Data wykonania: 26.10.2012

Anna Kempa

Mateusz Baranowicz Grupa 2

Konrad Ostrowski Zespół 3

Urszula Kowalska

Adam Młynarczyk

Sprawozdanie:

STATECZNOŚĆ CIAŁ PŁYWAJĄCYCH

1. Cel i zakres ćwiczenia

Wyznaczenie metodą doświadczalną wysokości metacentrycznej modelu katamaranu dla różnych obciążeń.

1. Wprowadzenie teoretyczne

Jeżeli ciało znajduje się w cieczy, działają na niego siły: jego ciężar G, oraz siła wyporu W. Zrównoważenie się tych sił (G=W) jest warunkiem pływania.

Metacentrum nazywamy punkt przecięcia osi pływania przez wektor wyporu, przy małym wychyleniu z pozycji pionowej. Natomiast wysokość metacentryczna jest wzniesieniem punktu metacentrum ponad środek ciężkości ciała. Jest to miernik stanu równowagi ciała pływającego.

Istnieją 3 rodzaje równowagi:

- Równowaga trwała: m>0

- Równowaga chwiejna m<0

- Równowaga obojętna m=0

Metodą analityczną wysokość metacentryczną wyznaczamy ze wzoru:

[m]

gdzie:

m – wysokość metacentryczna [m],

J – moment bezwładności pola przekroju ciała płaszczyzną pływania względem jego osi obrotu [m⁴],

V – objętość zanurzonej części ciała [m³],

a – odległość liczona w górę od środka wyporu do środka ciężkości ciała [m].

Metodą doświadczalną wysokość metacentryczną , wyznaczamy ze wzoru:

[m] (2)

gdzie:

G’ – ciężar obciążnika, powodującego wychylenie ciała [N],

- odległość między osią modelu i położeniem obciążnika G’ [m],

W – wypór [N],

- kąt wychylenia odpowiadający wielkości b, [rad].

1. Opis stanowiska pomiarowego

Stanowisko doświadczalne składa się z katamaranu, płytek balastowych (stalowych, styropianowych) oraz zbiornika z wodą. Model katamaranu zaopatrzony jest w maszt z pionem i skalę kątową, ma również miejsce przeznaczone do układania.

1. Wyniki pomiarów.

KATAMARAN

masa katamaranu - 3,520 kg

szerokość katamaranu - 0,24 m

długość katamaranu (d) - 0,6 m

wysokość katamaranu - 0,08 m

szerokość kadłuba (c) - 0,08 m

zagłębienie na płytki - 0,018 m

PŁYTKI

masa płytki stalowej - 0,436 kg

masa płytki styropianowej 0,000 kg

wysokość płytki - 0,005 m

OBCIĄŻNIK, POWODUJĄCY WYCHYLENIE CIAŁA

masa obciążnika - 0,317 kg

ciężar obciążnika(G’) - 3,110 N

temperatura otoczenia i wody w zbiorniku: 22^∘C

Doświadczenie zostało wykonane dla 3 wariantów:

1. Katamaran obciążony 1 płytką stalową

Nr. pomiaru	Wychylenie skali kątowej	Odległość między osią modelu a położeniem ciężarka (b/2) [m]	Odległośc pomiędzy skrajnymi wychyleniami ciężarka (b) [m]	Wychylenie średnie
1	strona lewa	3	0,102	0,204
	strona prawa	4,5	0,102
2	strona lewa	2,5	0,092	0,184
	strona prawa	4	0,092
3	strona lewa	2	0,082	0,164
	strona prawa	3,5	0,082

Łączna masa płytek: 2 * 0,436 kg = 0,872 kg

1. Katamaran obciążony 1 płytką stalową oraz 1 płytką styropianową

Nr. pomiaru	Wychylenie skali kątowej	Odległość między osią modelu a położeniem ciężarka (b/2) [m]	Odległośc pomiędzy skrajnymi wychyleniami ciężarka (b) [m]	Średnie wychylenie
1	strona lewa	3	0,102	0,204
	strona prawa	4,5	0,102
2	strona lewa	3	0,092	0,184
	strona prawa	4	0,092
3	strona lewa	2,5	0,082	0,164
	strona prawa	3,5	0,082

