Kinematyka: prędkość i przyspieszenie, ruch jednostajny prostoliniowy ze stałą prędkością, ruch jednostajnie zmienny.

1. Prędkość:

• wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu.

• skalarna wielkość oznaczająca przebytą drogę w jednostce czasu lub tylko wartość prędkości zwana przez niektórych szybkością.

a) Prędkość chwilowa: jest pochodną drogi względem czasu: $v = \frac{\text{dx}}{\text{dt}}$

b) Prędkość średnia: iloraz drogi i czasu, w którym droga ta została pokonana. $v_{sr} = \frac{s}{t}$, $\ \overrightarrow{V} = \frac{x - x_{0}}{t}$

2. Przyspieszenie: pochodna wektora prędkości V(t) po czasie (szybkość zmiany wektora prędkości). Jeśli przyspieszenie styczne jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje a przyspieszenie to jest nazywane opóźnieniem $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{\text{dv}}}{\text{dt}}$

3. Ruch jednostajny prostoliniowy torem jest linia prosta, a wartość prędkości (szybkość) jest stała. Kierunek, zwrot i wartość prędkości nie ulegają zmianie w czasie trwania ruchu. Szybkość (prędkość) w tym ruchu jest stała v=const.

• Wykresem zależności drogi od czasu S(t), w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest to pół prosta wychodząca z początku układu współrzędnych i nachylona pod kątem ostrym do osi czasu t. Wartość tego kąta zależy od wartości prędkości. Położenie ciała, w wybranym układzie współrzędnych, może być opisane przez współrzędną dodatnią lub ujemną, a droga przebyta przez ciało ruchem jednostajnym zawsze wyraża się wzorem: s=vt, czyli jest wprost proporcjonalne do czasu.

• W ruchu prostoliniowym jednostajnym prędkością ciała nazywamy iloraz wektora przemieszczenia AB i czasu t, w którym to przemieszczenie nastąpiło $\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{\text{AB}}}{t}$.

• Wykres prędkości (szybkości) od czasu V(t), w ruchu jednostajnym obrazuje jaką drogę przebyło ciało w tym ruchu. Jest to pole powierzchni pod pół prostą przebiegającą równolegle do osi czasu.

4. Ruch jednostajnie zmienny: ruch prostoliniowy, w którym wartość przyspieszenia jest stała: a=const.

o Jeżeli przyspieszenie ciała jest stałe, to ruch tego ciała nazywamy ruchem jednostajnie zmiennym.

o ruch jednostajnie przyspieszony - jeśli wartość prędkości ciała rośnie zawsze o tyle samo w jednostce czasu

o ruch jednostajnie opóźniony - jeśli wartość prędkości ciała maleje zawsze o tyle samo w jednostce czasu

Ogólny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego (a>0) i opóźnionego (a<0).

W ruchu jednostajnie przyspieszonym szybkość wzrasta w każdej jednostce czasu o taką samą wartość, czyli liniowo Obliczając pole pod wykresem v(t) sporządzonym dla rozważanego przypadku ruchu, obliczamy drogę przebytą przez ciało tym ruchem. Jeżeli v początkowe równe jest zeru to obliczamy pole trójkąta. Jeżeli v początkowe nie jest równe zeru obliczamy pole trapezu.

Przykład ruchu jednostajnie zmiennego:

o spadek ciał bez oporu powietrza - ciała spadają z przyspieszeniem ziemskim g.

o hamowanie samochodu (liczone tylko do momentu zatrzymania)

o zsuwanie się ciał po równi (pochylni)

o wznoszenie się ciał rzuconych pionowo do góry (też bez uwzględnienia oporu powietrza)

Najprostszym rodzajem ruchu zmiennego jest ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy. W ruchu tym:

o torem jest prosta

o przyspieszenie jest stałe (a = const)

o zwrot przyspieszenia jest zgodny ze zwrotem prędkości ciała

o wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym: $s = v_{0}t + \frac{at^{2}}{2}$

Rzut pionowy, rzut ukośny, ruch „jednostajny” po okręgu.

1. Rzut pionowy lot ciała wyrzuconego pionowo do góry z poziomu zerowego (h₀ = 0). Ciału jest nadawana pionowa prędkość początkowa o wartości v₀ skierowana do góry.

W przypadku gdy nie musimy uwzględniać oporu powietrza opis ruchu jest następujący:

o początkowo ciało wznosi się po linii prostej do góry ruchem jednostajnie opóźnionym z opóźnieniem równym g.

o na ułamek sekundy zatrzymuje się w momencie osiągnięcia maksymalnej wysokości (w zasadzie formalnie rzecz biorąc czas trwania tego zatrzymania wynosi zero)

o by następnie ruchem jednostajnie przyspieszonym opadać na ziemię z przyspieszeniem równym g.

o po upadku na powierzchnię ziemi (lub innej planety) ciało zatrzymuje się. Nieraz jednak rozważa się problemy wynikające z założenia, że w ciało może spadać dalej (bo np. początkowo ciało startowało z platformy niesionej przez balony).

Wzory na położenie i prędkość niżej wyprowadzone obowiązują wyłącznie do momentu uderzenia ciała o podłoże.

• Prędkość po upływie czasu t od wyrzucenia w górę: v = v₀ − gt

• Wysokość na jakiej znajduje się ciało po upływie czasu t od wyrzucenia w górę: $h = v_{0}t - \frac{gt^{2}}{2}$

Zakładamy, że umowny kierunek dodatni jest skierowany do góry. Oznacza to więc, że dodatni wynik prędkości odpowiada wznoszeniu, a ujemny opadaniu. Podobnie dodatnie wynik h oznacza położenie ponad poziomem zerowym, a ujemny pod nim.

