6. Obliczenie słupa

   1. Założenia

- stal 18G2A o fd=305MPa

- wysokość kondygnacji H=8,75m

- strop WPS

- słup o schemacie przegubowo-przegubowym

1. Trzon słupa

   1. Określenie długości wyboczeniowej

c=0,165m (grubość podłogi)

hbl=1,598m

hp=0,22m

lx=8,75+0,165-1,598-0,02=7,297m

ly=8,75+0,165-0,5*0,22=8,805m

N=R_B=1339,755kN

1. Wstępne przyjęcie przekroju słupa

N_Rc = ψ • A • f_d

Wstępnie założono I klasę przekroju

Ψ=1,0

fd=305MPa

$$\varphi = f\left( \overset{\overline{}}{\lambda},c \right)$$

$$\overset{\overline{}}{\lambda} = \frac{\lambda}{\lambda_{p}}$$

wstepnie λ = 100

$$\lambda_{p} = 84\sqrt{\frac{215}{305}} = 70,525$$

φ = 0, 441

Wyznaczenie przekroju z warunku nośności

$$\frac{N}{\varphi*N_{\text{Rc}}} \leq 1$$

$$\frac{N}{\varphi \bullet \psi \bullet A \bullet f_{d}} \leq 1\ \ \rightarrow A = \frac{N}{\varphi \bullet f_{d}} = \frac{1339,755}{0,441 \bullet 305000} = 0,00996m^{2} = 99,606\text{cm}^{2}$$

Przyjęto wstępnie 2 C280 o A=106,6cm2

A’=53,3cm2

A=106,6cm2

Ix1=6280cm4

Iy1=399cm4

ix=10,9cm

iy=2,74cm

e=2,53cm

1. Wyznaczenie rozstawu gałęzi słupa

1. założenie Ix1≈Iy

$$I_{y} = {2I}_{y1} + {2A}_{1} \bullet \left( \frac{e}{2} \right)^{2}\text{\ \ }$$

$$e = 2\sqrt{\frac{1,1 \bullet I_{x1} - I_{y1}}{A_{1}}} = 2 \bullet \sqrt{\frac{1,1 \bullet 6280 - 399}{53,3}} = 22,101cm - rozstaw\ ceownikow$$

b = 2e₁ + e = 2 • 2, 53 + 22, 1 = 27, 16cm − przyjeto b = 28cm

s=9,5cm

d>=e+2e₁-2s=8,161cm

1. Wyznaczenie smukłości słupa

A=106,6cm2

Iy=14887,86cm4

Ix=12578,305cm4

ix=10,8cm

iy=11,8cm

Smukłość wyboczeniowa całego słupa wzg osi x-x

$$\lambda_{x} = \frac{l_{x} \bullet \mu_{x}}{i_{x}} = \frac{7,279 \bullet 1}{0,108} = 67,398$$

$$\overset{\overline{}}{\lambda} = \overset{\overline{}}{\lambda_{x}} = \frac{\lambda_{x}}{\lambda_{p}} = \frac{67,398}{70,525} = 0,955$$

Smukłość wyboczeniowa całego słupa wzg. Osi y-y

$$\lambda_{y} = \frac{l_{y} \bullet \mu_{y}}{i_{y}} = \frac{8,805 \bullet 1}{0,118} = 74,618$$

Smukłość wyboczeniowa pojedynczej gałęzi przekroju między przewiązkami

$$\lambda_{v} = \lambda_{1} = \frac{l_{1} \bullet \mu_{y}}{i_{y1}}$$

λ₁ < (0,8λ_x;60)

λ₁ < (53,9184;60)

λ₁ = 53, 9184

$$l_{1} = \frac{8,805}{5} = 1,761m$$

$$\lambda_{v} = \frac{1,761}{0,0253} = 69,6047$$

Smukłość zastępcza elementu wielogałęziowego

$$\lambda_{m} = \sqrt{\lambda_{y}^{2} + \frac{m}{2} \bullet \lambda_{v}^{2}} = \sqrt{{74,618}^{2} + \frac{2}{2} \bullet {69,6047}^{2}} = 99,869$$

