Narysować widmo amplitudowe sygnału (próbkowanie)

x(t)=15sin(2π10t)+10cos(2π40t)+25cos(2π60t)

x(t)=15cos(2π10t-π/2)+10cos(2π40t)+25cos(2π60t)

f_min=120 t=n/120

x(n)=15cos(nπ/6-π/2)+10cos(2/3πn)+25cos(πn)=

x(t)=15cos(2π10t-π/2)+10cos(2π40t)+25cos(2π60t)

$$= 7,5\cos\left( e^{- \frac{\text{jπn}}{6} - \frac{\pi}{2}} + e^{\frac{\text{jπn}}{6} - \frac{\pi}{2}} \right) + 5cos\left( e^{- \frac{j2\pi n}{3}} + e^{\frac{j2\pi n}{3}} \right) + 12,5cos\left( e^{- j\pi n} + e^{\text{jπn}} \right)$$

Wyznaczyć transmitancję układu, schemat blokowy, równanie różnicowe:

y[n]+1/2y[n-2]=x[n]-6x[n-1]

y[z]+1/2y[z]z^-2=x[z]-6x[z]z^-1

y[z](1+1/2z^-2)=x[z](1-6z^-1)

$$H\left( z \right) = \frac{y(z)}{x(z)} = \frac{1 - 6z^{- 1}}{1 + \frac{1}{2}z^{- 2}} = \frac{\frac{z - 6}{z}}{\frac{z^{2} + \frac{1}{2}}{z^{2}}} = \frac{z - 6}{z} \bullet \frac{z^{2}}{z^{2} + \frac{1}{2}} = \frac{z(z - 6)}{z^{2} + \frac{1}{2}}$$

Wyznaczyć sygnał na podstawie odwrotnego przekształcenia Z:

X(z)=3z²-6+3z^-1-4z^-2+z^-4

X(n)=3δ[n+2]-6δ[n]+3δ[n-1]-4δ[n-2]+δ[n-4]

Znaleźć transformatę Z i narysować:

$$x\left\lbrack n \right\rbrack = \left( \frac{3}{4} \right)^{n}u\left\lbrack - n - 1 \right\rbrack + ({- \frac{1}{2})}^{n}u\lbrack n\rbrack$$

$$x\left\lbrack Z \right\rbrack = \sum_{- \infty}^{\infty}{\{\left( \frac{3}{4} \right)^{n}u\left\lbrack - n - 1 \right\rbrack + ({- \frac{1}{2})}^{n}u\left\lbrack n \right\rbrack\} \bullet z^{- n}}$$

Obszar zbieżności: |z|>|-1/2| ^|z|<3/4

$$x\left\lbrack Z \right\rbrack = \sum_{0}^{\infty}{{(( - \frac{1}{2}) \bullet z^{- 1})}^{n} + 1 - \sum_{0}^{\infty}{(\left( \frac{3}{4} \right)^{}z^{- 1})}^{n}}$$

$$x\left\lbrack Z \right\rbrack = \sum_{0}^{\infty}{{(( - \frac{1}{2}) \bullet z^{- 1})}^{n} + \sum_{0}^{\infty}{(\left( \frac{3}{4} \right)^{}z^{- 1})}^{n}}$$

$$= \frac{1}{1 + \frac{1}{2}z^{- 1}} + \frac{1}{1 - \frac{3}{4}z^{- 1}} = \frac{1 + \frac{1}{2}z^{- 1} + 1 - \frac{3}{4}z^{- 1}}{(1 + \frac{1}{2}z^{- 1})(1 - \frac{3}{4}z^{- 1})}$$

$$\frac{2(1 - \frac{1}{8}z^{- 1})}{(1 + \frac{1}{2}z^{- 1})(1 - \frac{3}{4}z^{- 1})} = \frac{2z(z - \frac{1}{8})}{\left( z + \frac{1}{2} \right)\left( z - \frac{3}{4} \right)}$$

Zera: 0 i 1/8 bieguny: -1/2 i ¾

Oś pozioma Re(z), pionowa Im(z)

Dane są próbki i czas, określ górną granicę pasma sygnału f_min aby nie wystąpił aliasing:

tr- czas trwania próbki; fp-częstotliwość próbkowania, n-liczba próbek, tr=N/fp

Aby nie wystąpił aliasing to czestotliwosc próbkowania musi być 2x mniejsza niż gorna granica pasma sygnalu:

2fmax≤fp fmax≤fp/2

Efekt stroboskopowy

X(t)=2cos(2π150t)

Fp=150Hz t=n/150

X[n]=2cos(2π150n/150)

X[n]=2cos(2πn) y(t)=2

Na wykresie w zerze slupek o wys 2 ze 150 na 0.

