1. Estymacja (podstawowe pojęcia, własności estymatorów, estymatory momentów, metoda największej wiarygodności, metoda momentów, metoda histogramu)

1. Metoda największej wiarygodności

Idea: należy przyjąć taką wartość oszacowania nieznanego parametru, dla której zaobserwowane dla próby losowej wartości badanej cechy są najbardziej

prawdopodobne. Podstawą budowy estymatora jest tzw. funkcja wiarygodności (łączny rozkład z próby)

Estymacja to dział wnioskowania statystycznego będący zbiorem metod pozwalających na uogólnianie wyników badania próby losowej na nieznaną postać i parametry rozkładu zmiennej losowej całej populacji oraz szacowanie błędów wynikających z tego uogólnienia. W zależności od szukanej cechy rozkładu można podzielić metody estymacji na dwie grupy:

Estymacja parametryczna - metody znajdowania nieznanych wartości parametrów rozkładu

Estymacja nieparametryczna - metody znajdowania postaci rozkładu populacji

W praktyce estymacja nieparametryczna jest zastępowana prostszymi metodami bazującymi na weryfikacji hipotez statystycznych.

2. Weryfikacja hipotez (podstawowe pojęcia, test istotności dla wartości średniej)

Hipoteza – pewien sąd (teza) nt. cechy statystycznej (jej własności, rozkładu, parametrów rozkładu, itp.)

Weryfikacja hipotez statystycznych – sprawdzanie sądów o populacji przez badanie jej wycinka (próby statystycznej).

Hipoteza parametryczna i nieparametryczna

Weryfikacja hipotezy – ocena prawdziwości hipotezy – jej przyjęcie lub odrzucenie (na podstawie badań częściowych – wyrażona w języku probabilistycznym – uznanie hipotezy za prawdziwą lub fałszywą z pewnym prawdopodobieństwem)

Przykłady:

• średnia długość życia na wsi jest większa niż w mieście,

• wzrost ma rozkład normalny,

• dzieci są coraz wyższe.

Błędy przy weryfikacji hipotez:

• hipoteza jest prawdziwa, a my ją odrzucamy – błąd I rodzaju,

• hipoteza jest fałszywa, a my ją przyjmujemy – błąd II rodzaju.

Test statystyczny – szczegółowa procedura zmierzająca do przyjęcia lub odrzucenia hipotezy.

Test istotności

Test istotności kończy się w dwojaki sposób:

• hipoteza zostaje odrzucona jako fałszywa (wynik konstruktywny),

• nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy (nie ma postaw sądzić, że jest fałszywa) – wynik nie jest równoważny przyjęciu hipotezy i uznaniu jej za prawdziwą (wynik niekonstruktywny).

Weryfikacja hipotezy z testem istotności:

1. przyjęcie hipotez H0 i H1,

2. określenie poziomu istotności testu α,

3. określenie obszaru krytycznego testu,

4. wyznaczamy wynik testu z próby – gdy należy on do obszaru krytycznego, to

hipotezę zerową H0 odrzucamy i przyjmujemy hipotezę alternatywną H1.

W przeciwnym razie nie ma podstaw do odrzucenia H0 i przyjęcia H1.

3. Rozpoznawanie (podstawowe pojęcia, model probabilistyczny, ryzyko, algorytm optymalny, rozpoznawanie z uczeniem nadzorowanym, algorytmy minimalno-odległościowe)

Rozpoznawanie – przypisanie obiektowi na podstawie pomiaru jego cech numeru (etykiety) klasy, do której należy

Przykłady rozpoznawania

1. Diagnostyka medyczna

2. Rozpoznawanie liter

Schemat systemu rozpoznawania

Model probabilistyczny x oraz j – realizacja pary zmiennych losowych (X, J)

Rozkład prawdopodobieństwa (X, J):

1. P(J = j) = pj,j∈M - prawdopodobieństwa a priori klas

2. f(x/ j) = f j(x),x∈X - warunkowe gęstości cech w klasach

4. Model obiektu wejściowo-wyjściowego w warunkach niepewności, model parametryczny liniowy minimalizujący błąd średnio-kwadratowy (przypadek znanych rozkładów prawdopodobieństwa, przypadek z danymi eksperymentalnymi)