φ=0,59 – z tab.11 PN-90/B-03200

Nośność obliczeniowa przekroju przy ściskaniu

N_Rc = ψ • A • f_d = 1, 0 • 106, 6 • 10⁻⁴ • 305 • 10³ = 3251, 3kN

Warunek nośności przy uwzględnieniu wpływu wyboczenia giętego

$$\frac{N}{\varphi \bullet N_{\text{Rc}}} = \frac{1339,755}{0,59 \bullet 3251,3} = 0,698 \leq 1$$

Warunek spełniony

1. Obliczenie przewiązek

Przyjęto przewiązki:

-pośrednie bp=150mm

-skrajne bs=180mm

-grubość t=13mm

- długość a=200mm

Wstępnie przyjęto rozstaw przewiązek l1=1,0m.

Liczba przewiązek $n = \frac{l_{x}}{l_{1}} = \frac{7,297}{1,0} \approx 7\ sztuk$

Przyjęto ostatecznie rozstaw przewiązek l1=0,7m

1. Wymiarowanie przewiązek

Klasa przekroju

$$\varepsilon = \sqrt{\frac{215}{f_{d}}} = \sqrt{\frac{215}{305}} = 0,839$$

Warunek smukłości przy osiowym ściskaniu

-przewiązki pośrednie

$$\frac{b}{t} = \frac{150}{13} = 11,538 < 14\varepsilon = 11,746\ \ \left( klasa\ 3 \right)$$

-przewiązki skrajne

$$\frac{b}{t} = \frac{180}{13} = 13,84 > 14\varepsilon\ \left( klasa\ 4 \right)$$

Warunki smukłości przy zginaniu

-przewiązki pośrednie

$$\frac{h}{t} = \frac{150}{13} = 11,538 < 66\varepsilon\ \left( klasa\ 1 \right)$$

-przewiązki skrajne

$$\frac{h}{t} = \frac{180}{13} = 13,84 < 66\varepsilon\ \left( klasa\ 1 \right)$$

Zastępcza siła poprzeczna

Q = 0, 012 • A • f_d = 0, 012 • 106, 6 • 10⁻⁴ • 305 • 10³ = 39, 0156kN

Siły i momenty działające na przewiązki

$$V_{Q} = \frac{Q \bullet l_{1}}{n\left( m - 1 \right) \bullet e} = \frac{39,0156 \bullet 70}{2\left( 2 - 1 \right) \bullet 22,101} = 61,786kN$$

$$M_{Q} = \frac{Q \bullet l_{1}}{m \bullet n} = \frac{39,0156 \bullet 0,7}{2 \bullet 2} = 6,8277kNm$$

Sprawdzenie nośności przekroju na zginanie

$$\frac{M_{Q}}{M_{R}} < 1$$

M_R = α_p • W_x • f_d

-przewiązki pośrednie

$$W_{x} = \frac{t \bullet b_{p}^{2}}{6} = \frac{1,3 \bullet 15^{2}}{6} = 48,75\text{cm}^{3}$$

M_R = 1, 0 • 48, 75 • 10⁻⁶ • 305 • 10³ = 14, 868kNm

$$\frac{6,8277kNm}{14,868kNm} = 0,459 < 1$$

-przewiązki skrajne

$$W_{x} = \frac{t \bullet b_{p}^{2}}{6} = \frac{1,3 \bullet 18^{2}}{6} = 70,2\text{cm}^{3}$$

