STYCZNA
parametrycznie :
=ru r' u , =[ X ,Y , Z ]
ukł.równań :
X
−x u
x '
u
=
Y
− y u
y '
u
=
Z
−z u
z '
u
jeżeli y
=y x , tj r=[ x , y x ] ⇒ Y − y x= y ' x× X −x
NORMALNA
[−r u]⋅r ' u=0 LUB
[ X − xu]⋅x ' u[Y − y u]⋅y ' u[Z−zu]⋅z ' u=0
Jeżeli krzywa jest określona F
x , y =0 i gradF=[F
x
, F
y
]wtedy
normalna:
X
−x
0
F
x
x
0,
y
0
=
Y
−y
0
F
y
x
0,
y
0
styczna :
X
− x
0
F
y
x
0,
y
0
=−
Y
− y
0
F
x
x
0,
y
0
Jeśli krzywa jest określona jako krawędź dwóch powierzchni F
x , y , z=0 i G x , y , z=0
jeżeli współrzędne pktu P
= x
0,
y
0,
z
0
należą do krzywej i rząd macierzy
A
=
[
F
x
F
y
F
z
G
x
G
y
G
z
]
w P jest równy 2wtedy P jest punktem regularnym tej krzywej
wektor kierunkowy stycznej: p
=grad F × grad G podstawiamy zamiast r ' u
iloczyn wektorowy :
c ⇒ wektor wynikowy
c=
[
c
x
, c
y
, c
z
]
=a×b=
∣
i
j
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
∣
∣
c
∣
=
∣
a
∣
⋅
∣
b
∣
⋅sina ,b
iloczyn skalarny :
a °b=x
a
⋅x
b
y
a
⋅y
b
z
a
⋅z
b
a°b=
∣
a
∣
⋅
∣
b
∣
⋅cosa , b
iloczyn mieszany
a×b°c
r
t=[a sin
2
t , b cos
2
t] , t∈[0,
pi
2
]⇒część prostej pomiędzy ai b:
x
a
y
b
=1
r
t=[
a
1t
2
,
at
1t
2
] ,a0⇒ część okręgu x
2
y
2
=a
2
r
t=[a
t
a
−t
,a
t
−a
−t
]⇒ jedna gałąź paraboli x
2
− y
2
=4
r
t=[a lnt , y=
a
2
t
1
t
]⇒ linia łańcuchowa y=a cosh
x
a
r
u=[acos u ,bsin u]⇒elipsa
r
u=
[
au cos
u , ausinu ,bu
2
]
x
2
y
2
=a
2
⇒ paraboloida obrotowa
r
=
[
a cosh
t , bsinht , ct
]
y
2
=2px z−dowolne⇒ walechiperboliczny
r
=
[
a sin
ucost , a sinusint , a cosu
]
,u
=ut , t∈〈0,2 〉 sfera
r
=
[
a sin
2
t ,bsin t cost , c cost
]
elipsoida
S
=
∫
a
b
〚r ' u〛du ⇒długość łuku
przedstawienie naturalne : obliczasz r '
u ,
∣
r '
u
∣
i s
u=
∫
0
u
∣
r '
u
∣
du
indykatrysa sferyczna
u=
r '
u
∣
r '
u
∣
spodkową krzywej regularnej L
względem początku układu :
=r u−
[
r
u⋅r ' u
]
[
r '
u
]
2
⋅ r ' u
Okrąg ściśle styczny
x−
2
i−
2
−R
2
=0
=x− y'⋅
1
y'
2
y ' '
= y
1
y '
2
y ' '
R
=
1
y '
2
3
2
∣
y ' '
∣