1

Pochodne funkcji elementarnych

(c)

0

= 0

(x

α

)

0

= αx

α−1

(sin x)

0

= cos x

(cos x)

0

= − sin x

(tan x)

0

=

1

cos

2

x

= 1 + tan

2

x

(cot x)

0

=

−1

sin

2

x

= −1 − cot

2

x

(a

x

)

0

= a

x

ln a

(e

x

)

0

= e

x

(log

a

x)

0

=

1

x ln a

(ln x)

0

=

1

x

(arcsin x)

0

=

1

√

1−x

2

(arccos x)

0

=

−1

√

1−x

2

(arctan x)

0

=

1

1+x

2

(arc ctg x)

0

=

−1

1+x

2

(sinh x)

0

= cosh x

(cosh x)

0

= sinh x

(tanh x)

0

=

1

cosh

2

x

(coth x)

0

=

−1

sinh

2

x

2

Wzory na podstawowe całki

R x

n

dx =

x

n+1

n+1

+ C

R

1

x

dx = ln |x| + C

R sin xdx = − cos x + C
R cos xdx = sin x + C
R

dx

cos

2

x

= tan x + C

R

dx

sin

2

x

= − cot x + C

R a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

R e

x

dx = e

x

+ C

R

dx

1+x

2

= arctan x + C

R

dx

√

1−x

2

= arcsin x + C

R sinh xdx = cosh x + C
R cosh xdx = sinh x + C
R

dx

cosh

2

x

= tanh x + C

R

dx

sinh

2

x

= − coth x + C

R

f

0

(x)

f (x)

= ln |f (x)| + C

3

Dodatkowe wzory całek

R

dx

x

2

+a

2

=

1
a

arctan

x
a

+ C

R

dx

x

2

−a

2

=

1

2a

ln





x−a
x+a





+ C

R

dx

a

2

−x

2

=

1

2a

ln





a+x
a−x





+ C

R

dx

√

a

2

−x

2

= arcsin

x
a

+ C

R

√

a

2

− x

2

=

a

2

2

arcsin

x
a

+

x
a

√

a

2

− x

2

+ C

R

dx

√

x

2

+a

= ln




x +

√

x

2

+ a




+ C

R

√

x

2

+ adx =

a
2

ln




x +

√

x

2

+ a




+

x

2

√

x

2

+ a + C

4

Uniwersalne podstawienie trygo-
nometryczne

Jeśli t = tan

x

2

to dx =

2dt

1+t

2

sin x =

2t

1+t

2

cos x =

1−t

2

1+t

2

tan x =

2t

1−t

2

cot x =

1−t

2

2t

5

Całka oznaczona

1. Długość łuku krzywej y = f (x) dla a ¬ x ¬ b wyraża

wzór:
l =

R

b

a

p1 + f

0

(x)

2

dx

2. Długość łuku krzywej określonej parametrycznie x =

x(t), y = y(t) dla α ¬ t ¬ β wyraża wzór:

l =

R

β

α

p(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt

3. Objętość bryły powstałej przy obrocie wokół osi Ox krzy-

wej o równaniu y = f (x) dla a ¬ x ¬ b wyraża wzór:

V = π

R

b

a

f

2

(x)dx

4. Powierzchnie boczną bryły powstałej przy obrocie wokół

osi Ox krzywej o równaniu y = f (x) dla a ¬ x ¬ b
wyraża wzór:

S = 2π

R

b

a

f (x)

p1 + (f

0

(x))

2

dx

5. Objętość bryły powstałej przy obrocie wokół osi Ox krzy-

wej określonej parametrycznie x = x(t),y = y(t) dla
α ¬ t ¬ β wyraża wzór:

V = π

R

β

α

y

2

(t)|x

0

(t)|dt

6. Powierzchnie boczną bryły powstałej przy obrocie wokół

osi Ox krzywej określonej parametrycznie x = x(t),y =
y(t) dla α ¬ t ¬ β wyraża wzór:

S = 2π

R

β

α

|y(t)|

p(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt

6

Zastosowania fizyczne

M =

RR ρ(x, y)dxdy-Masa obszaru

M

x

=

RR

D

yρ(x, y)dxdy-moment statyczny względem osi OX

M

y

=

RR

D

xρ(x, y)dxdy-moment statyczny względem osi OY

I

x

=

RR

D

y

2

ρ(x, y)dxdy-moment bezwładności względem osi

OX
I

y

=

RR

D

x

2

ρ(x, y)dxdy-moment bezwładności względem osi

OY
I

0

=

RR

D

(x

2

+ y

2

)ρ(x, y)dxdy-moment bezwładności zględem

punktu (0, 0)
M =

RRR

V

ρ(x, y, z)dxdydz-Masa bryły

M

xy

=

RRR

V

zρ(x, y, z)dxdydz-moment statyczny względem

płaszczyzny XOY
M

yz

=

RRR

V

xρ(x, y, z)dxdydz-moment statyczny względem

płaszczyzny YOZ
M

zx

=

RRR

V

yρ(x, y, z)dxdydz-moment statyczny względem

płaszczyzny ZOX
I

xy

=

RRR

V

z

2

ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności wzglę-

dem płaszczyzny XOY
I

yz

=

RRR

V

x

2

ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności wzglę-

dem płaszczyzny YOZ
I

zx

=

RRR

V

y

2

ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności wzglę-

dem płaszczyzny ZOX
I

x

=

RRR

V

(y

2

+ z

2

)ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności

względem osi X
I

y

=

RRR

V

(z

2

+ x

2

)ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności

względem osi Y
I

z

=

RRR

V

(x

2

+ y

2

)ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności

względem osi Z

1