M_R = 1, 0 • 70, 2 • 10⁻⁶ • 305 • 10³ = 21, 44kNm

$$\frac{6,8277kNm}{21,44kNm} = 0,3188 < 1$$

Warunek nośności przekroju na zginanie

Sprawdzenie nośności na ścinanie

$$\frac{V_{Q}}{V_{R}} < 1$$

V_R = 0, 58 • ρ_pv • A_v • f_d

-przewiązki pośrednie

A=1,3*15=19,5cm2

Av=A*0,9=17,55cm2

V_R = 0, 58 • 1 • 17, 55 • 10⁻⁴ • 305 • 10³ = 310, 45kN

$$\frac{V_{Q}}{V_{R}} = \frac{61,786kN}{310,45kN} = 0,199 < 1$$

-przewiązki skrajne

A=1,3*18=23,4cm2

Av=21,06cm2

V_R = 0, 58 • 1 • 21, 06 • 10⁻⁴ • 305 • 10³ = 372, 55kN

$$\frac{V_{Q}}{V_{R}} = \frac{61,786kN}{372,55kN} = 0,166 < 1$$

Warunek nośności na ścinanie jest spełniony

1. Spoiny pachwinowe łączące przewiązki z trzonem słupa

d=90mm

b=70mm

cp=150mm

cs=200mm

0, 2t₂ ≤ a ≤ 0, 7t₁

2.6 ≤ a ≤ 9, 1

Wstępnie przyjęto grubość spoin równą a=8mm

$$\tau_{M} = \frac{M_{o}}{W_{\text{sp}}} = \frac{6V_{Q}\left( \frac{d}{2} + b \right)}{ac^{2}} \leq \alpha_{\text{II}}f_{d}$$

$$\tau_{F} = \frac{V_{Q}}{\text{Asp}} = \frac{V_{Q}}{\text{ac}} \leq \alpha_{\text{II}}f_{d}$$

$$\tau = \sqrt{{\tau_{M}}^{2} + \tau_{F}^{2}} \leq \alpha_{\bot}f_{d}$$

-przewiązki pośrednie

$$W_{\text{sp}} = \frac{ac^{2}}{6} = \frac{0,8 \bullet 15^{2}}{6} = 30\text{cm}^{2}$$

A_sp = ac_p = 0, 8 • 15 = 12cm²

$$\tau_{M} = \frac{M_{o}}{W_{\text{sp}}} = \frac{6,8277 \bullet 10^{- 3}}{30 \bullet 10^{- 6}} = 227,59MPa < 0,8 \bullet 305MPa = 244MPa$$

$$\tau_{F} = \frac{61,786 \bullet 10^{- 3}}{12 \bullet 10^{- 4}} = 51,488MPa < 0,8 \bullet 305MPa = 244MPa$$

$$\tau = \sqrt{{227,59}^{2} + {51,488}^{2}} = 233,341MPa < 0,9 \bullet 305MPa = 274,5MPa$$

-przewiązki skrajne

$$W_{\text{sp}} = \frac{ac^{2}}{6} = \frac{0,8 \bullet 18^{2}}{6} = 43,2\text{cm}^{2}$$

A_sp = ac_p = 0, 8 • 18 = 14, 4cm²

$$\tau_{M} = \frac{M_{o}}{W_{\text{sp}}} = \frac{6,8277 \bullet 10^{- 3}}{43,2 \bullet 10^{- 6}} = 158,048MPa < 0,8 \bullet 305MPa = 244MPa$$

$$\tau_{F} = \frac{61,786 \bullet 10^{- 3}}{14,4 \bullet 10^{- 4}} = 42,906MPa < 0,8 \bullet 305MPa = 244MPa$$

$$\tau = \sqrt{{158,048}^{2} + {42,906}^{2}} = 163,768MPa < 0,9 \bullet 305MPa = 274,5MPa$$

Wymagane warunki są spełnione

1. Sprawdzenie słupa na wyboczenie względem osi niemateriałowej

Warunek nośności

$$\frac{N}{\rho \bullet V_{\text{Rc}}} \leq 1$$

V_Rc = ρ • 2A₁ • f_d

λ_x = 67, 398

λ_y = 74, 618

iy=2,74cm

λ_p = 70, 525

N=R_B=1339,755kN

-smukłość postaciowa

$$\lambda_{1} = \frac{l_{1}}{i_{y}} = \frac{0,7}{0,0274} = 25,547$$

$$\overset{\overline{}}{\lambda_{1}} = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{p}} = \frac{25,547}{70,525} = 0,3622$$

