STYCZNA

parametrycznie :

=ru r' u , =[ X ,Y , Z ]

ukł.równań :

X

−x u

x '

 u

=

Y

− y u

y '

u

=

Z

−z u

z '

u

jeżeli y

=y  x , tj r=[ x , y x ] ⇒ Y − y  x= y '  x× X −x 

NORMALNA

[−r u]⋅r ' u=0 LUB
[ X − xu]⋅x ' u[Y − y u]⋅y ' u[Z−zu]⋅z ' u=0

Jeżeli krzywa jest określona F

 x , y =0 i gradF=[F

x

, F

y

]wtedy

normalna:

X

−x

0

F

x

 x

0,

y

0



=

Y

−y

0

F

y

 x

0,

y

0



styczna :

X

− x

0

F

y

 x

0,

y

0



=−

Y

− y

0

F

x

 x

0,

y

0



Jeśli krzywa jest określona jako krawędź dwóch powierzchni F

 x , y , z=0 i G x , y , z=0

jeżeli współrzędne pktu P

= x

0,

y

0,

z

0

należą do krzywej i rząd macierzy

A

=

[

F

x

F

y

F

z

G

x

G

y

G

z

]

w P jest równy 2wtedy P jest punktem regularnym tej krzywej
wektor kierunkowy stycznej: p

=grad F × grad G  podstawiamy zamiast r '  u

iloczyn wektorowy :

c ⇒ wektor wynikowy

c=

[

c

x

, c

y

, c

z

]

=a×b=

∣

i

j

k

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

∣

∣

c

∣

=

∣

a

∣

⋅

∣

b

∣

⋅sina ,b

iloczyn skalarny :

a °b=x

a

⋅x

b

 y

a

⋅y

b

 z

a

⋅z

b

a°b=

∣

a

∣

⋅

∣

b

∣

⋅cosa , b

iloczyn mieszany

a×b°c

r

t=[a sin

2

t , b cos

2

t] , t∈[0,

pi

2

]⇒część prostej pomiędzy ai b:

x

a



y

b

=1

r

t=[

a



1t

2



,

at



1t

2



] ,a0⇒ część okręgu x

2

 y

2

=a

2

r

t=[a

t

a

−t

,a

t

−a

−t

]⇒ jedna gałąź paraboli x

2

− y

2

=4

r

t=[a lnt , y=

a
2

t

1
t

]⇒ linia łańcuchowa y=a cosh

x

a



r

u=[acos u ,bsin u]⇒elipsa

r

u=

[

au cos

u , ausinu ,bu

2

]

 x

2

 y

2

=a

2

⇒ paraboloida obrotowa

r

=

[

a cosh

t , bsinht , ct

]

 y

2

=2px z−dowolne⇒ walechiperboliczny

r

=

[

a sin

ucost , a sinusint , a cosu

]

,u

=ut , t∈〈0,2 〉 sfera

r

=

[

a sin

2

t  ,bsin t cost , c cost

]

 elipsoida

S

=

∫

a

b

〚r ' u〛du ⇒długość łuku

przedstawienie naturalne : obliczasz r '

u ,

∣

r '

u

∣

i s

u=

∫

0

u

∣

r '

u

∣

du

indykatrysa sferyczna

u=

r '

u

∣

r '

u

∣

spodkową krzywej regularnej L

względem początku układu :

=r u−

[

r

u⋅r ' u

]

[

r '

u

]

2

⋅ r ' u

Okrąg ściśle styczny

 x−

2

i−

2

−R

2

=0

=x− y'⋅

1

 y'

2

y ' '

= y

1

 y '

2

y ' '

R

=

1

 y '

2



3
2

∣

y ' '

∣