Spektrogram

x(t)=cos(2π*10t^2), te(0:5s)

a=10 f=2*10t=20t

czestotliwosc 5*20=100Hz max

i czas od 0 do 5s

fp=100Hz więc odbicie w 50Hz.

Wyznacz charakterystykę częstotliwościową

Y[n]=2x[n-3] Y[z]z=2x[z]z^-3

H(z)=y(z)/x(z)=2z^-3 z=e^jw

H(e^jw)=2e^-j3w H(e^jw)=2

|e^j3w|=1 na wykresie H(e^jw) linia pozioma na 2

Na osi poziomej ω

Ch-ka fazowa: ∢H(e^jw)=-3w

Na osi pionowej 3 i -3 na poziomej pi i –pi i linia przez te pkt

Wyznacz charakterystykę aplitudową i fazową:

Y(n)=3x(n-2) Y(n)=e^jΩn x H(e^jΩ)

X(n)= e^jΩn e^jΩn*|H(e^jΩ|=3 e^jΩ(n-2)

e^jΩn*|H(e^jΩ|=3 e^jΩn * e^-2jΩ

|H(e^jΩ|=3 e^-2jΩ ∢=-2

|H(e^jΩ|=3

Jeden wykres H(ω) na pionowej i ω poziomej linia pozioma na wysokości 3.

Drugi wykres na osi poziomej ω i jakaś wartość na osi pionowej wartość -2 i linia z zera do do puktu -2 i wartości

A utworzony kąt zaznaczyć jako e?

Narysować widmo amplitudowe sygnału (próbkowanie)

x(t)=15sin(2π10t)+10cos(2π40t)+25cos(2π60t)

x(t)=15cos(2π10t-π/2)+10cos(2π40t)+25cos(2π60t)

f_min=120 t=n/120

x(n)=15cos(nπ/6-π/2)+10cos(2/3πn)+25cos(πn)=

x(t)=15cos(2π10t-π/2)+10cos(2π40t)+25cos(2π60t)

$$= 7,5\cos\left( e^{- \frac{\text{jπn}}{6} - \frac{\pi}{2}} + e^{\frac{\text{jπn}}{6} - \frac{\pi}{2}} \right) + 5cos\left( e^{- \frac{j2\pi n}{3}} + e^{\frac{j2\pi n}{3}} \right) + 12,5cos\left( e^{- j\pi n} + e^{\text{jπn}} \right)$$

Wyznaczyć transmitancję układu, schemat blokowy, równanie różnicowe:

y[n]+1/2y[n-2]=x[n]-6x[n-1]

y[z]+1/2y[z]z^-2=x[z]-6x[z]z^-1

y[z](1+1/2z^-2)=x[z](1-6z^-1)

$$H\left( z \right) = \frac{y(z)}{x(z)} = \frac{1 - 6z^{- 1}}{1 + \frac{1}{2}z^{- 2}} = \frac{\frac{z - 6}{z}}{\frac{z^{2} + \frac{1}{2}}{z^{2}}} = \frac{z - 6}{z} \bullet \frac{z^{2}}{z^{2} + \frac{1}{2}} = \frac{z(z - 6)}{z^{2} + \frac{1}{2}}$$

Wyznaczyć sygnał na podstawie odwrotnego przekształcenia Z:

X(z)=3z²-6+3z^-1-4z^-2+z^-4

X(n)=3δ[n+2]-6δ[n]+3δ[n-1]-4δ[n-2]+δ[n-4]

