1.Czy nastepujace wyrażenie jest tautologią : [(p→q)˄(q→p)]→[p˄q] ?

2. Za pomocą ˄ oraz ~ zdefiniować funktor * gdzie *(0,0)=1, *(0,1)=1, *(1,0)=0, *(1,1)=0.

3.Czy dla dowolnych zbiorów A i B : [A=B]↔[(A c B)v(B c A)]

4. Czy relacja :

	1	2	3
1	X	X
2	X		X
3	X		X

• Zwrotna

• Przeciwzwrotna

• Symetryczna

• Przechodnia

• Antysymetryczna

• Słabo antysymetryczna

• Spójna

5.Niech X={1,2,3,4,5}. Funkcja f:X→X jest okreslona następująco: f(1)=3, f(2)=2, f(3)=1, f(4)=5, f(5)=4.

• Czy f jest iniekcją?

• Czy f jest surjekcją?

• Czy f⁰f=f?

• Czy istnieje n takie ze fⁿ=1_X?

• Czy istnieje taki zbiór A C X , że f(A) jest zbiorem trzyelementowym?

• Czy istnieje taki zbiór B C X, ze f^-1(B) jest zbiorem trzyelementowym?

6.Przypisz zbiorom: Q, 2^Z, R^N,{1,2,3}^Z,2^RxR,N\Z,{1,2,3}^R,R∩Z,{1,2,3}^z,Z moce:

• C …………………………….

• Większe niż c …………..

• Skończone…………………

• X₀ ……………………………

7.Dany jest zbiór uporządkowany:

…..ilość łańcuchów maksymalnych …..…..ilość łańcuchów

……ilośc antyłańcuchów maksymalnych ………ilość antyłańcuchów

8.Niech X={a,b,c,d,e,f} b edzie zbiorem częściowo uporządkowany:

…..element największy ……. element najmniejszy

……elementy maksymalne …….. elementy minimalne

…..inf_X(a,b) ……..sup_X(a,b)

9.Niech f: R→R będzie dana wzorem: f(x)= x²-2x-1. Obliczyć:

• f([0,2])……………………………

• f([1,3])……………………………

• f^-1([-2,2]………………………….

• f^-1([-3,-1])………………………..

• częściowa funkcja odwrotna …………………………………………….

10. Czy nastepujace wyrażenie jest tautologią: [(p→q)v(q→p)]→[pvq]?

11. Za pomocą ˄ oraz ~ zdefiniować funktor * gdzie *(0,0)=0, *(0,1)=1, *(1,0)=0, *(1,1)=1.

12. Czy dla dowolnych zbiorów A i B : [A=B]↔[(A c B)˄(B c A)]

13.Czy relacja:

	1	2	3
1	X
2	X	X	X
3	X		X

• Zwrotna

• Przeciwzwrotna

• Symetryczna

• Przechodnia

• Antysymetryczna

• Słabo antysymetryczna

• Spójna

14.Niech X={1,2,3,4,5}. Funkcja f:X→X jest okreslona następująco: f(1)=2, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=3, f(5)=2

• Czy f jest iniekcją?

• Czy f jest surjekcją?

• Czy f⁰f=f?

• Czy istnieje n takie ze fⁿ=1_X?

• Czy istnieje taki zbiór A C X , że f(A) jest zbiorem trzyelementowym?

• Czy istnieje taki zbiór B C X, ze f^-1(B) jest zbiorem trzyelementowym?

15. Dany jest zbiór uporządkowany:

…..ilość łańcuchów maksymalnych …..…..ilość łańcuchów

……ilośc antyłańcuchów maksymalnych ………ilość antyłańcuchów

16. Niech X={a,b,c,d,e,f} b edzie zbiorem częściowo uporządkowany:

…..element największy ……. element najmniejszy

……elementy maksymalne …….. elementy minimalne

…..inf_X(a,b) ……..sup_X(a,b)

17. Niech f: R→R będzie dana wzorem: f(x)=x²+2x-1Obliczyc:

• f([-2,0])……………………………

• f([-3,-1])……………………………

• f^-1([-2,2]………………………….

• f^-1([-3,-1])………………………..

• częściowa funkcja odwrotna …………………………………………….

18.Czy zbiory mają taką sama moc, jeśli :

• A=N, B=Q

• A=P(N), B=R\Q

• A=2^R, B=R²

• A=2^N, B=N²

• A=2^N, B = N²

• A=Z, B=Q

19.Wiadomo, ze AuB=A, wówczas:

• A c B ……

• B c A ……

• A\A= 0 ……

• A=B ……

20. .Niech X={1,2,3,4,5}. Funkcja f:X→X jest okreslona następująco: f(1)=3, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=3, f(5)=2

• Czy f jest iniekcją?