przyjeto ρ₁ = ψ = 0, 916

- smukłość zastępcza słupa złożonego względem osi niemateriałowej

$$\lambda_{\text{my}} = \sqrt{{\lambda_{y}}^{2} + \frac{m}{2} \bullet \lambda_{1}^{2}} = \sqrt{{74,618}^{2} + 1 \bullet {25,547}^{2}} = 82,6646$$

$$\overset{\overline{}}{\lambda_{\text{my}}} = \frac{\lambda_{\text{my}}}{\lambda_{p}}\sqrt{\psi} = \frac{82,6646}{70,525}\sqrt{0,916} = 1,121$$

przyjeto ρ = 0, 482

-nośność obliczeniowa przekroju przy ścinaniu

N_Rc = 0, 916 • 2 • 53, 3 • 10⁻⁴ • 305 • 10³ = 2978, 198kN

$$\frac{N}{\rho \bullet N_{\text{RC}}} = \frac{1339,755kN}{0,482 \bullet 2978,198kN} = 0,9333 < 1$$

Warunek został spełniony

1. Przepona

H=ly=8,805m

Przyjęto jedną przeponę umieszczoną w środku wysokości słupa

$$\frac{h}{t} \leq 70\sqrt{\frac{215}{f_{d}}}$$

$$t \geq \frac{h}{70 \bullet 0,839} = \frac{280}{58,77} = 4,764mm$$

Przyjęto t=10mm

1. Stopa słupa

Beton B25 o fcd*=10,0MPa

a₂=b₂=280mm

t₁=20mm

y₁=60mm

1. Wymiarowanie podstawy

B = b₁ + 2t₁ + 2y₁

$$B_{c} = \frac{N}{A} = \frac{N}{\text{BL}} < f_{c}$$

f_c = 0, 8f_ctd^*

m=0.418kN

lx=7,297m

B=280+2*15mm+2*60=440mm

N=Rbl+2m*lx*1,1=1339,755kN+2*0,418*7,297*1,1=1346,465kN

$$L \geq \frac{N}{0,8 \bullet f_{\text{ctd}}^{*}B} = \frac{1346,465}{0,8 \bullet 10 \bullet 10^{3} \bullet 0,44} = 0,382m$$

Przyjęto

B=450mm

L=500mm

1. Grubość płyty podstawy

$$t = \sqrt{\frac{{6M}_{\max}}{f_{d}}}$$

s = 95mm

d = 90mm

t_w = 10mm

-

-opór fundamentu

$$\sigma_{c} = \frac{N_{\text{rc}}}{\text{BL}} = \frac{1346,465}{0,45 \bullet 0,6} = 4986,907\ \frac{\text{kN}}{m^{2}} = 4,986MPa$$

-moment zginający w strefie I

bt=15mm

$$y_{1} = \frac{B - h_{c280} - 2b_{t}}{2} = \frac{0,45 - 0,28 - 2 \bullet 0,015}{2} = 0,07m$$

$$M_{1} = \frac{\sigma_{d} \bullet {a_{1}}^{2}}{2} = \frac{4986,907 \bullet {0,07}^{2}}{2} = 12,2179\frac{\text{kNm}}{m}$$

-grubość blachy w strefie II

a₂ = [L−(e+2e₁)]0, 5 = [0,5−(0,23+2•0,0253)]0, 5 = 0, 109m

b₂ = 280mm

$$t_{p} \geq \omega \bullet \sqrt{\frac{\sigma}{f_{d}}}$$

$$\frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{0,109}{0,280} = 0,39\ $$