Znaleźć transformatę Z i narysować:

$$x\left\lbrack n \right\rbrack = \left( \frac{3}{4} \right)^{n}u\left\lbrack - n - 1 \right\rbrack + ({- \frac{1}{2})}^{n}u\lbrack n\rbrack$$

$$x\left\lbrack Z \right\rbrack = \sum_{- \infty}^{\infty}{\{\left( \frac{3}{4} \right)^{n}u\left\lbrack - n - 1 \right\rbrack + ({- \frac{1}{2})}^{n}u\left\lbrack n \right\rbrack\} \bullet z^{- n}}$$

Obszar zbieżności: |z|>|-1/2| ^|z|<3/4

$$x\left\lbrack Z \right\rbrack = \sum_{0}^{\infty}{{(( - \frac{1}{2}) \bullet z^{- 1})}^{n} + 1 - \sum_{0}^{\infty}{(\left( \frac{3}{4} \right)^{}z^{- 1})}^{n}}$$

$$x\left\lbrack Z \right\rbrack = \sum_{0}^{\infty}{{(( - \frac{1}{2}) \bullet z^{- 1})}^{n} + \sum_{0}^{\infty}{(\left( \frac{3}{4} \right)^{}z^{- 1})}^{n}}$$

$$= \frac{1}{1 + \frac{1}{2}z^{- 1}} + \frac{1}{1 - \frac{3}{4}z^{- 1}} = \frac{1 + \frac{1}{2}z^{- 1} + 1 - \frac{3}{4}z^{- 1}}{(1 + \frac{1}{2}z^{- 1})(1 - \frac{3}{4}z^{- 1})}$$

$$\frac{2(1 - \frac{1}{8}z^{- 1})}{(1 + \frac{1}{2}z^{- 1})(1 - \frac{3}{4}z^{- 1})} = \frac{2z(z - \frac{1}{8})}{\left( z + \frac{1}{2} \right)\left( z - \frac{3}{4} \right)}$$

Zera: 0 i 1/8 bieguny: -1/2 i ¾

Oś pozioma Re(z), pionowa Im(z)

Dane są próbki i czas, określ górną granicę pasma sygnału f_min aby nie wystąpił aliasing:

tr- czas trwania próbki; fp-częstotliwość próbkowania, n-liczba próbek, tr=N/fp

Aby nie wystąpił aliasing to czestotliwosc próbkowania musi być 2x mniejsza niż gorna granica pasma sygnalu:

2fmax≤fp fmax≤fp/2

Efekt stroboskopowy

X(t)=2cos(2π150t)

Fp=150Hz t=n/150

X[n]=2cos(2π150n/150)

X[n]=2cos(2πn) y(t)=2

Na wykresie w zerze slupek o wys 2 ze 150 na 0.

Spektrogram

x(t)=cos(2π*10t^2), te(0:5s)

a=10 f=2*10t=20t

czestotliwosc 5*20=100Hz max

i czas od 0 do 5s

fp=100Hz więc odbicie w 50Hz.

Wyznacz charakterystykę częstotliwościową

Y[n]=2x[n-3] Y[z]z=2x[z]z^-3

H(z)=y(z)/x(z)=2z^-3 z=e^jw

H(e^jw)=2e^-j3w H(e^jw)=2

|e^j3w|=1 na wykresie H(e^jw) linia pozioma na 2

Na osi poziomej ω

Ch-ka fazowa: ∢H(e^jw)=-3w

Na osi pionowej 3 i -3 na poziomej pi i –pi i linia przez te pkt

Wyznacz charakterystykę aplitudową i fazową:

Y(n)=3x(n-2) Y(n)=e^jΩn x H(e^jΩ)

X(n)= e^jΩn e^jΩn*|H(e^jΩ|=3 e^jΩ(n-2)

e^jΩn*|H(e^jΩ|=3 e^jΩn * e^-2jΩ

|H(e^jΩ|=3 e^-2jΩ ∢=-2

|H(e^jΩ|=3

Jeden wykres H(ω) na pionowej i ω poziomej linia pozioma na wysokości 3.

Drugi wykres na osi poziomej ω i jakaś wartość na osi pionowej wartość -2 i linia z zera do do puktu -2 i wartości

A utworzony kąt zaznaczyć jako e?