FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ GRANICA FUNKCJI $\operatorname{}\sqrt[k]{1 + a_{n} = 1}\text{\ gdy\ kϵN\ i\ lim}a_{n} = 0\operatorname{}{\sqrt[n]{a} = 1\ gdy\ a > 0}\operatorname{}{\sqrt[n]{n} = 1}$ / $\operatorname{}{\left( 1 + a_{n} \right)^{\frac{1}{a_{n}\ }} = e,\ gdy\ \operatorname{}{a_{n} = 0}\text{\ \ \ \ }}\operatorname{}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e,\ e = 2,718$ $$\operatorname{}a^{n} = \left\{ \begin{matrix} 0\ gdy\ \left| a \right| < 1 \\ 1\ gdy\ a = 1 \\ + \infty\ gdy\ a > 1(nie\ istnieje\ a \leq - 1) \\ \end{matrix} \right.\ $$ $$\operatorname{}{\left( 1 + b_{n} \right)^{\frac{1}{b_{n}}} = e,\ gdy\ \operatorname{}{b_{n} = 0}\text{\ \ \ \ }}\operatorname{}{a_{n} = 0}\text{\ \ \ }a_{n} > 0\ \ a_{n} < 0$$ $\lim\frac{1}{a_{n}} = \ $ +∞ - ∞ |an| = +∞ $$\operatorname{}{\frac{1}{a_{n}} = 0}$$ $$\left| a_{n} \right| < M\ \frac{\lim b_{n} = 0}{\lim\left| b_{n} \right| = \infty}$$ $$\frac{\lim\left( a_{n}\ \bullet \ b_{n} \right) = 0}{\lim\frac{a_{n}}{b_{n}} = 0}$$ an =   + ∞      b > 0 i limbn = b      b < 0 lim (an•bn) =                        + ∞ -∞ lim|an| = ∞    i    lim bn = 0 lim(an•bn)= liman = limbn =   + ∞ Albo liman = limbn =   − ∞ lim(an •bn) =   + ∞ lim(an− bn)= $$\lim\frac{a_{n}}{b_{n}} =$$ liman = limbn = 0 $$\lim\frac{a_{n}}{b_{n}} =$$

POCHODNE FUNKCJI $$\left\lbrack f\left( x \right) \bullet g\left( x \right) \right\rbrack^{'} = f^{'}\left( x \right) \bullet g\left( x \right) + g^{'}\left( x \right) \bullet f(x)\left\lbrack \frac{\text{f\ }\left( x \right)}{\text{g\ }\left( x \right)} \right\rbrack^{'} = \ \frac{f^{'}\left( x \right)g\left( x \right) - f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}\left\lbrack f\left( x \right) \mp g\left( x \right) \right\rbrack^{'} = f'\left( x \right) \mp g'\left( x \right)$$ [c f(x)]’ = c f’(x) c ϵ R i f(x) jest różniczkowalna f(x) f’(x) f(x)=c f’(x) = 0 f(x) = x^2 f^′(x) =  α  • x^α − 1 $$f\left( x \right) = \ \sqrt[n]{x}$$ $$f'\left( x \right) = \ \frac{1}{\text{n\ }\sqrt[n]{x^{n - 1}}}$$ f(x) =  a^x f^′(x) =  a^xlna f(x) =  e^x f^′(x) = e^x f(x) = sinx f’(x) = cosx f(x) = cosx f’(x) = sinx f(x) =  x $$f^{'}\left( x \right) = \ \frac{1}{x\ln_{a}}$$ f(x) = lnx $f^{'}\left( x \right) = \ \frac{1}{x}$ f(x) = arcsinx $$f^{'}\left( x \right) = \ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$ f(x) = arccosx $$f^{'}\left( x \right) = \ \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$ f(x) = arctgx $$f^{'}\left( x \right) = \ \frac{1}{x^{2} + 1}$$ f(x) = arcctgx $$f^{'}\left( x \right) = \ \frac{- 1}{x^{2} + 1}$$ $$f\left( x \right) = \sqrt{g(x)}$$ $$f^{'}\left( x \right) = \ \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$$ f(x) = ln(g(x)) $$f^{'}\left( x \right) = \ \frac{g'(x)}{g(x)}$$ f(x) =  e^g(x) f^′(x) =  e^g(x) • g′(x)