$$\frac{\omega}{b_{2}} = 0,595\ \ \ \ \ \rightarrow \omega = 0,166m$$

$$t_{p} \geq 0,166 \bullet \sqrt{\frac{4,986}{305}} = 0,021m$$

- grubość blachy w strefie III

a₃ = e − 2e₁ − 2t_w, c280 = 0, 23 − 0, 0253 • 2 − 2 • 0, 01 = 0, 159m

$$\frac{a_{3}}{b_{3}} = \frac{0,159}{0,280} = 0,569\ $$

$$\frac{\omega}{b_{3}} = 0,414\ \ \ \ \ \rightarrow \omega = 0,1159m$$

$$t_{p} \geq 0,116 \bullet \sqrt{\frac{4,986}{305}} = 0,0148m$$

-grubość blachy podstawy

t_max = max[t₁,t₂,t₃] = 0, 021m

Ostatecznie przyjęto t=0,025m

1. Blachy trapezowe

   1. Wysokość blach trapezowych

$$h \geq \frac{N}{a \bullet n \bullet \alpha_{\text{II}} \bullet f_{d}}$$

Przyjęto 8 spoin grubości a=6mm

α_II = 0, 7 dla Re = 355MPa

$$h \geq \frac{1346,465}{0,008 \bullet 8 \bullet 305 \bullet 10^{3} \bullet 0,7} = 0,098m$$

Przyjęto blachy trapezowe o h=200mm

1. Wymiary blach trapezowych

ε = 0, 8395

Warunek smukłości przy osiowym ściskaniu

-środnik

$$\frac{b}{t} = \frac{h_{}}{t_{1}} = \frac{0,2}{0,015} = 13,333 < 33\varepsilon = 27,7\ \left( \text{klasa\ I} \right)$$

-wspornik

$$\frac{a_{1}}{t} = \frac{0,07}{0,025} = 2,8 < 9\varepsilon = 7,55\ \left( \text{klasa\ I} \right)$$

Warunek smukłości przy zginaniu

1. Sprawdzenie nośności przekroju na zginanie

$$\frac{M_{3 - 3}}{M_{R}} < 1$$

M_R = α_p • W_x • f_d

-pole przekroju

A = 2 • t₁ • h + B • t = 2 • 0, 015 • 0, 2 + 0, 45 • 0, 025 = 0, 01725m²

-moment statyczny

Sm − m = t₁ • h² − 0, 5Bt² = 0, 015 • 0, 2² − 0, 5 • 0, 450 • 0, 025² = 0, 0004m²

-odległość y_o

$$y_{o} = \frac{S_{m - m}}{A} = \frac{0,0004}{0,0172} = 0,0267m$$

-moment bezwładności przekroju względem osi x-x

$$J_{x} = 2\left\lbrack \frac{t_{1} \bullet h^{2}}{12} + t_{1} \bullet h\left( 0,5h - y_{o} \right)^{2} \right\rbrack + \frac{B \bullet t^{2}}{12} + Bt\left( 0,5t + y_{o} \right)^{2} = 2\left\lbrack \frac{0,015 \bullet {0,2}^{2}}{12} + 0,015 \bullet 0,2\left( 0,1 - 0,026 \right)^{2} \right\rbrack + \frac{0,45 \bullet {0,025}^{2}}{12} + 0,45 \bullet 0,025 \bullet \left( 0,5 \bullet 0,025 + 0,0267 \right)^{2} = 0,000083721m^{4} = 8372,1\text{cm}^{4}$$

-wskaźnik wytrzymałości przekroju

$$W_{\text{xo}}^{g} = \frac{J_{\text{xo}}}{\left( h + t \right) - y_{o}} = \frac{0,000083721}{\left( 0,2 + 0,025 \right) - 0,0267} = 0,0004221m^{3}$$

-moment zginający

$$M_{3 - 3} = \sigma_{c} \bullet B \bullet \frac{y_{1}^{2}}{2} = 4986,907 \bullet 0,45 \bullet \frac{{0,07}^{2}}{2} = 5,498kNm$$

M_R = 1 • 0, 0004221 • 305 • 10³ = 128, 74kNm

$$\frac{M_{3 - 3}}{M_{R}} = \frac{5,498}{128,74} = 0,0427 < 1$$

Warunek jest spełniony

1. Sprawdzenie nośności przekroju na ścinanie

$$\frac{V_{3 - 3}}{V_{R}} < 1$$

V_3 − 3 = σ_c • B • y₁ = 4986, 907 • 0, 45 • 0, 07 = 157, 087kN

A_V = 2t₁h = 2 • 0, 015 • 0, 2 = 0, 006m²

V_R = 0, 58 • ρ_pv • A_v • f_d = 0, 58 • 1 • 0, 006 • 305 • 10³ = 1061, 4kN

$$\frac{157,087}{1061,4} = 0,147 < 1$$

Warunek nośności przekroju jest spełniony

1. Sprawdzenie naprężeń w spoinach łączących blachy trapezowe i trzon słupa z płytą podstawy

$$\sigma_{z} = \chi\sqrt{\sigma_{\bot}^{2} + 3\left( \tau_{\parallel}^{2} + \tau_{\bot}^{2} \right)} \leq f_{d}$$