• Maksymalna osiągnięta wysokość: $H_{\max} = \frac{{v_{0}}^{2}}{2g}$

• Czas wznoszenia do osiągnięcia maksymalnej wysokości: $t = \frac{v_{0}}{g}$

• Czas lotu do momentu upadku na poziom początkowy: $t = \frac{2v_{0}}{g}$

2. Rzut ukośny lot ciała wyrzuconego z poziomu zerowego (y₀ = 0). Ciału jest nadawana prędkość o wartości v₀, skierowana pod kątem α do poziomu. Ciało porusza się łukiem, by po pewnym czasie opaść na ziemię.

Odległość jaką przebywa ciało w poziomie do momentu upadku na poziom początkowy nazwiemy zasięgiem (Z) rzutu ukośnego.

Początkowe położenie:	x = 0 y = 0
Kąt, jaki prędkośd początkowa tworzy z poziomem:	α
Prędkośd początkowa ma wartośd v0	Prędkośd pocz. pozioma: v0x = v0 · cosα Prędkośd pocz. pionowa: v0y = v0 · sin α
Przyspieszenie ma wartośd g.	Przyspieszenie w tym ruchu jest stałe i jest skierowane pionowo w dół.

W przypadku, gdy nie musimy uwzględniać oporu powietrza, torem ruchu ciała jest parabola. Ruch ciała rozkłada się wtedy na dwa ruchy prostsze:

o ruch w poziomie (współrzędna X-owa) – odbywa się ze stałą prędkością o wartości składowej poziomej prędkości początkowej

o ruch w pionie (współrzędna Y-owa) – jest w istocie rzutem pionowym, czyli ruchem jednostajnie zmiennym z prędkością początkową równą składowej pionowej .

Wzory opisujące rzut ukośny:

o Prędkość pozioma (w dowolnej chwili czasu t): v_x = v_0x = constv_x = v₀cosα

o Prędkość pionowa po czasie t: v_y = v₀sinα − gt

Odległość pozioma przebyta w poziomie po czasie t: s = v₀tcosα

Wysokość na jakiej znajduje się ciało po czasie t:

$h = v_{0y}t - \frac{gt^{2}}{2}$ $h = v_{0}\text{tsinα} - \frac{gt^{2}}{2}$

Czas lotu do momentu upadku na poziom początkowy: $t_{s} = \frac{2v_{0}\text{sinα}}{g}$

Czas wznoszenia do osiągnięcia maksymalnej wysokości: $t_{w} = \frac{2v_{0}\text{sinα}}{g}$

Zasięg rzutu poziomego (odległośd przebyta w poziomie do momentu upadku na poziom początkowy):	$$Z = \frac{2{v_{0}}^{2} \times \text{sinαcosα}}{g} = \frac{{v_{0}}^{2} \times \sin 2\alpha}{g}$$
Maksymalna osiągnięta wysokośd:	$$H_{\max} = \frac{{v_{0y}}^{2}}{2g}$$ $$H_{\max} = \frac{{v_{0}}^{2} \times \sin^{2}\alpha}{2g}$$

Tor rzutu ukośnego ma kształt paraboli skierowanej ramionami w dół .

3. Ruch „jednostajny” po okręgu: prędkość kątowa punktu poruszającego się po okręgu nie zmienia się (prędkość liniowa również).

Przykładem ruchu jednostajnego po okręgu może być ruch paproszka leżącego na obracającej się płycie gramofonowej lub ruch obiektu leżącego na powierzchni obserwowany z bieguna ziemskiego w układzie nie obracającym się wraz z Ziemią (np. wtedy, gdy jedna oś układu odniesienia cały czas jest zwrócona na Słońce lub odległą gwiazdę).

w ruchu jednostajnym po okręgu ω = const

W ruchu jednostajnym po okręgu przyspieszenie (jako wektor) nie jest równe

zero, mimo że wartość prędkości nie zmienia się. Z dwóch składowych

przyspieszenia: stycznej i normalnej tylko jedna ma wartość zero.

o składowa styczna (zmieniająca wartość prędkości) ma wartość zero

o składowa normalna (zmieniająca kierunek prędkości) jest niezerowa

Prędkość: $v = \frac{2\text{πr}}{T}$

Prędkość kątowa: $\omega = \frac{2\pi}{t}$

Częstotliwość: $f = \frac{1}{T}$

Przyspieszenie dośrodkowe: $a_{dsr} = \frac{v^{2}}{r}$

Pęd, siła, zasady dynamiki Newtona.

1. Pęd iloczyn masy i prędkości ciała. Wielkością wektorową. Kierunek i zwrot wektora pędu jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora prędkości: $\overrightarrow{p} = m\overrightarrow{v}$

2. Siła jest wielkością która zmienia stan ruchu ciała (a więc zmienia pęd i prędkość). Można to zaobserwować, gdy ciało jest nie przymocowane i może się poruszać pod wpływem siły.

Aby siłę rozpoznać, trzeba zaobserwować jakąś modyfikację kierunku i wartości prędkości.

Bez siły prędkość pozostaje niezmienna - czyli ciało:

• pozostaje w spoczynku (jeśli wcześniej w tym spoczynku było)

• zachowuje swój poprzedni ruch (jeśli już wcześniej w ruchu było), czyli będzie poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Gdy na ciało zaczyna działać niezrównoważona siła ciało zmieni swój stan ruchu - zacznie przyspieszać, zwalniać, zmieniać kierunek ruchu.

Definicja siły z przyspieszenia (z II zasady dynamiki Newtona) F=ma

Definicja siły z pędu siła związana z jakimś oddziaływaniem jest równa szybkości zmiany pędu ciała wywołanej przez to oddziaływanie. Duża siła potrafi zmienić pęd szybko, mniejszej sile ta sama zmiana pędu zajmie znacznie więcej czasu.

Siła jest miarą przyspieszenia nadawanego swobodnemu ciału lub jest równa szybkości zmiany pędu.

Jeden niuton jest to siła, która jednemu kilogramowi nadaje przyspieszenie o wartości 1 $\frac{m}{s^{2}}$.