RACHUNEK CAŁKOWY

$\int_{}^{}x^{\alpha}dx = \ \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + c\ gdy\ \alpha \neq - 1$

$$\int_{}^{}{x^{- 1}dx = \ \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx = ln\left| x \right| + c\ \ x \neq 0}}$$

$$\int_{}^{}{\frac{1}{\cos^{2}\text{x\ }}dx = tgx + c\ \ \ x \in R\ i\ cos \neq 0}$$

$$\int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}\text{x\ }}dx = - ctgx + c\ }\ \ x \in R\ i\ sinx \neq 0$$

∫cosxdx = sinx + c x ∈ R

$$\int_{}^{}{\frac{f^{'}\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx = ln\left| f\left( x \right) \right| + c\ \ gdy\ f\left( x \right) \neq 0}$$

$$\int_{}^{}\left\lbrack f\left( x \right) \right\rbrack^{\alpha}\ \bullet f^{'}\left( x \right)dx = \ \frac{\left\lbrack f\left( x \right) \right\rbrack^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + c\ \ \alpha \neq - 1$$

$$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{1 - \ x^{2}}} = arcsinx + c\ x \in ( - 1;1)$$

MACIERZE m,i – wiersze ; n,j – kolumny klasyfikacja:kwadra.,prostok.,zerowe (same sera),jednostkowa(na przekątne głownej 1 i pozostałe zera),diagonalna(m.kwadr.elem ≠ 0 tylko na przekątnej głównej ), trójkątna górna(zera pod p.g), trójkątna dolna(zera nad p.g.), symetryczna (aij=aji) Własności działań A+B=B+A / (A+B)+C=A+(B+C) A+B=0 to B=-A / A+B=A to B=0 β(A+B)=β*A+ β *B / β(A*B)= A (β*B) (A*B)*C=A*(B*C) / A(B+C)=A*B+A*C (G*H)*F=H*F+H*F / Am*n to ImA=AIn=A (A^T)^T=A / (A+B)^T=A^T+B^T / (A*B)^T=B^T*A^T / (A^-1)^T=(A^T)^-1 (A^-1)^-1=A / (A*B)^-1=B^-1*A^-1 / (β*A)^-1= 1/ β * A^-1 Przekształcenia elementarne T1- wiersza * liczba ≠ 0 / T2 – zamiana kolumn T3 – wierszx ± wierszy * wierszx Charakterystyki liczbowe ~WYZNACZNIK kwadratowa – det - m.jednoele. det=ten elem - m 2*2 det=a11*a22 – a21*aa12 - m.m*n det= a11D11+a12D12+…+aijDij gdzie Dij = (-1)^i+j detAij - detIn=1 -m.diagonalna detA=iloczyn p.g -m.trójkątna górna lub dolna detA=iloczyn p.g. -m.kwadratowa detA=detA^T - wiersza albo kolumna wszyst. Elem. 0 detA=0 -2 wier lub 2kol są proporc lub identy detA=0 - B= β*A to detB= β^ndetAn n- stopień m. - detA≠0 to detA^-1= 1/detA - B powstaje z A przez T1 detB= β*detA - B powstaje z A przez T2 detB=-detA - B powstaje z A przez T3 detB=detA - jeżeli An i Bn to det(A*B)=detA*detB ~ RZĄD dowolna – rz - rzIn=n - rzA=0 gdy A jest m.zerową - 0≤rzA≤min(m,n) gdzie Am*n(prostokątna) - rzA=rzA^T - B powstaje z A przez T1,T2,T3 to rzA=rzB - jeżeli w A istnieje Mr(minor st.r) o właś. Mr≠0 lub Mr+1=0 to rzA=r -An rzA<n detA=0, jeżeli detAn≠0 to rzAn=n ~ŚLAD kwadratowa – tr - trA=a11+a22+…+ann / Własności śladu trIn= n / tr(A+B)= trA+trB / tr(β*A) = β*tr*A tr(A*B) = tr (B*A) dla An*k i Bk*n Tw. Laplace’a – to z dopełnieniem Dij Sch. Sarrusa – tylko wyznacznik stopnia 3 M.odwrotna metodą wyznacznikową 1. liczby detA, jeżeli detA≠O to 2. obliczamy dopeł. algebraiczne wszystkich elementów m.A 3. z dopełn. z kroku 2 budujemy m.D i robimy D^T 4.wyniki podstawiamy do wzoru A^-1 = 1/detA * D^T 5. sprawdzamy wyniki A*A^-1=I Reguły do funkcji wymiernych: St.licznika=st.mianowanika lim=l/m St.licznika>st.mianownika lim=±∞ St.licznika<st.mianownika lim=0 Funkcje parzysta –symetryczna względem osi OX Funkcje nieparzysta-symetryczna względem początku układu współrzędnych (0,0)