Łączna masa płytek: 2 *( 0,436 kg +0,000 kg) = 0,872 kg

1. Katamaran obciążony 1 płytką stalową oraz 2 płytkami styropianowymi

Nr. pomiaru	Wychylenie skali kątowej	Odległość między osią modelu a położeniem ciężarka (b/2) [m]	Odległośc pomiędzy skrajnymi wychyleniami ciężarka (b) [m]	Średnie wychylenie
1	strona lewa	3,5	0,102	0,204
	strona prawa	5	0,102
2	strona lewa	3	0,092	0,184
	strona prawa	4,5	0,092
3	strona lewa	2,5	0,082	0,164
	strona prawa	4	0,082

Łączna masa płytek: 2 * (0,436 kg + 0,000 kg + 0,000 kg) = 0,872 kg

5.Obliczenia

Wysokość metacentryczna liczona metodą doświadczalną

Ciężar obciążnika wychyleniowego (G`)

obliczamy wzorem: G = m * g

m- masa obciążnika

g – przyśpieszenie ziemskie

G = 0, 317 kg * 9, 81 m/s2 = 3, 11 N

Wypór

liczony jest ze wzoru W= m * g

m – masa katamaranu + łączna masa płytek

Dla 1 wariantu: W₁ = (3,52 kg + 0,872 kg) * 9,81 m/s2 = 43,086 N

Dla 2 wariantu: W₂ = (3,52 kg + 0,872 kg) * 9,81 m/s2 = 43,086 N

Dla 3 wariantu: W₃ = (3,52 kg + 0,872 kg) * 9,81 m/s2 = 43,086 N

Kąt wychylenia:

Korzystam z zależności:

1. 0,96°

180° - π

Wariant	Pomiar	ϕ1 + ϕ2	ϕ = ϕ1 + ϕ2 [°]	ϕ = ϕ1 + ϕ2 [rad]
1	1	7,5	7,2	0,126
	2	6,5	6,24	0,109
	3	5,5	5,28	0,092
2	1	7,5	7,2	0,126
	2	7	6,72	0,117
	3	6	5,76	0,100
3	1	8,5	8,16	0,142
	2	7,5	7,2	0,126
	3	6,5	6,24	0,109

Pierwsza zależność została wyliczona z danych:

tgα = $\frac{2,3}{13,6}$

tgα = 0,169

α = 9,6 ° (dla 10 podziałek)

0,96° (dla 1 podziałki)

Podstawiając do wzoru na wysokość metacentryczną (2) liczonego metodą doświadczalną

[m] (2)

dla wariantu 1 pomiaru 1 otrzymujemy:

$$m_{d} = \frac{3,11*0,204}{43,086\ *0,126} = 0,117\ \lbrack m\rbrack$$

Analogicznie przeprowadzono obliczenia dla pozostałych przypadków:

WARIANT	POMIAR	G'	φ	W	b	md
1	1	3,11	0,126	43,086	0,204	0,117
	2	3,11	0,109	43,086	0,184	0,122
	3	3,11	0,092	43,086	0,164	0,129
2	1	3,11	0,126	43,086	0,204	0,117
	2	3,11	0,117	43,086	0,184	0,114
	3	3,11	0,1	43,086	0,164	0,118
3	1	3,11	0,142	43,086	0,204	0,104
	2	3,11	0,126	43,086	0,184	0,105
	3	3,11	0,109	43,086	0,164	0,109

Wysokość metacentryczna liczona metodą analityczną

Moment bezwładności liczymy wzorem:

cosφ = $\frac{c + \frac{c}{2}}{x}$ Stąd: x= $\frac{c + \frac{c}{2}}{\text{cosφ}}$

$$J = \frac{\left( \frac{c + \frac{c}{2}}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d}{3} - \frac{\left( \frac{\frac{c}{2}}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d}{3} + \frac{\left( \frac{c + \frac{c}{2}}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d}{3} - \frac{\left( \frac{\frac{c}{2}}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d}{3}$$