3. Zasady dynamiki Newtona

I zasada dynamiki: Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II zasada dynamiki: Przyspieszenie jakie nadaje niezrównoważona siła F ciału o masie m jest wprost proporcjonalne do tej siły, a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{\overrightarrow{m}}$

III zasada dynamiki: Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F_AB , to ciało B działa na ciało A siłą F_BAo takim samym kierunku i wartości jak , ale przeciwnym zwrocie $\overrightarrow{F_{\text{AB}}} = - \overrightarrow{F_{\text{BA}}}$. Siły zawsze występują parami (wyjątkiem są siły bezwładności, ale one nie są prawdziwymi siłami, tylko sztucznie wprowadzoną do obliczeń).

Prawo powszechnego ciążenia: siła grawitacji, przyspieszenie ziemskie. Prędkości kosmiczne. Ruch satelity Ziemi. Satelita geostacjonarny – promień orbity.

1. Prawo powszechnego ciążenia: dwa ciała o masach M i m przyciągają się wzajemnie siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi $F_{g} = G\frac{\text{Mm}}{r^{2}}$.

2. Siła grawitacji: wzór Newtona na siłę grawitacji obowiązuje dla dowolnych ciał obdarzonych masą $F_{g} = G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$

m₁,  m₂ - masy oddziaływujących grawitacyjnie ciał

r - odległość między środkami ciał

G – stała grawitacji G=6,67$\times 10^{- 11}\left\lbrack \frac{Nm^{2}}{\text{kg}^{2}} \right\rbrack$

Wartość siły przyciągania grawitacyjnego działającej między dwoma ciałami jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas oddziaływujących ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami.

3. Przyspieszenie ziemskie spowodowane grawitacją, czyli zjawiskiem przyciągania się wszelkich ciał obdarzonych masą $g = 9,81\frac{m}{s^{2}}$

4. Prędkości kosmiczne

I prędkość kosmiczna najmniejsza pozioma prędkość, jaką należy nadać ciału względem przyciągającego je ciała niebieskiego, aby ciało to poruszało się po zamkniętej orbicie. Dla ciała niebieskiego o kształcie kuli, orbita będzie orbitą kołową o promieniu równym promieniowi planety. Ciało staje się wtedy satelitą ciała niebieskiego. Siła grawitacji stanowi siłę dośrodkową: $\frac{mv^{2}}{R} = \frac{\text{GMm}}{R^{2}}$ $v_{I} = \sqrt{\frac{\text{GM}}{R}}$ $v_{I} = 7,91\frac{\text{km}}{s}$

G - stała grawitacyjna, M - masa ciała niebieskiego, m - masa rozpędzanego ciała, R - promień ciała niebieskiego.

II prędkość kosmiczna prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby opuścił na zawsze dane ciało niebieskie poruszając się dalej ruchem swobodnym. Prędkość, jaką trzeba nadać obiektowi na powierzchni tego ciała niebieskiego, aby tor jego ruchu stał się parabolą lub hiperbolą . Obliczamy ją porównując energię obiektu znajdującego się na powierzchni oraz w nieskończoności. Energia w nieskończoności równa jest 0 (zarówno kinetyczna, jak i potencjalna pola grawitacyjnego), więc na powierzchni sumaryczna energia też musi się równać 0 .

$v_{\text{II}} = \sqrt{\frac{2\text{GM}}{R}} = v_{I}\sqrt{2}$ $v_{\text{II}} = 11,19\frac{\text{km}}{s}$

III prędkość kosmiczna prędkość początkowa potrzebna do opuszczenia Układu Słonecznego $v_{\text{III}} = 16,7\frac{\text{km}}{s}$. Przy powierzchni Ziemi wynosi ok. 42 km/s, lecz wobec jej ruchu obiegowego wokół Słońca wystarczy przy starcie z jej powierzchni w kierunku zgodnym z tym ruchem nadać obiektowi prędkość 16,7 km/s, by opuścił on Układ Słoneczny.

IV prędkość kosmiczna prędkość początkowa potrzebna do opuszczenia Drogi Mlecznej $v_{\text{IV}} = 130\frac{\text{km}}{s}$. Wynosi ok. 350 km/s, lecz wykorzystując fakt ruchu Słońca dookoła środka Galaktyki, wystarczy obiektowi nadać 130 km/s
w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu obiegowego Słońca względem centrum Galaktyki, by mógł on ją opuścić.

5. Ruch satelity ziemi. Satelita musi krążyć nad ziemią na wysokości co najmniej 160 km, aby nie ulegał hamowaniu w atmosferze. Musi posiadać pierwszą prędkość kosmiczną.

Przyjmijmy, że satelita porusza się po orbicie kołowej o promieniu R. Siła grawitacji $F_{g} = G\frac{M_{Z}m}{r^{2}}$ jest siłą dośrodkową, konieczną do utrzymania satelity na orbicie. Przyrównując do ogólnego wyrażenia na siłę dośrodkową:

$G\frac{M_{Z}m}{R^{2}} = \frac{mv^{2}}{R}$ otrzymujemy wyrażenie na prędkość satelity: $V = \sqrt{\frac{GM_{Z}}{R}}$

W przypadku satelity krążącego tuż nad powierzchnią Ziemi (R = R_Z), jest to pierwsza prędkość kosmiczna $v_{I} = 7,91\frac{\text{km}}{s}$. Pierwsza prędkość kosmiczna to prędkość pozioma konieczna do "oderwania" od Ziemi (zaniedbując jej ruch wirowy).

Okres obiegu satelity dookoła Ziemi: $T = \frac{2\text{πR}}{V}$

Podstawiając wyrażenie na prędkość otrzymujemy: $T = 2\text{πR}\sqrt{\frac{R}{GM_{Z}}}$. Oznacza to, że im wyższa orbita tym dłuższy okres obiegu.

