Zadanie 1
Ruch punktu w przestrzeni dany jest układem równań: gdzie b,c,d – dane stałe dodatnie
a) Znaleźć i narysować tor punktu .
b) Znaleźć wartość prędkości , z jaką punkt oddala się od początku układu współrzędnych (0,0,0)
ad.a)
podnosimy pierwsze dwa równania do kwadratu :
dodajemy stronami :
korzystając z tego że :
podstawiamy obliczone wcześniej otrzymując :
dla y = 0 otrzymujemy z :
(parabola)
w związku z czym dostajemy paraboloidę obrotową :
dzieląc pierwsze dwa równania przez siebie :
gdzie ϕ
Odp: Punkt porusza się po powierzchni paraboloidy która jest przecięciem paraboloidy i płaszczyzny wyznaczonej przez kąt ϕ prostą i oś Z .
ad.b)
wektor prędkości :
moduł wektora wodzącego :
moduł wektora prędkości :
Zadanie 2
Ruch punktu materialnego opisują równania : ωt ; ωt
a) Znaleźć składową styczną przyśpieszenia .
b) Znaleźć składową normalną przyśpieszenia .
c) Znaleźć wartość promienia krzywizny toru ρ wyrażoną w funkcji współrzędnych punktu .
ad.a)
prędkość :
moduł prędkości :
przyspieszenie :
moduł przyśpieszenia :
wektor styczny :
wobec czego przyśpieszenie styczne :
ostatecznie :
ad.b)
przyspieszenie normalne obliczamy z zależności :
ostatecznie :
ad.c)
korzystając z wzoru Serre-Freneta otrzymujemy :
gdzie - wektor jednostkowy normalny
s - długość łuku równanie parametryczne krzywej
w związku z czym z tego wynika zależność :
Zadanie 3
Obwód RLC zasilany jest przez źródło równanie na natężenie prądu ma postać :
Znaleźć . Szukamy rozwiązania w postaci . Wyrazić poprzez
gdzie :
pierwsza pochodna :
druga pochodna :
podstawiając do równania na natężenie prądu otrzymujemy :
wymnażając i dzieląc przez ω :
uwzględniając i dzieląc przez :
korzystając z wzorów trygonometrycznych na sumę kątów :
wymnażając i uwzględniając że :
porównując wyrazy przy i dostajemy układ równań :
grupując wyrazy z i :
z drugiego równania wnioskujemy że :
podnosząc równania do kwadratu otrzymujemy:
dodając stronami otrzymujemy :
ostatecznie :
Zadanie 4
Wyznaczyć masę oraz prędkość elektronu którego energie kinetyczna wynosi . Energia spoczynkowa elektronu .
energia kinetyczna :
dzieląc przez otrzymujemy :
gdzie :
podstawiając :
podnosząc do kwadratu :
przekształcając :
ostatecznie :
Zadanie 5
Ciało o masie m rzucone z prędkością początkową pod kątem do poziomu podlega działaniu siły ciężkości i siły oporu powietrza R . Zakładając że opór powietrza jest proporcjonalny do prędkości , scałkować równanie ruchu ciała , wyznaczyć jego maksymalne wzniesienie h , a także odległość poziomą od punktu maksymalnego wzniesienia .
ze względu na x :
przekształcając :
całkując :
ostatecznie :
wyznaczając x(t) :
ostatecznie :
ze względu na y :
przekształcając :
całkując :
ostatecznie :
wyznaczając y(t) :
ostatecznie :
Zadanie 6
Określić okres drgań w zależności od energii E dla ruchu cząstki o masie m w polu o energii potencjalnej :
wyjściowe równanie :
czyli :
całkując lewą stronę równania :
niech :
otrzymujemy :
Zadanie 7
Znaleźć rozwiązanie równania ruchu oscylatora harmonicznego dla czasu , gdy działa zewnętrzna siła wymuszająca :
Zadanie rozwiązać metodą zszywania rozwiązań w chwili t = T , przy założonych warunkach początkowych :
dla I obszaru :
otrzymujemy :
podstawiając pierwszą i drugą pochodną do wzoru wyjściowego :
wymnażając :
podstawiając do wzoru na :
ostatecznie :
dla I I obszaru :
zszywając rozwiązania : tzn.
i
podstawiając :
oraz :
rozwiązując otrzymujemy :
Zadanie 8
Ciało o masie m spada w powietrzu bez prędkości początkowej . Zakładając że opór powietrza jest proporcjonalny do kwadratu prędkości , obliczyć prędkość i położenie ciała w funkcji czasu . Do jakiej granicy dąży prędkość z upływem czasu ?
równanie wyjściowe :
grupując elementy :
całkując :
korzystając z zależności :
odnosząc to do naszej całki :
biorąc pod uwagę licznik :
grupując wyrazy wolne i z niewiadomą otrzymujemy układ równań :
podstawiając do całki :
ostatecznie :
niech :
wracając do równania :
gdzie const.
przekształcając :
niech :
podstawiając i przekształcając :
wracając do podstawień :
mnożąc przez otrzymujemy :
korzystając z zależności :
ostatecznie :
granica do jakiej dąży prędkość :
prędkość :
przekształcając i całkując :
ostatecznie :
Zadanie 9
Kula o promieniu R pływa w cieczy o gęstości przy czym zanurzona jest w niej do połowy swej objętości . Jaką pracę należy wykonać by wydobyć kulę nad poziom cieczy ?
