CAŁKA NIEWŁAŚCIWA I RODZAJU

∫_a^∞f(x)dx = ∫_a^Tf(x)dx $\left\{ \begin{matrix} < \infty,\ \ \ zbiezna\ \ \ \ \\ = \infty,\ \ rozbiezna \\ \end{matrix} \right.\ $

KRYTERIUM ZBIEŻNOŚCI

$\int_{a}^{\infty}\frac{\text{dx}}{x^{p}} = \ \left\{ \begin{matrix} < \infty,\ \ p > 1,\ \ \ \ \ zbiezna \\ = \infty,\ \ p \leq 1,\ \ rozbiezna \\ \end{matrix} \right.\ $ $\int_{0}^{\infty}q^{\text{x\ }}dx = \left\{ \begin{matrix} < \infty,\ \ 0 < q < 1,\ \ \ zbiezna \\ = \infty,\ q \geq 1,\ \ \ rozbiezna \\ \end{matrix} \right.\ $

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE

 0 ≤ g(x)≤f(x)

$\int_{a}^{\infty}{f\left( x \right) < \infty\ \overset{\Rightarrow}{}}\int_{a}^{\infty}{g\left( x \right) < \infty\ }\ \ (jezeli\ wieksza\ jest\ zbiezna\ to\ mniejsza\ tez)$

$\int_{a}^{\infty}{g\left( x \right) = \infty\ \overset{\Rightarrow}{}}\int_{a}^{\infty}{f\left( x \right) = \infty\ }\ \ (jezeli\ mniejsza\ jest\ rozbiezna\ to\ wieksza\ tez)$

KRYTERIUM ILORAZOWE

f(x), g(x)≥0

$\operatorname{}{\frac{f(x)}{g\left( x \right)} = K\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 < K < \infty}$

$\int_{a}^{\infty}{f\left( x \right)dx < \infty\ \overset{\Rightarrow}{}}\int_{a}^{\infty}{g\left( x \right)dx < \infty\ }$

WARTOŚĆ GŁÓWNA

 ∫_−T^Tf(x)dx

CAŁKA NIEWŁAŚCIWA II RODZAJU

f(x) = ± ∞

∫_a^bf(x)dx = ∫_a + ε^bf(x)dx

KRYTERIUM ZBIEŻNOŚĆI

$\text{\ \ }\int_{0}^{1}{\frac{\text{dx}}{x^{p}} =}\ \left\{ \begin{matrix} < \infty,\ \ 0 < p < 1,\ \ \ \ \ \text{zbie}z\text{na} \\ = \infty,\ \ p \geq 1,\ \ \ \ \ \ \ \text{rozbie}z\text{na} \\ \end{matrix} \right.\ $

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE

0 ≤ f(x) ≤ g(x) dla x ∈ (a,b]

$\int_{a}^{b}{g\left( x \right)\text{dx} < \infty\ \overset{\Rightarrow}{}}\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx} < \infty\ }$

KRYTERIUM ILORAZOWE

$\operatorname{}{\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = G\ \ \ \ \ \ \ \ 0 < G < \infty}$  

$\ \int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx} < \infty\ \overset{\Leftrightarrow}{\ }}\int_{a}^{b}{g\left( x \right)\text{dx} < \infty\ }$

SZEREGI

KRYTERIUM CAŁKOWE

Jeżeli funkcja  jest dodatnia i malejąca w przedziale  i jeżeli  to szereg $\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka 
 I = ∫_n0^∞f(x)dx jest zbieżna.

KRYTERIUM ZBIEŻNOŚCI

$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}\ \left\{ \begin{matrix} < \infty,\ \ p > 1,\ \ \ \ \ \text{zbie}z\text{ny} \\ = \infty,\ \ p \leq 1,\ \ \text{rozbie}z\text{ny} \\ \end{matrix} \right.\ $ $\sum_{n = 0}^{\infty}q^{\text{n\ }}\left\{ \begin{matrix} < \infty,\ \left| q \right| < 1,\ \ \ zbiezny \\ = \infty,\ \left| q \right| \geq 1,\ \ \ rozbiezny \\ \end{matrix} \right.\ $

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE

 0 ≤ a_n ≤ b_n

$\sum_{}^{}b_{n} < \infty\ \overset{\Rightarrow}{}\sum_{}^{}a_{n} < \infty\ $  (jezeli wiekszy jest zbiezny to mniejszy tez)

$\sum_{}^{}a_{n} = \infty\ \overset{\Rightarrow}{}\sum_{}^{}b_{n} = \infty$ (jezeli mniejszy jest rozbiezny to wiekszy tez)

KRYTERIUM ILORAZOWE

$a_{n},b_{n} \geq 0\operatorname{}{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\operatorname{}{\frac{a_{n}}{b_{n}} = g\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}0 < g < \infty}$

$\sum_{}^{}a_{n} < \infty\ \overset{\Leftrightarrow}{}\sum_{}^{}b_{n} < \infty$

KRYTERIUM D’ALEMBERTA

$a_{n} \neq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \operatorname{}\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = g$ $\ \left\{ \begin{matrix} \ \\ g < 1,\ \ \ \ \ \sum_{}^{}a_{n} < \infty\ \ \\ g > 1,\ \ \ \ \ \ \sum_{}^{}a_{n} = \infty \\ \end{matrix} \right.\ $

KRYTERIUM CAUCHY’EGO

a_n ≠ 0        $\operatorname{}{\sqrt[n]{\left| a_{n} \right|\ } = g\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \ \\ g < 1,\ \ \ \ \ \sum_{}^{}a_{n} < \infty\ \ \\ g > 1,\ \ \ \ \ \ \sum_{}^{}a_{n} = \infty \\ \end{matrix} \right.\ }$

ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WARUNKOWA

$\sum_{}^{}a_{n}$ jest bezwzględnie zbieżna jeżeli $\sum_{}^{}{\left| a_{n}\ \right| < \infty}$. Jeżeli a_n jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, to mówimy, że jest warunkowo zbieżny

KRYTERIUM LEIBNIZA

Jeżeli b_n maleje do 0, wtedy:

$\sum_{n = 0}^{\infty}{{( - 1)}^{n} \bullet \ b_{n} < \infty}$, ponadto:

$\ \left| \sum_{n = 0}^{N}{{( - 1)}^{n} \bullet \ b_{n} - S} \right|\ \leq$ b_n + 1,

gdzie S=$\ \sum_{n = 0}^{\infty}{{( - 1)}^{n} \bullet \ b_{n}}$

(taki szereg nazywamy szeregiem naprzemiennym)

SZEREGI POTĘGOWE
$\sum_{n = 0}^{}{a_{n} \bullet x^{n}}$

Szereg potęgowy jest zbieżny dla n ∈R jeżeli $\sum_{n = 0}^{}{a_{n} \bullet x_{0}^{n}} < \infty$

Tw. CAUCHYEGO-HADAMARDA

Szereg jest zbieżny dla x ∈(−R, R)

$R = \operatorname{}\frac{1}{\sqrt[n]{\left| a_{n} \right|}} = \operatorname{}\frac{\left| a_{n} \right|}{\left| a_{n + 1} \right|}$

$\sum_{}^{}a_{n} < \infty\ \text{dla}\ x \in ({\text{\ \ }x}_{0} - R,{\text{\ \ }x}_{0} + R)$

Szereg jest rozbieżny dla x∈(−∞, − R)∪(R, ∞)

UOGÓLNIENIE

Szereg potęgowy o środku w x₀ to $\sum_{n = 0}^{\infty}{\ a_{n} \bullet {(x - x_{0})}^{n}\ }$

Jeżeli funkcja f(x) = $\sum_{n = 0}^{\infty}{\ a_{n} \bullet x^{n}\ }$dla x ∈(−R, R) to szereg jest wyznaczony jednoznacznie, dokładniej: $a_{n} = \frac{f^{n}(0)}{n!}$

TWIERDZENIE O RÓŻNICZKOWANIU SZEREGU

Jeżeli f(x) = $\sum_{n = 0}^{\infty}{\ a_{n} \bullet x^{n}\ }$dla x ∈(−R, R), wtedy

f’(x) = $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ n}{\bullet a}_{n} \bullet x^{n - 1}\ }$dla x ∈(−R, R) (różniczkujemy element po elemencie)

TWIERDZENIE O CAŁKOWANIU SZEREGU

Jeżeli f(x) = $\sum_{n = 0}^{\infty}{\ a_{n} \bullet x^{n}\ }$ dla x ∈(−R, R), wtedy

$\int_{}^{}{f(x)}dx = \sum_{n = 0}^{\infty}{\ \frac{a_{n} \bullet x^{n + 1}}{n + 1} + c\ }$

WZORY MACLAURENA
$\sum_{n = 0}^{\infty}{\ x^{n} = \frac{1}{1 - x}\text{\ \ dla\ }\left| x \right| < 1}$
$\sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{\ x^{n}}{n!} = \ e^{x}\ dla\ x \in R}$
$\sum_{n = 0}^{\infty}{\ \left( - 1 \right)^{n}\frac{x^{2n + 1}}{\left( 2n + 1 \right)!}\ = \sin x\ }$
$\sum_{n = 0}^{\infty}\begin{matrix} \left( - 1 \right)^{n}\frac{\ x^{2n}}{\left( 2n \right)!} = \ \cos x\ \\ \ \\ \end{matrix}$

$$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{{( - 1)}^{n + 1}}{n}x^{n} = \ln\left( 1 + x \right),\ gdzie - 1 < x \leq 1$$

TW. o całkowaniu szeregu do zbieżnego szeregu geometrycznego $\sum_{k = 0}^{\infty}{x^{k},\ gdz\text{ie\ }\left| x \right|} < 1$

$$\int_{0}^{x}{\left( \sum_{k = 0}^{\infty}t^{k} \right)dt = \sum_{k = 0}^{\infty}{\int_{0}^{x}t^{k}}}dt = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^{k + 1}}{k + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$$

TW.o różniczkowaniu szeregu do zbieżnego szeregu geometrycznego $\sum_{k = 0}^{\infty}{x^{k},\ gdz\text{ie\ }\left| x \right|} < 1$

$$\left( \sum_{n = 0}^{\infty}x^{n} \right)^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{nx}^{n - 1},\ gdzie\ \left| x \right|} < 1$$

TW. o rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy

Jeśli R_n(x) = 0, gdzie $R_{n} = \frac{f^{\left( n \right)}\left( c \right)}{n!}{(x - x_{0})}^{n}$ to $f\left( x \right) = \sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{f^{\left( n \right)}\left( x_{0} \right)}{n!}{(x - x_{0})}^{n}}$ dla każdego xx ∈ O(x₀,  δ)

DODATKOWO

Objętość bryły powstałej z obrotu V = 2π∫_a^bf²(x)dx

Pole powierzchni powstałej z obrotu $S = 2\pi\int_{a}^{b}{f(x)}\sqrt{1 + \left\lbrack f^{'}(x) \right\rbrack^{2}}\text{dx}$

$$\int_{}^{}e^{2x} = \frac{e^{2x}}{2} + C$$

$$\operatorname{}\frac{e^{x} - 1}{x} = 1$$

cos2x = cos²x − sin²x

Wzory na całki

Wzory Granice

Tablica wartości trygonometrycznych