Odwracając tą zależność: $R = \sqrt[3]{\frac{GM_{Z}T^{2}}{4\pi^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{g{R_{Z}}^{2}T^{2}}{4\pi^{2}}}$

Dla okresu obiegu równego okresowi obrotu Ziemi (23h 56min 4,09s) otrzymujemy: R=42 164km. Jest to wysokość orbity satelity geostacjonarnego.

Praca i energia, praca siły, siły zachowawcze i niezachowawcze, energia kinetyczna i energia potencjalna.

1. Praca wielkość fizyczna, którą oznacza się, jako iloczyn siły działającej na obiekt i jego przemieszczenia powodowanego tą siłą. W przypadku gdy wektor siły i wektor przesunięcia są wzajemnie do siebie równoległe, tzn. mają zgodne kierunki i zwroty, praca jest równa iloczynowi wartości siły i wartości wektora przemieszczenia W=F⋅s.

Praca odbywa się kosztem jakiejś energii, albo po to, by dodać czemuś energii. Ciało ma energię mechaniczną, gdy może wykonać pracę.

2. Energia

Energia potencjalna związana z położeniem i oddziaływaniem. Nie jest związaną z ruchem ciała. Wyróżniamy energią potencjalną ciężkości i sprężystości, która związana jest z oddziaływaniami sprężystymi E_p = mgh

Energia kinetyczna związana z ruchem ciała. Wprawiając w ruch jakieś ciało, musimy wykonać nad nim pracę, która będzie równa zgromadzonej energii kinetycznej. Im większa jest ta praca, tym większą energię kinetyczną ma ciało. Kosztem tej energii ciało również może wykonać pracę.

Przykładem może być bijak młota (im wyżej wzniesiony, tym większa energia). W wielu przypadkach odzyskanie energii potencjalnej odbywa się za pośrednictwem energii kinetycznej $E_{k} = \frac{mv^{2}}{2}$

Suma energii w układzie izolowanym od otoczenia, (do którego nie dopływa ani nie wypływa energia pod żadną postacią), jest wielkością stałą. Jakiekolwiek zmiany energii mechanicznej ciała można dokonać tylko poprzez dostarczenie jej z zewnątrz lub w wyniku oddania obiektom zewnętrznym. Energia mechaniczna nie może zginąć ani nie może powstać samorzutnie. Ep+Ek=const

3. Siła zachowawcza każda siła fizyczna mająca taką własność, że wartość pracy wykonanej przez tę siłę zależy jedynie od punktu początkowego i punktu końcowego drogi, wzdłuż której wykonuje ona pracę, a nie od przebiegu tej drogi. Praca nie zależy również od prędkości przemieszczania ciała np. siła grawitacyjna, kulombowskie siły oddziaływań elektrostatycznych

4. Siła niezachowawcza siła, która nie jest zachowawcza np. siła tarcia, oporu ruchu ośrodka.

?5. Praca sił

Siła stała - Praca to iloczyn drogi i siły W=F∙S. To wystarczy, jeśli siła jest stała na całej drodze

Siła zmienna - siła zmienia się wraz z położeniem W = F₁x₁ + F_Nx_N

Siła dowolna - Jeśli siła F jest stała tylko na małych drogach Δx to całkowita praca na skończonym odcinku wynosi: W=ΣF∙Δ x, czyli jest to pole pod krzywą F(x)

Praca to całka z siły po położeniu W = ∫_x1^x₂Fdx

Zasada zachowania energii mechanicznej. Twierdzenie o pracy i energii.

1. Zasada zachowania energii mechanicznej jeśli na ciało nie działają tzw. siły niezachowawcze (np. opory ruchu), to suma energii potencjalnej i kinetycznej tego ciała ma stałą wartość. Natomiast gdy na ciało działają opory ruchu, to energia mechaniczna układu zmniejsza się o wartość wydzielonego ciepła. Nie zmienia się energia całkowita.

Mówi o tym zasada zachowania energii całkowitej, czyli sumy energii potencjalnej, kinetycznej i wewnętrznej. Energia nie może być wytwarzana, ani niszczona, może tylko przechodzić z jednej formy w drugą.

Zasadę zachowania energii mechanicznej można zatem stosować: (w każdym przykładzie musi być spełnione założenie o zerowych oporach ruchu.):

o kamień spada na Ziemię (ciało o zwartej budowie i dużej gęstości stawia niewielki opór podczas spadania z niewielkiej wysokości)

o kamień wznosi się nad Ziemię rzucony pionowo do góry

o kamień rzucony w dowolnym kierunku (dopóki nie osiągnie zbyt dużej prędkości)

o sanki zjeżdżające z górki po lodzie

o sanki wjeżdżające pod górę po lodzie

o dziecko na huśtawce (tzw. wahadło fizyczne)

We wszystkich sytuacjach energia potencjalna zamienia się w kinetyczną lub kinetyczna w potencjalną. Suma tych dwóch form energii jest stała. Ec = Ep + Ek = const

2. Twierdzenie o pracy i energii Praca wykonana przez wypadkową siłę $\overrightarrow{F}$ działającą na ciało zmieniająca prędkość ciała od wartości $\overrightarrow{V_{A}}$ do $\overrightarrow{V_{B}}$ jest równa $W = \frac{1}{2}m\left( {V_{B}}^{2} - {V_{A}}^{2} \right) = E_{k}$ , czyli zmiana energii kinetycznej tego ciała.

Właściwość i ruch środka masy. Zasada zachowania pędu. Zderzenia sprężyste i niesprężyste.

1. Środek masy odnosi się nie tylko do brył sztywnych, ale także do dowolnego układu punktów materialnych. Jest to punkt geometryczny, w którym koncentruje się masa całego układu. Jest to średnie położenie poszczególnych składowych układu.

W przypadku brył jednorodnych środek masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym. Środek masy kuli leży w jej środku, środek masy odcinka znajduje się w jego połowie, środek masy trójkąta leży na przecięciu się jego środkowych. Środek masy S dwóch ciał o masach m oraz M określa się jako punkt leżący na odcinku łączącym te masy, przy czym md = MD

Środek masy, punkt określony przez rozkład mas w danym ciele lub układzie ciał. $r = \frac{\sum_{k}^{}{m_{k}r_{k}}}{\sum_{k}^{}m_{k}}$

m_k,  r_k- masy i promienie wodzące poszczególnych punktowych ciał składających się na dany obiekt.