równanie wyjściowe :
wzór na objętość wycinka kuli :
wobec czego :
masa kuli :
podstawiając :
przekształcając :
ostatecznie :
wracając do całki :
ostatecznie :
Zadanie 10
Znaleźć rozwiązanie równania ruchu oscylatora harmonicznego dla czasu , gdy działa zewnętrzna siła wymuszająca :
przyjąć że :
; w punkcie ciągłe oraz ciągłe
obszar I :
postulowane rozwiązanie :
ponieważ :
otrzymujemy :
podstawiając do równania :
obszar I I :
postulowane rozwiązanie :
podstawiając do równania :
upraszczając otrzymujemy :
zestawiając oba równania :
poprzez analogię :
w związku z czym :
korzystając z ciągłości funkcji :
otrzymujemy :
oraz :
gdzie :
ostatecznie :
Zadanie 11
Określić okres drgań w zależności od energii dla ruchu cząstki o masie m w polu o potencjale
z zasady zachowania energii :
przekształcając :
przekształcając :
punkt zwrotu dla :
wobec czego :
podstawienie :
przekształcając :
wobec czego :
wracając do całki :
- nazywamy funkcją Beta-Eulera
w naszym przypadku :
ostatecznie :
Zadanie 12
Elektron porusza się pod wpływem napięcia . Jaką uzyskuje prędkość :
a) według wzoru klasycznego
b) według wzoru relatywistycznego
ad.a)
przemnażając przez pod pierwiastkiem :
ostatecznie :
ad.b)
ostatecznie :
Zadanie 13
Ruch cząstki relatywistycznej o ładunku q w polu magnetycznym :
siła Lorentza :
pęd relatywistyczny :
wracając :
w ruchu po okręgu :
podstawiając :
ostatecznie :
Zadanie 14
Wyprowadzić wzór na energię całkowitą wychodząc z pędu relatywistycznego .
pęd relatywistyczny :
mnożąc przez c i podnosząc do kwadratu :
dodając po obu stronach :
sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika :
biorąc pod uwagę że :
dostajemy :
ostatecznie :
dla (w przypadku fotonu) mamy :
Zadanie 15
Obliczyć energię , pęd oraz masę fotonu promieniowania rentgenowskiego o długości fali λ=1Ĺ .
podstawiając :
ostatecznie dzieląc przez ładunek elektronu :
otrzymujemy :
ostatecznie :
masa :
ostatecznie :
Zadanie 16
Wyznaczyć natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kuli o gęstości objętościowej ładunku zmieniającej się według wzoru ; ; . Promień kuli jest równy R ; w całym obszarze ε = const. .
wyjściowe równanie dla obszaru I :
podstawiając :
r = const. na powierzchni kuli
podstawiając :
objętość kuli :
wracając do naszego wzoru :
ostatecznie :
ostatecznie :
dla r < R
dla obszaru I I :
ostatecznie :
Zadanie 17
Walec o promieniu a naładowany jest ze stałą gęstością przestrzenną . Znaleźć wektor indukcji wewnątrz i na zewnątrz walca .
element powierzchni :
zestawiając obie całki :
dla r > a zmiana granic całkowania :
ponownie zestawiając obie całki :
zestawiając wyniki :
gdzie :
jest lokalną gęstością ładunku .
Zadanie 18
Płaszczyzna naładowana jest ze stałą gęstością powierzchniową . Wyznaczyć pole .
ostatecznie :
czyli :
w związku z czym :
Zadanie 19
Ładunek q jest rozłożony równomiernie wewnątrz nieprzewodzącej kuli o promieniu R . Wykazać że potencjał w odległości r od środka kuli (r < R) wyraża się następującym równaniem :
wyjściowe równania :
we współrzędnych sferycznych :
odnosząc to do obszaru I I :
mnożąc przez oraz :
całkując prawą stronę równania :
mnożąc przez :
całkując :
założenie:
wobec czego :
dla obszaru I I :
całkując prawą stronę :
całkując :
bo kiedy to a dla r = 0 ma skończoną wartość .
ostatecznie :
korzystając z ciągłości potencjału :
podstawiając R :
wracając do naszego równania :
ostatecznie :
po uproszczeniu i sprowadzeniu do wspólnego mianownika :
ostatecznie :
Zadanie 20
Obliczyć potencjał i natężenie pola w punkcie odległym o l od środka tarczy .
pierścień
podstawiając :
podstawiając :
całkując :
podstawiając za :
uwzględniając to w całce :
otrzymujemy :
C = 0 bo dla
dla punktu odległego o l :
natomiast :
ostatecznie dla punktu odległego o l :
Zadanie 21
Obliczyć potencjał w punkcie P oddalonym o od ładunku q rozłożonego równomiernie na nici o długości 2a
podstawienie :
podstawiając do wzoru :
ostatecznie :
Zadanie 22
czyli :
zatem :
;
ostatecznie :
Zadanie 23
Wyznaczyć masę oraz prędkość elektronu którego energie kinetyczna wynosi . Energia spoczynkowa elektronu .
energia kinetyczna :
dzieląc przez otrzymujemy :
gdzie :
podstawiając :
podnosząc do kwadratu :
przekształcając :
ostatecznie :
Zadanie 24
Określić okres drgań w zależności od energii E dla ruchu cząstki o masie m w polu o energii potencjalnej :
wyjściowe równanie :
czyli :
dla zera w mianowniku punkt zwrotu :
ostatecznie :
całkując lewą stronę równania :
przekształcając :
korzystając z zależności :
ostatecznie otrzymujemy :
czyli :
ostatecznie :