Politechnika Śląska data: 07.11.2012
Wydział Inżynierii Środowiska i Energetyki
Energetyka Komunalna

Numer ćwiczenia: 3

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI NA SKRĘCANIE METODĄ DYNAMICZNĄ

Sekcja 1:

Bartosz Pawełkiewicz

Michał Ciemięga

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu sztywności na skręcanie metodą dynamiczną.

1. Wstęp teoretyczny

Prawo Hooke'a określa zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Prawo Hooke'a dla skręcania: p=K·α

Moduł Sztywności K, jest to stosunek naprężenia stycznego do wywoływanego przez nie odkształcenia. Jednostką, w której wyznaczamy moduł sztywności jest paskal. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału.

1. Przebieg ćwiczenia:

a) zmierzenie długości drutu l

b) zmierzenie średnicy drutu 2r w dziesięciu różnych miejscach

c) zwymiarowanie wibratora i zmierzenie średnicy krążków i ich masę

d) wyznaczenie czasu t₀ określonej liczby n okresów drgań (przyjęliśmy n=50) wibratora nieobciążonego

e) dołożenie drugiej pary krążków (wibrator obciążony) oraz wyznaczenie dwukrotne czasu t liczny n=50 wahnień

f) zapisanie bezwzględnych błędów pomiarów:

Δl	0,1cm
Δ2r	0,01mm
2Δr	0,01mm
Δm	1g
Δx	0,1cm
Δy	0,1cm
Δt = Δt0	0,2s

1. Pomiary:

a)

Średnica drutu
L.p
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Obliczamy średnią średnice drutu:

$$\overset{\overline{}}{l} = \frac{4,2 + 4,3 + 4,3 + 4,2 + 4,1 + 4,1 + 4,2 + 4,1 + 4,2 + 4,3}{10} = 4,2mm$$

b) długość drutu: L=138,2cm

c) średnica krążków 2r₁= 49,9mm, 2r₂= 49,8mm, 2r₃= 49,5mm, 2r₄= 49,9mm

d) odległość środka krążków do środka prętu: 26,4cm oraz 26,9cm

e) masa krążków: 0,5kg

f) Pomiar czasu t₀ okresów drgań wibratora nieobciążonego i czasu t okresu drgań wibratora obciążonego. Oba dla n=50.

t0[s]	t[s]
31,04	39,90
30,98	39,81
30,99	39,85

1. Obliczenia:

5.1 Obliczamy okres drgań wibratora nieobciążonego i obciążonego za pomocą wzoru: T=$\frac{\mathbf{t}}{\mathbf{n}}$

a) nieobciążony wibrator:

T₀=$\frac{\mathbf{31,04 + 30,98 + 30,99}}{\mathbf{3 \bullet 50}}$=0,62

b) obciążony wibrator:

T =$\frac{\mathbf{39,90 + 39,81 + 39,85}}{\mathbf{3 \bullet 50}}$= 0,8

$\text{ΔT} = \frac{\text{Δt}}{n}$ = 0,004

Gdzie:

t- czas trwania 50 okresów drgań wahadła

n- liczba okresów drgań wahadła (150)

5.2 Obliczamy moment bezwładności wibratora nieobciążonego:

J₀=( $\frac{1}{2}$·m·(r)²)·2

J₀=( $\frac{1}{2}$·0,5·(4, 98)²)·2

J₀= 12,4 kg•m²

5.3 Obliczamy moment bezwładności wibratora nieobciążonego:

J₀=( $\frac{1}{2}$·m·(r)²)·4

J₀=( $\frac{1}{2}$·0,5·(4, 98)²)·4

J₀=24,8 kg•m²

5.4 Obliczamy moment bezwładności wibratora za pomocą tw. Steinera:

J=m(r²+2R²)

J=0,5(0,044+143112,5)=71556,3 kg•m²

5.5 Obliczamy moduł sztywności K:

K=$\frac{8 m L J}{r^{4}(T - T_{0)(T + T_{0)}}}$= $\frac{8 \bullet 0,5 \bullet 138,2 \bullet 71556,3}{0,00194\left( 0,18 \right)(1,42)}$=$\frac{395563226,4}{0,0005}$=791,1GPa

5.6 Obliczamy błąd modułu sztywności:

$\frac{K}{K}$=$\frac{L}{L}$+$\frac{J}{J}$+4$\frac{r}{r}$+$\frac{2T_{0}}{T - T_{0}}$+$\frac{2T}{T + T_{0}}$=

$\frac{K}{K}$=$\frac{0,1}{138,2}$+$\frac{0,164}{71556,3}$+4$\frac{0,0001}{0,0021}$+$\frac{0,008}{0,18}$+$\frac{0,008}{1,42}$=

$\frac{K}{K} =$ 0,00072+0,0000022+0,19+0,044+0,0056=0,240322≈0,24

$$\Delta K = \ \frac{K}{K}\ \bullet K = 0,240322\ \bullet 791,1GPa = 1,9GPa$$

6. Końcowy wynik:

K=(791,1 ± 1, 9)GPa

6.1 Słowna ocena błędu:

Na wyliczony błąd modułu sztywności wpływają błędy poszczególnych pomiarów w doświadczeniu. Są one spowodowane niedokładnością niektórych przyrządów jak i nieprecyzyjnym odczytem danych obserwatorów.