Właściwości środka masy:

o Całkowity pęd układu cząstek jest równy pędowi cząstki o masie równej całkowitej masie cząstek M pomnożonej przez prędkość środka masy układu

o Środek masy ciała porusza się tak, jak cząstka o masie M do której przyłożone są wszystkie siły zewnętrzne działające na układ cząstek

o W przypadku, gdy układ jest odosobniony, jego całkowity pęd jest stały i wtedy prędkość środka masy jest również stała co do wartości i co do kierunku, czyli środek masy porusza się ruchem bezwładnym, niezależnie od tego, jak poruszają się części składowe układu.

o Na układ odosobniony nie działają siły zewnętrzne. Widzimy zatem, że siły wewnętrzne nie wpływają na ruch środka masy.

o Jak zachowuje się środek masy, gdy na układ działają siły zewnętrzne? Środek masy uzyskuje wtedy przyspieszenie a, które można obliczyć z drugiej zasady dynamiki Newtona.

Ruch środka masy Środek masy porusza się tak, jakby cała masa M ciała była skupiona w tym punkcie. Jego przyspieszenie a₀ określone jest przez sumę sił zewnętrznych F działających na bryłę: $a_{0} = \frac{F}{m}$.

Oznacza to, że siły istniejące między poszczególnymi częściami ciała nie mają wpływu na jego ruch postępowy. Na mocy trzeciej zasady dynamiki Newtona siły wewnętrzne znoszą się parami. Gdy wypadkowa sił zewnętrznych równa jest zeru, środek masy spoczywa (lub porusza się jednostajnie po prostej). Ruch środka masy bryły utożsamiamy z jej ruchem postępowym.

Twierdzenia dotyczące środka masy

o Środek masy układu płaskiego leży w płaszczyźnie tego układu

o Środek masy linii prostej leży na tej linii

o Środek masy dwóch punktów materialnych leży na prostej łączącej te punkty i dzieli ją na odcinki o długościach odwrotnie proporcjonalnych do ich mas.

o Środek masy układu mającego środek symetrii leży w tym środku. Jeżeli układ ma 2 lub więcej osi symetrii to środek leży w punkcie przecięcia się tych osi

o Rzut środka ciężkości figury płaskiej na dowolną płaszczyznę jest środkiem ciężkości rzutu tej figury na dowolną płaszczyznę.

o Moment statyczny względem osi lub płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości jest zawsze równy 0.

o Moment statyczny nie zmieni się jeżeli zamiast części układu wprowadzimy punkt materialny o masie równej masie danej części leżący w środku ciężkości tej części masy.

2. Zasada zachowania pędu Jeżeli na jakiś układ ciał nie działają siły (oddziaływania) zewnętrzne, wtedy układ ten ma stały pęd.

Jeżeli F = 0, to p = const

Zmienić pęd układu może tylko siła działająca z zewnątrz układu.

3. Zderzenia

• Sprężyste suma energii oraz pędów zderzających się ciał przed zderzeniem i po zderzeniu jest taka suma.

$\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{2}}\mathbf{\times}{\mathbf{u}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{1}}\mathbf{\times}{\mathbf{u}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{2}}\mathbf{\times}{\mathbf{V}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{1}}\mathbf{\times}{\mathbf{V}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$ oraz m₁×u₁+m₂×u₂=m₁×V₁+m₂×V

Wzory na prędkość ciała po zderzeniu sprężystym centralnym:

$u_{1} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}V_{1} + \frac{2m_{2}}{m_{1} + m_{2}}V_{2}$ $u_{2} = \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}}V_{2} + \frac{2m_{1}}{m_{1} + m_{2}}V_{1}$

• Niesprężyste suma energii kinetycznych po zderzeniu jest mniejsza niż przed zderzeniem, a suma pędów po zderzeniu i przed zderzeniem jest jednakowa.

$\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{2}}\mathbf{\times}{\mathbf{V}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{1}}\mathbf{\times}{\mathbf{V}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{>}\frac{\left( {\mathbf{m}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{m}}_{\mathbf{2}} \right)\mathbf{\times}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$

m₁×V+m₂×V=(m₁+m₂)×u

$$\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{2}}\mathbf{\times}{\mathbf{V}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{1}}\mathbf{\times}{\mathbf{V}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\left( {\mathbf{m}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{m}}_{\mathbf{2}} \right)\mathbf{\times}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{W}_{\mathbf{\text{od}}}\mathbf{+}\mathbf{Q}$$

• Centralne wektory prędkości zderzających się ciał należą do prostej łączącej środki tych ciał. $\overrightarrow{V_{1}}\ i\ \overrightarrow{V_{2}}\ \in \ \left| O_{1}O_{2} \right|$.

• Niecentralne gdy choć jeden z wektorów prędkości zderzających się ciał nie należy do prostej.

Dynamika ruchu obrotowego: ciało sztywne, moment siły, moment pędu, moment bezwładności.

1. Ciało sztywne (nieodkształcalne) - ciało materialne, w którym wzajemne odległości cząstek nie ulegają zmianie pod wpływem działających na nie sił. W rzeczywistości wszystkie ciała są odkształcalne.

2. Bryła sztywna (ciało sztywne, rozciągłe) - ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych.

3. Moment siły (obrotowy) siły F względem punktu O – iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie (0;0) i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F: $\overrightarrow{M_{0}} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$.

Wektor momentu siły jest wektorem osiowym (pseudowektorem), zaczepiony jest w punkcie O, a jego kierunek jest prostopadły do kierunku płaszczyzny wyznaczonej przez wektor F i promień wodzący r.