• Czy f jest surjekcją?

• Czy f⁰f=f?

• Czy istnieje n takie ze fⁿ=1_X?

• Czy istnieje taki zbiór A C X , że f(A)=0?

• Czy istnieje taki zbiór B C X, ze f^-1(B) jest zbiorem trzyelementowym?

• Czy istnieje taki zbiór A C X , że f(A) jest zbiorem trzyelementowym?

• Czy istnieje taki zbiór B C X, ze f^-1(B)=0?

21. Jeżeli A jest zbiorem przeliczalnym a B jest mocy continuum, to:

• AuB jest przeliczalny

• AnB jest przeliczalny

• A\B jest przeliczalny

• B\A jest przeliczalny

22. . Jeżeli A jest zbiorem policzalnym a B jest mocy continuum, to:

• AuB jest continuum

• AnB jest continuum

• A\B jest continuum

• B\A jest continuum

23.Który z zbiorów jest mocy continuum?

• 2^N

• N^N

• 0xR

• {0}x{0}xR

• R^R\R

• NxR

24.Istnieją takie zbiory A-zbiór skończony, B-zbiór mocy kontinuum takie, ze

• A^B jest skończony

• B^A jest skończony

• A^B jest mocy kontinuum

• B^A jest mocy kontinuum

25.Niech f: X→Y oraz niech A,B c Y będą dowolnymi zbiorami. Wtedy:

• f^-1(A)u f^-1(B)= f^-1(AuB)

• f^-1(A)n f^-1(B)= f^-1(AnB)

• f^-1(A)\ f^-1(B)= f^-1(A\B)

26.Czy dla dowolnych niepustych zbiorów A,B,C prawdąjest ze:

• jeśli A^B~_mA^C to B~_mC

• jeśli AxB~_mAxC to B~_mC

27. Czy istnieje niepusty zbiór skonczony A taki ze:

• AxA~_mA

• A^A~P(A)

28. . Czy istnieje zbiór skonczony A taki ze:

• A^A~_mA

29. Czy tautologia jest wyrażenie

• [(p→p)→p]→p

• [(pvq)→p]→q

• [(p^q)→p]→q

• [(pvq)→p]→p

30. Czy relacja:

	1	2	3
1	x	X	x
2		X
3		x	x

• Antysymetryczna

• Słabo antysymetryczna

• Spójna

• Przechodnia

31. Dany jest zbiór uporządkowany:

…..ilość łańcuchów maksymalnych …..…..ilość łańcuchów

……ilośc antyłańcuchów maksymalnych ………ilość antyłańcuchów

……ilość lancuchow które sa antylancuchami

32.Czy nastepujace zdania sa prawdziwe?

• Ɐ_xɛR ⱻ_YɛR x<y²

• Ɐ_xɛN ⱻ_YɛR x<y²↔x≤y

• ⱻ_xɛQ Ɐ_YɛN x<y²↔x≤y

33. .Niech X={1,2,3,4,5}. Funkcja f:X→X jest okreslona następująco: f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1, f(4)=4, f(5)=4

• Czy f jest iniekcją?

• Czy f jest surjekcją?

• Czy f⁰f=f?

• Czy istnieje n takie ze fⁿ=1_X?

• Czy istnieje taki zbiór A C X , że f(A) jest zbiorem dwuelementowym?

• Czy istnieje taki zbiór B C X, ze f^-1(B) jest zbiorem dwuelementowym?

34.Niech X={1,2,3,4,5}. Funkcja f:X→X jest okreslona następująco: f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5, f(5)=4

• Czy f jest iniekcją?

• Czy f jest surjekcją?

• Czy f⁰f=f?

• Czy istnieje n takie ze fⁿ=1_X?

• Czy istnieje taki zbiór A C X , że f(A) jest zbiorem trzyelementowym?

• Czy istnieje taki zbiór B C X, ze f^-1(B) jest zbiorem trzyelementowym?

35.Dany jest zbiór uporządkowany:

…..ilość łańcuchów maksymalnych …..…..ilość łańcuchów

……ilośc antyłańcuchów maksymalnych ………ilość antyłańcuchów

36. Niech f: R→R będzie dana wzorem: f(x)=x²+2x+3 _Obliczyc:

• f([-3,0])……………………………

• f([-1,1])……………………………

• f^-1([-2,3]………………………….

• f^-1([3,4])………………………..

• częściowa funkcja odwrotna …………………………………………….