Gdzie:

c – szerokość kadłuba (0,08 m)

 d – długość katamaranu ( 0,60 m)

φ – kąt nachylenia katamaranu do płaszczyzny zawierającej oś pływania.

$$J = \frac{\left( \frac{c + \frac{c}{2}}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d}{3} - \frac{\left( \frac{\frac{c}{2}}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d}{3} + \frac{\left( \frac{c + \frac{c}{2}}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d}{3} - \frac{\left( \frac{\frac{c}{2}}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d}{3} = 2*\frac{\left( \frac{c + \frac{c}{2}}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d}{3} - 2*\frac{\left( \frac{\frac{c}{2}}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d}{3} = \ 2*\frac{\left( \frac{\frac{3}{2}c}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d - \left( \frac{\frac{c}{2}}{\text{cosφ}} \right)^{3}*d}{3} = 2*\frac{13*c^{3}*d}{12*\cos^{3}\varphi} = \frac{13*c^{3}*d}{6*\cos^{3}\varphi}$$

Zatem:

$$J = \frac{13*{0,08}^{3}*0,6}{6*\cos^{3}(3,6)} = 0,000670\ \lbrack m^{4}\rbrack$$

Analogicznie dla reszty pomiarów:

Wariant	Pomiar	Średnie φ	Średnie φ [ °]	J
1	1	3,75	3,6	0,000670
	2	3,25	3,12	0,000669
	3	2,75	2,64	0,000668
2	1	3,75	3,6	0,000670
	2	3,5	3,36	0,000669
	3	3	2,88	0,000668
3	1	4,25	4,08	0,000671
	2	3,75	3,6	0,000670
	3	3,25	3,12	0,000669

Objętość części zanurzonej liczona jest ze wzoru:

$$V = \frac{W}{\delta*g}$$

Wypór

liczony jest ze wzoru W= m * g

m – masa katamaranu + łączna masa płytek

Dla 1 wariantu: W₁ = (3,52 kg + 0,872 kg) * 9,81 m/s2 = 43,086 N

Dla 2 wariantu: W₂ = (3,52 kg + 0,872 kg) * 9,81 m/s2 = 43,086 N

Dla 3 wariantu: W₃ = (3,52 kg + 0,872 kg) * 9,81 m/s2 = 43,086 N

Gęstość wody

Dla temperatury 22^∘C (295K) wynosi 997,77 kg/m³

Zatem objętość części zanurzonej wynosi:

$$V_{1} = \frac{43,086}{997,77*9,81} = 0,00440\ {\lbrack m}^{3}\rbrack$$

Analogicznie liczymy dla pozostałych wariantów i otrzymujemy wyniki:

V₂ = 0,00440

V₃ =0,00440

Głębokość zanurzenia policzono ze wzoru:

$$h = \frac{V}{D}$$

Gdzie: V – objętość części zanurzonej

D – powierzchnia zanurzenia (2 prostokąty o bokach 0,08m i 0,6m)

D=2*0,08*0,6 = 0,096 [m²]

Zatem:

$$h_{1} = \frac{0,00440}{0,096} = 0,0458\ \lbrack m\rbrack$$

Analogicznie liczymy dla pozostałych wariantów:

h₂= 0,0458 m

h₃= 0,0458 m

Wysokość środka wyporu obliczono wzorem:

$$S_{w} = \frac{h}{2}$$

Zatem:

$$S_{w1} = \frac{0,0458}{2} = 0,0229\ \lbrack m\rbrack$$

Analogicznie dla pozostałych wariantów:

S_w2=0,0229 m

S_w3=0,0229 m

Wysokość środka ciężkości obliczono wzorem:

Dla 1 wariantu:

$$S_{c} = \frac{m_{k}*\left( \frac{a}{2} \right) + m_{b}*\left( a - y + \frac{z}{2} \right)}{m_{k} + m_{b}}$$

$$S_{c} = \frac{m_{k}*\left( \frac{a}{2} \right) + m_{b}*\left( a - y + z \right)}{m_{k} + m_{b}}$$