Określa się także moment siły względem osi, jest on równy rzutowi wektora momentu siły na tę prostą. Współrzędne Mx, My i Mz wektora M0 nazywają się momentami siły względem odpowiednich osi x, y i z.

4. Moment pędu punktu materialnego poruszającego się po okręgu o promieniu r z prędkością v, o pędzie p określa wzór: $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p} = \text{rmv}$.

5. Moment bezwładności miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. $I = \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}{r_{i}}^{2}}$

Twierdzenie Steinera – opisuje zależność momentu bezwładności bryły względem danej osi i osi równoległej do danej przechodzącej przez środek masy bryły. Mówi, że moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami. I = I₀ + md²

I₀ - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,

I – moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi,

d – odległość między osiami,

m – masa bryły.

Moment bezwładności osiąga minimalną wartość, gdy oś przechodzi przez środek masy.

Zasada zachowania momentu pędu.

Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała.

Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej $\overrightarrow{L} = \text{const}$

Z zasady zachowania momentu pędu i definicji momentu pędu $\overrightarrow{L} = I\overrightarrow{\omega}$.

Ruch drgający: siła harmoniczna, energia w ruch harmonicznym, wahadło matematyczne.

1. Siła harmoniczna wartość przyspieszenia a nie jest stała, lecz ulega ciągłej zmianie w funkcji czasu.

a(t) = −ω²x(t)

x(t) = Acos(ωt+α) + x₀ to współrzędne ciała.

Zależność przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym - siła, wywołująca ruch harmoniczny musi być zmienna.

Wartość tej siły wyznaczymy korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona

Wstawiając w miejsce a zależność opisującą przyspieszenie ciała w ruchu harmonicznym dostaniemy:

F(t) = −mω²x(t)

Siła działająca na ciało w ruchu harmonicznym jest proporcjonalna do jego przemieszczenia, lecz przeciwnie skierowana. Podczas wychylenia ciała z położenia równowagi, siła ta zawsze zwrócona jest w stronę tego punktu.

F=-kx, gdzie mω² = k stała sprężystości [N/m].

2. Energia w ruchu harmonicznym

• Potencjalna $E_{p} = \frac{k}{2}A^{2}\left( \cos v_{o}t \right)^{2}$

• Kinetyczna $E_{k} = \frac{k}{2}\left( A^{2} - x^{2} \right)$

• Całkowita $E_{c} = \frac{1}{2}kA^{2}$

3. Wahadło matematyczne układ składający się z nierozciągliwej długiej nici o długości l, pomijalnej masie i zawieszonej na niej masie m, będącej punktem materialnym (tzn. nie ma rozmiarów geometrycznych).

W położeniu równowagi siła naciągu nici $\overrightarrow{N}$ równoważy działanie siły grawitacji $\overrightarrow{F}$. W drugim położeniu zrównoważona jest jedynie składowa $\overrightarrow{F_{1}}$ siły grawitacji. Składowa $\overrightarrow{F_{2}}$ zwrócona jest w stronę położenia równowagi i to ona powoduje ruch powrotny wahadła. F₂ = −mgsinα Minus, bo siła ma przeciwny znak do wychylenia y. Wiedząc, że nić jest bardzo długa, można przyjąć, że wychylenie jest niewielkie, czyli kąt α jest mały, dlatego:

$$\text{sinα} \approx \frac{y}{l}$$

$$F_{2} \approx - \text{mg}\frac{y}{l}$$

A z II ZDN: $\text{ma} = m\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = - \text{mg}\frac{y}{l}$ lub $\frac{\text{dv}}{\text{dt}} + g\frac{y}{l} = 0$ - równanie oscylatora harmonicznego

Jeśli wychylenie: y = Asinωt i siła: F = ma = −mω²y, to

$\omega^{2} = \frac{g}{l} = \left( \frac{2\pi}{T} \right)^{2}$ i $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Tzn. okres drgań wahadła matematycznego zależy tylko od wartości przyspieszenia ziemskiego g i długości nici l. Nie zależy ani od masy zawieszonej na nici, ani od amplitudy drgań.

Oscylator harmoniczny tłumiony. Oscylator harmoniczny wymuszony. Rezonans

1. Oscylator harmoniczny tłumiony

Siła oporu i siła sprężysta

Równanie ruchu: $m\frac{d^{2}x}{\text{dt}^{2}} + 2\beta\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + {\omega_{0}}^{2}x = 0$

Gdzie: ${\omega_{0}}^{2} = \frac{k}{m}$ i $2\beta = \frac{b}{m} = \frac{l}{\tau}$

ROZWIAZANIE: Słabe tłumienie, czyli ω₀ > β

$$x = Ae^{\frac{- t}{2\tau}}\text{cosω}'t$$

$$\omega^{'} = \sqrt{{\omega_{0}}^{2} - \beta^{2}}$$

ROZWIAZANIE: Silne tłumienie, czyli ω₀ ≤ β

x(t)=(A+Bt)e^−βt

2. Oscylator harmoniczny wymuszony

3. Rezonans

4. Zasada zachowania energii w ruchu harmonicznym w ruchu harmonicznym prostym o wychyleniu x(t) = Asin(ωt+φ), w którym nie występują żadne siły rozpraszające np. tarcia całkowita energia mechaniczna jest zachowana (pozostaje stała). Energia całkowita to suma potencjalnej i kinetycznej.

• Energia potencjalna – występuje, gdy ciało jest w wychyleniu od stanu równowagi $E_{p} = \frac{1}{2}kx^{2}$, czyli

$E_{p} = \frac{1}{2}k\left( \text{Asin}\left( \omega t + \varphi \right) \right)^{2}$ Maksymalna energia w największym wychyleniu.

