Karta wzorów Metody Numeryczne
• Zapis stałopozycyjny
• Zapis zmiennopozycyjny
• Algorytm Herona
• Algorytm Hornera
• Interpolacja wielomianowa przez układ równań
• Interpolacja wielomianowa metodą Newtona Wn(x) = f (x0) + f [x0; x1]ω0(x) + · · · + f [x0; · · · ; xn]ωn−1
ωi(x) = (x − x0) · · · (x − xi) f [xi; xi+1; · · · ; xi+n] = f[xi+1;··· ;xi+n]−f[xi;xi+1;··· ;xi+n−1]
xi+n−xi
• Interpolacja wielomianowa metodą Lagrange’a n
Y
x − xj
pi(x)
=
xi − xj
j=0,j6=i
(x − x0)(x − x1) · · · (x − xi−1)(x − xi+1) · · · (x − xn)
=
.
(xi − x0)(xi − x1) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn) n
X
Ln(x) =
pi(x) · yi.
i=0
• Interpolacja trygonometryczna
– Dla nieparzystej ilości (n) punktów węzłowych m = n−1
2
T (x) = a0 + Pm [a
2
k=1
k · cos(k · x) + bk · sin(k · x)]
– Dla parzystej ilości (n) punktów węzłowych m = n 2
T (x) = a0 + Pm−1[a
· cos(m · x)
2
k=1
k · cos(k · x) + bk · sin(k · x)] + am 2
– Dla obu powyższych przypadków: n−1
2 X
aj
=
[f (xk) · cos(k · xj)]
n k=0
n−1
2 X
bj
=
[f (xk) · sin(k · xj)]
n k=0
• Aproksymacja średniokwadratowa wielomianowa Układ k + 1 równań liniowych, względem współczynników a0,a1, a2, · · · , ak: n
n
n
n
n
X
X
X
X
X
a0
xm + a
x1+m + a
x2+m + · · · + a
xk+m =
y
i
1
i
2
i
m
i
ixm
i
i=0
i=0
i=0
i=0
i=0
dla m = 0, 1, 2, · · · , k.
• Metoda Aitkena
y
i
xi − x
yj
xj − x
W
i,j (x) =
xj −xi
1
W
i,j (x)
xj − x
Wi,k
xk − x
W
i,j,k (x) =
xk−xj
W
1,2,..k−1,k (x)
xk − x
W1,2,...,k−1,m(x)
xm − x
W
1,2,..,k,m =
xm−xk
• Rodziny wielomianów ortogonalnych
• Eliminacja Gaussa
• Eliminacja Gaussa-Jordana
• Rozkład LU metodą Doolittle’a dla wszystkich i ∈ {1, 2, . . . , n}: uij = aij − Pi−1 l
k=1 ik ukj
dla
j ∈ {i, i + 1, . . . , n};
lji = 1
a
l
dla
j ∈ {i + 1, i + 2, . . . , n}.
u
ji − Pi−1
jk uki
ii
k=1
• Rozkład Cholesky’ego-Banachiewicza r
lii =
aii − Pi−1 l2
k=1 ik
a
l
l
ji −Pi−1
k=1 jk lik
ji =
lii
• Rozkład RT
k−1
X
~
rk = ~ak −
tik~ri
i=1
(~ak, ~ri)
tik = (~ri,~ri)
• Metoda Jacobiego
~
x(k+1) = D−1 −(L + U )~
x(k) + ~b ,
(k+1)
(k)
(k)
x
= 1
b
a
− Pn
a
, i = 1, 2, . . . , n.
i
a
i − Pi−1
ij x
ij x
ii
j=1
j
j=i+1
j
• Metoda Gaussa-Seidla
−
~
x(k+1) = (D + L) 1 −U ~
x(k) + ~b ,
(k+1)
(k+1)
(k)
x
= 1
b
a
− Pn
a
, i = 1, 2, . . . , n.
i
a
i − Pi−1
ij x
ij x
ii
j=1
j
j=i+1
j
• Metoda stycznych (Newtona) f (xk)
xk+1 = xk −
k = 1, 2, . . .
f 0(xk)
• Metoda siecznych
f (xk)(xk − xk−1)
xk+1 = xk −
k = 1, 2, . . .
f (xk) − f (xk−1)
• reguła falsi
xk − a
xk+1 = xk −
f (xk)
k = 1, 2, . . .
f (xk) − f (a)
2
xk+1 = xk −
f (xk)
k = 1, 2, . . .
f (xk + f (xk)) − f (xk)
• Wielowymiarowa metoda stycznych (Newtona)
−
~
x
1 ~
k+1 = ~
xk − (J(~xk))
f (~
xk),
gdzie J to macierz Jacobiego
∂f1
∂f
· · ·
1
∂x
∂x
1
n
.
.
J =
.
. .
.
.
.
.
∂fm
∂f
· · ·
m
∂x1
∂xn
• Ogólny wzór kwadratur
b
ˆ
n
X
f (x)dx ≈
f (xi) · Ai
a
i=0
• Wzór na współczynniki interpolacyjnych kwadratur Newtona-Cotesa ˆ n Y t − j
Ai = h
dt
0
i − j
j=0,j6=i
• Korzystanie z wielomianów ortogonalnych.
• Całka metodą Monte-Carlo korzystającą ze średniej wartości funkcji jednej zmiennej ˆ b
n
b − a X
f (x)dx ≈ (b − a) · fsr =
f (zi)
a
n
i=1
gdzie zn = a + (b − a) · xn.
• Całka metodą Monte-Carlo korzystającą ze średniej wartości funkcji wielu zmiennych i oszacowanie błędu całki
ˆ
r < f2 > − < f >2
f dV ≈ V < f > ±V
n
3