Funkcja 2 zmiennych jest to takie odwzorowanie zbioru X na Y , który przyporządkowuje każdej parze xy jakąś liczbę rzeczywistą

Jeżeli funkcja jest określona wzorem z =f(x,y) to jej dziedzina ( jeśli nie ma innych warunków) to zbiór punktów na płaszczyźnie Df(x,y)

Zbiór wszystkich wartości  (R_ , które przyjmuje z =f(xy)w odwzorowaniu zgodnie z dziedziną nazywamy przeciwdziedziną funkcji dwóch zmiennych Df^-1(xy)

Przestrzeń odpowiednio wymiarowa R² wymiarowa przestrzeń rzeczywista składająca się z punktów powierzchni dla których zachodzi (x0,y0)

P0=(x0,y0) P(x,y)

Przestrzeń wymiarowa euklidesowa d = (P,P0)= sqr(x-x0)^2 + (y-y0)^2

1.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji z = 1/3 sqr 1-x^2 –y^2

Wyrażenie pod pierwiastkiem >=0 czyli  x^2+y^2<=1 rysunek dziedzina to okrąg zamalowany wewnętrznie razem z brzegiem

2.

Z=arcsinx/2 + arccosy/3

3.

F(x,y) =ln(x^2+y^2-1)

x^2+y^2-1 >0 -> x^2+y^2>1

rysuenk to tzw słoneczko czyli okrąg z przerywaną linią I punkty na zewnątrz leżą jako dziedzina

Otoczenie i sąsiedztwo .

Otoczenie punktu przestrzeni nazywamy zbiór spełniający następujące warunki :

Otoczeni prostokątne

|x-x0|<=p

|y-y0|<=q

Wówczas mamy prostokąt o bokach p,q

Sąsiedztwo jest to zbiór tych wszystkich punktów , które spełniają warunek otoczenia po usunięciu punktu P0.

Granice

Ciągłość funkcji 2 zmiennych ( płaszczyzna bez dziór – jak ser ) funkcja 2 zmiennych jest ciągła kiedy istnieje granica lewo i prawostronna oraz w punkcie.

Pochodne cząstkowe funkcji 2 zmiennych

Niech dana będzie funkcja z=f( x,y) określona w otoczeniu punktu P(x,y)w przestrzeni 2 ymiarowej R2

Oznaczenia lajbniza takie z delatami i oznaczenie zagraża fx(x,y)

Dz/dx (x,y) =lim_dx->0f[(x+dx),y]-f(x,y)/dx

Dz/dx (x,y) =lim_dy->0f[x,(y+dx,)]-f(x,y)/Dy  ??

d²z/dxdx(x,y) = f’’_xx(x,y)

d²z/dxdy(x,y) = f’’_xy(x,y)

d²z/dydx(x,y) = f’’_yx(x,y)

d²z/dydy(x,y) = f’’_yy(x,y)

Najpierw liczmy pochodne pierwsze po X a potem po Y traktując odpowiednio :

Jako stałą Y dla X

Jako stałą X dla Y

 

f’’_xx(x,y) i f’’_yy(x,y) -> pochodne czyste

f’’_xy(x,y) i f’’_yx(x,y) -> pochodne mieszane

Tw Szwarca

Jeżeli istnieją pochodne mieszane ciągłe f’_xy(x,y) i f’_yx(x,y) to w dziedzinie funkcji 2 zmiennych słuszna jest ich równość

Ekstremum funkcji 2 zmiennych

Warunek konieczny aby w punkcie P(x0,y0) posiadała ekstremum jest aby pierwsza pochodna funkcji 2 zmiennych w tym punkcie równała się 0.

f’_x(x0,y0) =0

 f’_y(x0,y0)=0

warunek wystarczający

Wyznacznik = | f’’_xx(x,y)             f’’_xy(x,y)|

                           | f’’_yx(x,y)              f’’_yy(x,y)| >0

Przyczym o tym czy to jest maksimum czy minimum dla W >0

Decyduje

f’’_xx(x0,y0) >0           f’’_yy(x0,y0) >0 minimum w punkcie P0(x0,y0)

f’’_xx(x0,y0) <0           f’’_yy(x0,y0) <0 maksimum w punkcie P0(x0,y0)

 

Jeżeli W=0 to ten warunek nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum

Jeżeli W<0 to nie ma ekstremum.