• Energia kinetyczna – występuje, gdy ciało posiada jakąś prędkość v w danej chwili $E_{k} = \frac{mv^{2}}{2}$

v = x^′(t) = ωAcos(ωt+φ)

$E_{k} = \frac{m}{2}\left( \text{ωAcos}\left( \text{ωt} + \varphi \right) \right)^{2}$ Maksymalna energia przy największej prędkości

• Energia mechaniczna – suma energii potencjalnej i kinetycznej. Całkowita energia punktu materialnego poruszającego się ruchem harmoniczny prostym jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy tego ruchu $E_{p} = \frac{1}{2}kA^{2}$

Fale i ruch falowy: fale mechaniczne, fala stojąca.

Fala to zaburzenie ośrodka sprężystego przekazane innym częściom ośrodka położenia równowagi.

Ruch falowy związany jest z dwoma procesami:

• transportem energii przez ośrodek od cząstki do cząstki

• z ruchem drgającym poszczególnych cząstek dokoła ich położenia równowagi.

Nie jest natomiast związany z ruchem materii jako całości.

1. Fale mechaniczne rozchodzą się w ośrodkach sprężystych. Ich ruch polega na przemieszczaniu się wychyleń cząstek ośrodka z położenia równowagi. Dzięki sprężystości ośrodka drgania takie przekazywane są coraz to dalej położonym cząstkom i w ten sposób fala przechodzi przez ośrodek materialny. Sam ośrodek nie zmienia położenia. Wychyleniom ulegają jedynie jego cząstki z położeń równowagi. Wraz z przemieszczaniem się wychyleń przez ośrodek przenoszona jest energia fali.

• Podłużne cząsteczki drgają wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali.

• Poprzeczne cząstki drgają w płaszczyznach prostopadłych do kierunku propagacji fali.

Przykładem fal mechanicznych są np. fale dźwiękowe z zakresu częstotliwości 16 - 20000 Hz. Wywołują wrażenia słuchowe. Fale o częstościach niższych od słyszalnych nazywa się infradźwiękami a częstościach wyższych ultradźwiękami. Falę biegnącą można o opisać równaniem:

- dla fali biegnącej w prawo x = Asin(kx−ωt)

- dla fali biegnącej w lewo x = Asin(kx+ωt)

ω – częstość kołowa $\omega = \frac{2\pi}{T}$

k – liczba falowa $k = \frac{2\pi}{\lambda}$

λ - długość fali, odległość między dwoma punktami, w których fala ma taką samą fazę. λ = vT

T – okres, czas, w którym faza pokonuje odległość równą długości fali

v - prędkość fazowa fali.

2. Fala stojąca jej grzbiety i doliny nie przemieszczają się. Fala stojąca powstaje na skutek interferencji dwóch takich samych fal poruszających się w przeciwnych kierunkach. Zwykle efekt ten powstaje np. poprzez nałożenie na falę biegnącą fali odbitej.

Fala stojąca to drgania ośrodka, nazywane też drganiami normalnymi. Miejsca gdzie amplituda fali osiąga maksima nazywane są strzałkami, zaś te, w których amplituda jest zawsze zerowa, węzłami fali stojącej.

Fala stojąca powstaje wskutek interferencji dwóch fal płaskich o tych samych ω i A, biegnących wzdłuż tej samej prostej, ale w przeciwnym kierunku:

y₁ = Acos(ωt−kx)

y₂ = Acos(ωt+kx+φ) Węzły: A_w = 0

$y = y_{1} + y_{2} = 2\text{Acos}\left( \text{kx} + \frac{\varphi}{2} \right)\cos\left( \text{ωt} + \frac{\varphi}{2} \right)$ Strzałki: A_w = 2A

$\frac{x_{1} - x_{0}}{t_{1} - t_{0}} = \frac{\omega}{k}$ prędkość fazowa

φ = ωt − kx + φ / różniczkujemy obustronnie

dφ = ωdt − kdx = 0 

$\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = \frac{\omega}{k}$ => $\omega = \frac{2\pi}{T}$

kλ = 2π

$L = n\frac{\lambda}{2}$ długość drgającej struny => $\lambda_{n} = \frac{2L}{n}$

$f = n\frac{V}{2L}$

3. Interferencja fal Efekt nakładania się dwóch lub więcej ciągów falowych. Fale przechodzą przez siebie bez zmiany kształtu, jeśli odkształcenie ośrodka sprężystego jest małe: fale mogą się wtedy rozchodzić w ośrodku niezależnie od siebie. W takim wypadku całkowite odkształcenie ośrodka jest równe sumie odkształceń.

Jeśli do jakiegoś punktu przychodzą dwie fale z przeciwnymi fazami, to całkowite odkształcenie ośrodka w tym punkcie jest 0. Do A, w zależności od kąta q dochodzi fala z obu źródeł z różnymi fazami, czyli:

y₁ = y₀cos(kr₁−ωt)

y₂ = y₀cos(kr₂−ωt)

y = y₁ + y₂

Każda fala może interferować, również fala elektromagnetyczna: światło, fale radiowe, promieniowanie Roentgena.

Dla fal sinusoidalnych

y₁ = Asin(kx−ωt)

y₂ = Asin(kx−ωt+φ)

$y = y_{1} + y_{2} = 2\text{Acos}\left( \frac{\varphi}{2} \right)\sin\left( \text{kx} - \text{ωt} + \frac{\varphi}{2} \right)$

Mechanika płynów: ciśnienie i gęstość, prawo Pascala, prawo Archimedesa, równanie Bernoulliego.

1. Ciśnienie i gęstość

Ciśnienie – wielkość skalarna określona jako wartość siły działającej prostopadle do powierzchni podzielona przez powierzchnię na jaką ona działa, co przedstawia zależność: $p = \frac{F_{n}}{S}$

p – ciśnienie (Pa), F_n– składowa siły prostopadła do powierzchni (N), S – powierzchnia (m²).

Gęstość - chcąc wyznaczyć gęstość ρ płynu w dowolnym jego punkcie, wydzielamy pewną porcję płynu o objętości ΔV w otoczeniu tego punktu i mierzymy masę Δm płynu zawartą w tej objętości $\rho = \frac{m}{V}$.