UKŁAD RÓWNAŃ LINIOWYCH Może być zapis macierzowy, wektorowy. a1x1+a2x2+….+anxn=b / b=0 jednorodny, b≠0 niejednorodny Układ równań Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie jest układem oznaczonym. 1.licz. równań=licz. niewiadomych oraz detA≠0 2.mamy m.A, A1, A2, oraz układ ……=liczba Powstawiamy w m.1 za kolumnę pierwsza liczby z układu po znaku = , w m.A2 za kolumnę 2 i liczymy detA1, detA2, detA3 3.otrzymane wyniki podstawiamy do wzoru X1= detA1/detA x2=detA2/detA xn=detAn/detA Układy są równoważne jeżeli zbiory rozwiązań tych uk. Są identyczne. Jeśeli [A*;b*] powstała z [A;b] przez T1,T2,T3 to ukł. AX=b i A*X=b* są równoważne. Postać bazowa uk. 4x1-5x2 +x4=13 3x1-3x2+x3 =9 Postać zredukowana x4=13-4x1+5x2 x3=9-3x1+3x2 Ogólne rozwiązanie x1 α X= x2 = β x3 9-3α+3β x4 13-4α+5β Rozwiązanie szczególne (dowolne parametry dla α,β) α=β=1 1 X1= 1 9 12 Rozwiązanie bazowe (w każdym występują co najmniej dwa 0) x1= α=0 0 x2= β=0 x1= 0 x3=9 9 x4=13 13 Twierdzenie Korneckera – Capelie’go Ukł.równ.lin. AX=b posiada rozw. gdy rzA=rz[A;b] wnioski: 1.rzA=rz[A;b]=n(l.niew) uk.oznaczony 1 rozwi 2.rzA=rz[A;b]=r<n ma nieskoń.wiele rozw. Nieoznaczony 3.rzA≠rz[A;b] -> uk. Sprzeczny Liczba różnych rozwiązań bazowych nieozn. Ukł.równ. jest = co najmniej (r^n) n-li.niew/ r=rzA=rz[A;b] Układ postraci AX=0-> u.r.l. jednorodny Funkcja różnowartościowa – każda II do osi OX przecina jej wykres w co najwyżej jednym miejscu. Ciągłość funkcji: 1. x0 € D 2. Istnieje skończona granica funkcji w punkcie x0 3. f(x0)=lim f(x) Reguła del’Hospitala 0/0 ∞/∞ Ekstremum: w.konieczny f ’(x0)=0 / w.wystarczający pochodna zmienia znak w otoczeniu z „+” na „-” -> max / z „-” na „+’ -> min/ jeżeli należy do funkcji lokalne właściwe, nie należy to lokalne Punkt przegięcia: z wklęsłego na wypukły i odwrotnie ->w.wystarczajacy f ‘’(x0)=0 -> w. konieczny WNW i WNM w przedziale: 1.liczymy f(a) i f(b) 2. Wyznacz. ekstrema lokalne w przedziale <a b> 3.porównujemy wartości Asymptota ukośna y=ax+b a=limf(x)/x b=lim(f(x) - ax) Przekształcenia wykresu: y = - f(x) względem osi OX y = f(-x) względem osi OY y = If(x)I tak jak y = - f(x) y = f(IxI) tak jak y = f(-x) y = f(x) + e przesunięcie o [0,e] y = f(x-a) przesunięcie o [a,0] y = f(x-a) + e przesunięcie o [a,e]