Przybliżamy sobie wartości niewiadomych wysokości i tworzymy macierz X⁰

220
240
230
X^0

2.Ze wzoru L-A*X^o otrzymujemy macierz ∆L:

0,3437
0,3471
-4,6128
0,8564
0,5156
-5,4702
4,9572
∆L

220
220
230
240
20
-10
-10
A*X^0

220,344
220,347
225,387
240,856
20,516
-15,470
-5,043
L

3.Otrzymaną macierz ∆L podstawiamy do wzoru A^T*P*∆L = ∆W i mamy:

0,3437
0,3471
-4,6128
0,8564
0,5156
-5,4702
4,9572
∆L

0,067	0,100	0,000	0,000	-0,143	0,000	0,111
0,000	0,000	0,000	0,083	0,143	-0,200	0,000
0,000	0,000	0,091	0,000	0,000	0,200	-0,111
			A^T*P

0,53477
1,23906
-2,06419
∆W

4.Podstawiamy do wzoru B^-1*∆W = ∆x i mamy:

0,344
0,858
-4,612
∆X

3,71	2,25	2,14
2,25	4,42	2,82
2,14	2,82	4,48
	B^-1

0,53477
1,23906
-2,06419
∆W

5.Żeby obliczyć szukane wysokości wystarczy wykonać działanie X⁰+∆x i otrzymamy:

220,344
240,858
225,388
H

H1= 220,344m
H2= 240,858m
H3= 225,388m

6.Pozostaje wyliczyć poprawki ze wzoru A*∆x-∆L = V

0,001
-0,003
0,000
0,002
-0,002
0,000
0,000
V

WARIANT III

Równoważenia poprawek

1.Tworzymy macierz P^1/2

0,26	0	0	0	0	0	0
0	0,32	0	0	0	0	0
0	0	0,30	0	0	0	0
0	0	0	0,28	0	0	0
0	0	0	0	0,37	0	0
0	0	0	0	0	0,45	0
0	0	0	0	0	0	0,33
			P^1/2

2.Według wzorów tworzymy kolejno macierze:

0,3	0,0	0,0
0,3	0,0	0,0
0,0	0,0	0,3
0,0	0,3	0,0
-0,4	0,4	0,0
0,0	-0,4	0,4
0,3	0,0	-0,3
	a

0,0887
0,1098
-1,3908
0,2472
0,1949
-2,4463
1,6524
∆l

0,0002
-0,0008
0,0001
0,0006
-0,0007
-0,0002
-0,0001
r

a= P^1/2*A

∆l= P^1/2*∆L

r= P^1/2*V

3.Sprawdzamy macierz r wzorem r=a*∆x-∆l

0,0887
0,1098
-1,3908
0,2472
0,1949
-2,4463
1,6524
∆l

0,089
0,109
-1,391
0,248
0,194
-2,447
1,652
a*∆x

0,0002
-0,0008
0,0001
0,0006
-0,0007
-0,0002
-0,0001
r

-

4.Sprawdzamy czy a^T*a = B oraz czy a^T*∆l = ∆W

0,3	0,0	0,0
0,3	0,0	0,0
0,0	0,0	0,3
0,0	0,3	0,0
-0,4	0,4	0,0
0,0	-0,4	0,4
0,3	0,0	-0,3
	a

0,3	0,3	0,0	0,0	-0,4	0,0	0,3
0,0	0,0	0,0	0,3	0,4	-0,4	0,0
0,0	0,0	0,3	0,0	0,0	0,4	-0,3
			a^T

0,42	-0,14	-0,11
-0,14	0,42	-0,2
-0,11	-0,2	0,4
	B

0,0887
0,1098
-1,3908
0,2472
0,1949
-2,4463
1,6524
∆l

0,3	0,3	0,0	0,0	-0,4	0,0	0,3
0,0	0,0	0,0	0,3	0,4	-0,4	0,0
0,0	0,0	0,3	0,0	0,0	0,4	-0,3
			a^T

0,535
1,239
-2,064
∆W

4.Możemy przystąpić do kolejnego kroku jakim jest wyliczenie macierzy ∆x. Musimy w tym celu przekształcić wzór a^T*a*∆x = a^T*∆l, otrzymamy:

∆x=(a^T*a)^-1 * a^T*∆l

3,69110	2,24926	2,13969
2,24926	4,49565	2,86637
2,13969	2,86637	4,52160
	(a^T*a)^-1

0,535
1,239
-2,064
at*∆l

0,344
0,858
-4,612
∆X

5.Żeby obliczyć szukane wysokości wystarczy wykonać działanie X⁰+∆x i otrzymamy:

220,344
240,858
225,388
H

H1= 220,344m
H2= 240,858m
H3= 225,388m

BŁĄD ŚREDNI

1.Obliczamy M_o:

Mo=	0,000623303

2.Z własności Q=B^-1 mamy macierz Q.

3,71	2,25	2,14
2,25	4,42	2,82
2,14	2,82	4,48
	Q

M1=	0,001
M2=	0,001
M3=	0,001

3.Obliczamy błędy dla poszczególnych wysokości:

4. Zestawienie wyników:

Nr	H	µ
1	220,344	0,001
2	240,858	0,001
3	225,388	0,001

Algorytm Choleskiego – Banachiewicza

	R		Y		q
	B		∆W		I
0,649	-0,220	-0,171	0,825	1,542
0,421	-0,143	-0,111	0,535	1
	0,615	-0,387	2,312	0,553	1,627
	0,426	-0,200	1,239	0	1
		0,472	-2,178	1,012	1,333	2,118
		0,402	-2,064	0	0	1
			0,001	0,344	0,858	-4,612
			10,768
0,344	0,858	-4,612		3,707	2,248	2,143
					4,424	2,822
						4,484
				0,344	0,858	-4,612

1,54	0	0		0,535		0,825
0,55	1,63	0	*	1,239	=	2,312
1,01	1,33	2,12		-2,064		-2,178
	q			∆W		Y

0,65	-0,22	-0,17		0,344		0,825
0,00	0,61	-0,39	*	0,858	=	2,312
0,00	0,00	0,47		-4,612		-2,178
	R			∆X		Y