Dla 3 wariantu:

$$S_{c} = \frac{m_{k}*\left( \frac{a}{2} \right) + m_{b}*\left( a - y + \frac{3z}{2} \right)}{m_{k} + m_{b}}$$

Gdzie:

m_k – masa katamaranu

a – wysokość katamaranu (0,08m)

m_b – masa balastu

y – wysokość zagłębienia przeznaczonego na płytki balastowe (0,018m)

z – grubość płytek balastowych (0,005m)

$$S_{c1} = \frac{3,52*\left( \frac{0,08}{2} \right) + 0,872*\left( 0,08 - 0,018 + \frac{0,005}{2} \right)}{3,52 + 0,872} = 0,0449\ \lbrack m\rbrack$$

Analogicznie, dla pozostałych wariantów:

S_c2= 0,0453 m

S_c3= 0,0458 m

Odległość pomiędzy wysokością środka ciężkości a wysokością środka wyporu

liczymy wzorem:

a = S_c − S_w

Zatem:

a₁ = 0,0449 - 0,0229 = 0,0220 [m]

Analogicznie dla pozostałych warianów:

a₂ = 0,0224 [m]

a₃ = 0,0229 [m]

A zatem obliczam wysokość meta centryczną metodą analityczną:

Podstawiając do wzoru:

$$m_{a} = \frac{J}{V} - a$$

Dla 1 wariantu:

$$m_{a} = \frac{0,000670}{0,00440} - 0,0220 = 0,130\ \lbrack m\rbrack$$

J	a	v	ma
0,000670	0,0220	0,00440	0,130
0,000669	0,0220	0,00440	0,130
0,000668	0,0220	0,00440	0,130
0,000670	0,0224	0,00440	0,130
0,000669	0,0224	0,00440	0,130
0,000668	0,0224	0,00440	0,130
0,000671	0,0229	0,00440	0,130
0,000670	0,0229	0,00440	0,129
0,000669	0,0229	0,00440	0,129

Różnica pomiędzy wysokością metacentryczną liczoną metodą analityczną a wysokością liczoną metodą doświadczalną

ma	md	ma − md
0,130	0,130	0
0,130	0,135	-0,00500
0,130	0,143	-0,0130
0,130	0,130	0
0,130	0,126	0,00400
0,130	0,131	-0,00100
0,130	0,115	0,0150
0,129	0,117	0,0120
0,129	0,121	0,00800

6. Rachunek błędów

Niepewności pomiarowe wynikają z pomiarów kąta (φ) odczytywanego za pomocą skali kątowej oraz pomiaru długości (b) wykonanych za pomocą taśmy mierniczej.

$$\frac{\partial m}{\partial b} = \left( \frac{\text{Gb}}{} \right)^{'} = \frac{G}{}$$

$$\frac{\partial m}{\partial} = \left( \frac{\text{Gb}}{} \right)^{'} = \frac{- GbW}{\left( \right)^{2}}$$

$$\Delta m = \left| \frac{G}{}*b \right| + \left| \frac{- GbW}{\left( \right)^{2}}*\ \ \right|$$

b  =  0, 001m

= 0,98 ° * $\frac{\pi}{180}$ = 0,0171 rad

ma
0,130	0,0164
0,130	0,0198
0,130	0,0247
0,130	0,0164
0,130	0,0172
0,130	0,0209
0,130	0,0130
0,129	0,0149
0,129	0,0177

gdzie - błąd wyznaczenia wartości m [m],

- błąd wyznaczenia wartości b [m],

- błąd wyznaczenia wartości kąta wychylenia [rad],

6. Wykresy

7. Wnioski

Wysokość metacentryczna zależy ściśle od geometrycznych parametrów badanego układu.

Można zauważyć że każdemu stanowi równowagi odpowiada inna wartość wysokości metacentrycznej.

W każdym z naszych przypadków wysokość meta centryczna była dodatnia, a zatem, mamy tu do czynienia z równowagą trwałą.

Na podstawie przeprowadzonego doświadczenia stwierdzić można, że wysokość metacentryczna rośnie wraz ze spadkiem odległości środka wyporu od środka ciężkości (a)