$$\sigma_{\bot}^{} = \tau_{\bot} = \frac{\sigma}{\sqrt{2}}$$

$$\tau_{\parallel} = \frac{V_{3 - 3}}{2a - J_{\text{xo}}}$$

A_sp = 0, 006(2•0,44+4•0,08+2•0,28) = 0, 0096m²

$$\sigma = \frac{1346,465}{0,0096} = 140,257MPa$$

$$\sigma_{\bot}^{} = \tau_{\bot} = \frac{140,257}{\sqrt{2}} = 99,1766MPa < f_{d} = 305MPa$$

S_xo = tB(y_o−0,5t) = 0, 025 • 0, 45 • (0,0267−0,0125) = 0, 000159m³

$$\tau_{\parallel} = \frac{V_{3 - 3}}{2a - J_{\text{xo}}} = \frac{157,087}{2 \bullet 0,006 - 0,000083721} = 13,1825MPa$$

$$\sigma_{z} = 0,85 \bullet \sqrt{{140,257}^{2} + 3 \bullet \left( {140,257}^{2} + {13,1825}^{2} \right)^{}} = 239,225MPa < f_{d} = 305MPa$$

Warunek spełniony

1. Głowica słupa

Przyjęcie wymiarów

B=500mm

L=500mm

t=20mm

N=1339,755kN

Założono grubość blachy trapezowej tb=15mm

0, 2t₂ ≤ a ≤ 0, 7t₁

0, 2 • 15 ≤ a ≤ 0, 7 • 10

3 ≤ a ≤ 7

Przyjęto a=5mm

$$h_{t} \geq \frac{N}{a \bullet 4 \bullet \alpha_{\text{II}} \bullet f_{d}} = \frac{1339,755}{0,005 \bullet 4 \bullet 0,7 \bullet 305000} = 0,3137m$$

Przyjęto h=32cm

1. Obliczenie łożyska

s=B-2*0,04=0,5-0,08=0,42m

l=h_c280+t₁=0,28+0,015=0,295m

$$q = \frac{R_{1}}{B} = \frac{1339,775}{0,5} = 2679,55\frac{\text{kN}}{m}$$

$$M_{\max} = \frac{{q \bullet l}^{2}}{8} = \frac{2679,55 \bullet {0,295}^{2}}{8} = 29,148kNm$$

-grubość łożyska

$$t_{c} = \sqrt{\frac{{6M}_{\max}}{a \bullet f_{d}}} = \sqrt{\frac{6 \bullet 29,148}{0,16 \bullet 305000}} = 0,059m$$

t_l = t_c − t_p = 0, 059m − 0, 025m = 0, 0348m

-obliczenie promienia łożyska

$$\sigma_{\text{bH}} = 0,42 \bullet \sqrt{\frac{\text{qE}}{r}} < f_{\text{dbH}} = 3,6 \bullet f_{d}$$

$$r > \frac{\text{qE}}{\left( \frac{3,6f_{d}}{0,42} \right)^{2}} = \frac{2679,55 \bullet 205 \bullet 10^{6}}{\left( 3,6 \bullet \frac{305000}{0,42} \right)^{2}} = 0,08m < r_{\min} = 0,5m$$

-sprawdzenie docisku łożyska do blachy podłożyskowej

l₁ = 0, 28 + 0, 03 = 0, 31m

$$\sigma_{d} = \frac{R_{1}}{a \bullet l_{1}} = \frac{1339,775}{0,16 \bullet 0,31} = 27,011MPa < 1,25f_{d} = 381,25MPa$$

Wytrzymałość łożyska na docisk jest wystarczająca