Wzór jest słuszny dla substancji niejednorodnych (gęstość mierzona w różnych punktach płynu przyjmuje różne wartości).

2. Prawo Pascala jeżeli na płyn (ciecz lub gaz) w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to (pomijając ciśnienie hydrostatyczne) ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu. Lub: Ciśnienie zewnętrzne wywierane na ciecz lub gaz znajdujące się w naczyniu zamkniętym rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkach.

Prawdziwe, gdy można pominąć siły grawitacji i inne siły masowe oraz ciśnienia wywołane przepływem płynu. Prawo to wynika z tego, że cząsteczki płynu mogą poruszać się w dowolnym kierunku, wywieranie nacisku z jednej strony zmienia ruch cząstek we wszystkich kierunkach.

3. Prawo Archimedesa Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w płynie jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało

o siła wyporu jest tym większa, im cięższy jest płyn - większa siła wyporu jest w wodzie, niż w powietrzu i większa w rtęci, niż w wodzie.

o siła wyporu jest tym większa, im większe (rozmiarami, objętością) jest ciało (a przynajmniej jego zanurzona część)

F_wyporu = ρ_plynugV_zanuzona

4. Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Wynika z zasady zachowania energii. Założenia: ciecz jest nieściśliwa, nie jest lepka, przepływ jest stacjonarny i bezwirowy

$e_{m} = \frac{v^{2}}{2} + gh + \frac{p}{\rho}$

e_m energia jednostki masy płynu

ρ gęstość płynu

v - prędkość płynu w rozpatrywanym miejscu,

h - wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna,

g - przyspieszenie grawitacyjne,

p - ciśnienie płynu w rozpatrywanym miejscu.

Poszczególne człony równania to kolejno: energia kinetyczna, energia potencjalna grawitacji, energia ciśnienia.

Energia jest stała tylko wówczas, kiedy element porusza się wzdłuż linii prądu. W rozważanym przypadku zapewnia to stacjonarność przepływu. Istnienie lepkości lub przepływu wirowego rozprasza energię, ściśliwość zmienia zależność prędkości przepływu od ciśnienia. Niestacjonarność przepływu wiąże się z dodatkowym ciśnieniem rozpędzającym lub hamującym ciecz.

Równanie stanu gazu doskonałego – wprowadzenie, Temperatura bezwzględna jako miara energii kinetycznej.

1. Równanie stanu gazu doskonałego

pV = nRT

$k_{B} - 1,38 \times 10^{- 23}\frac{J}{K}$ - stała Bolzmana

p – ciśnienie, V – objętość, n – liczba moli

$N = 6,02 \times 10^{23}\frac{1}{\text{mol}}$ – liczba Avogadra

$R = 8,31\frac{J}{\text{molK}}$ - stała gazowa

Gaz doskonały:

·cząsteczki gazu są punktami materialnymi,

·cząsteczki gazu nie oddziałują między sobą

·cząsteczek jest dużo - traktujemy je statystycznie

·cząsteczki zderzają się sprężyście ze ściankami

Średnia siła którą cząstka wywiera

na ściankę w czasie t : $F = \frac{p_{x}}{t}$

Zmiana pędu spowodowana zderzeniem: p_x = mv_x − (−mv_x) = 2mv_x

Ponieważ czas między kolejnymi zderzeniami wynosi $t = \frac{2l}{v_{x}}$, więc średnia siła działająca na ściankę (na jedną cząsteczkę) $F = \frac{2mv_{x}}{\frac{2l}{v_{x}}} = \frac{{\text{mv}_{x}}^{2}}{l}$

Dla N cząsteczek: $F = \frac{{\text{Nmv}_{x}}^{2}}{l}$

Dzieląc obie strony równania przez powierzchnię ściany S

i uwzględniając że S × l = V pV = Nmv_x²

Cząstki poruszają się chaotycznie i żaden kierunek nie jest wyróżniony.

$$pV = \frac{2N}{3}E_{k}$$

2. Temperatura bezwzględna jako miara średniej energii kinetycznej.

Każdy układ scharakteryzowany jest przez parametr T (temperaturę

bezwzględną układu), związany ze średnią energią cząsteczek. Dwa układy w równowadze oddziałujące cieplnie mają takie same temperatury.

Punkt odniesienia: punkt potrójny wody T=273,16K

Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek. $T = \frac{2}{3k_{B}}E_{k} = \frac{2}{3k_{B}} \times \frac{mv^{2}}{2}$

$E_{k} = \frac{3}{2}k_{B}T$ pV = Nk_BT

Zasady termodynamiki

Zerowa Każdy układ izolowany, niezależnie od stanu początkowego, dochodzi po pewnym czasie do stanu równowagi termodynamicznej. Warunkiem równowagi termodynamicznej jest występowanie równowagi chemicznej, mechanicznej i termicznej. Osiągniecie stanu równowagi zajmuje pewien czas zależny od stanu początkowego i od warunków oddziaływania części składowych układu.

Pierwsza Wymiana energii między dwoma układami może zachodzić na dwa sposoby: przez wykonanie pracy W i wymianę ciepła Q.

Jeśli energia wewnętrzna układu zmienia się o DU, to ta zmiana energii jest równa sumie ciepła dostarczonego do układu Q i pracy wykonanej nad układem W.

U = Q + W

dU=dQ+dW

Druga Stan makroskopowy układu znajdującego się w równowadze można

scharakteryzować przy pomocy wielkości S- entropii.

1. Entropia stanu makroskopowego dla którego istnieje Ω dozwolonych stanów mikroskopowych wynosi S = k_BlnΩ

2. W każdym wystarczająco wolnym procesie w którym układ pochłania ciepło dQ jego entropia zmienia się o $\text{dS} = \frac{\text{dQ}}{T}$.

3. W każdym procesie w którym układ izolowany przechodzi z jednego stanu makroskopowego do drugiego jego entropia na pewno nie maleje S ≥ 0