Dorota Duda 28 lutego 2010 r.

KNoP, Studia doktoranckie niestacjonarne, IX edycja

Zadanie 4. Model regresji – próbka nr 9

Model regresji stwarza możliwość modelowania oraz symulowania prawdopodobieństwa zdarzenia opisywanego przez zmienną zależną w zależności od różnych zmiennych niezależnych (w tym przypadku zmienną zależną są koszty, a zmiennymi niezależnymi liczba stanowisk, czas i odległość).

Model regresji dla całej populacji (123 obserwacje) przedstawia się następująco:

Ŷ = -9,196 – 0,417 X₁ + 0,826 X₂ + 1,324 X₃

Model regresji dla próbki (22 obserwacje) kształtuje się następująco:

Ŷ = -11,966 – 0,703 X₁ + 1,121 X₂ + 1,505 X₃

Wartości wszystkich współczynników w modelu regresji dla próbki 22 obserwacji są większe niż w modelu regresji dla całej populacji. Powyższe funkcje regresji otrzymujemy poprzez metodę najmniejszych kwadratów w oparciu o dane z losowej próby.

Współczynnik korelacji wielorakiej dla próbki wyniósł 0,982 (dla całej populacji 0,968). Jest on miarą liniowej zależności między zmienną objaśnianą a liniową kombinacją zmiennych objaśniających. Przyjmuje wartość z przedziału [0,1], przy czym dla R=1 zachodzi zależność funkcyjna liniowa. W omawianym przykładzie współczynniki są bliskie 1, co oznacza, że zależność między kosztami a kombinacją zmiennych niezależnych jest zbliżona do zależności liniowej.

Miarą dopasowania modelu regresji jest współczynnik R². Jest to liczba z przedziału [0,1]. R²=1 oznacza doskonałe dopasowanie, natomiast wartość R²=0 - brak powiązania między zmiennymi. Punktem wyjścia do utworzenia takiej miary jest badanie sumy kwadratów odchyleń poszczególnych obserwacji y_i od ich średniej. Miara dopasowania R² jest dla próbki większa (0,964) niż dla całej populacji (0,938). Oznacza to, iż dla próbki uzyskaliśmy funkcję, która w większym stopniu opisuje zależności między zmiennymi. Skorygowany R² wynosi dla próbki 0,957, a dla całej populacji 0,936.

Różnice opisujące rozbieżność między wartościami zmiennej zależnej y_j, a wartościami wyliczonymi z modelu ŷ_j to reszty. Im reszty są mniejsze, tym bliżej wartości empirycznej y_i są wartości przewidywane przez model. Jako miarę omawianej rozbieżności traktuje się odchylenie standardowe reszt z_i. W statystyce precyzję estymatora oddaje jego wariancja, czyli jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

Błąd standardowy estymacji S_z informuje o przeciętnej wielkości odchyleń empirycznych wartości zmiennej zależnej od wartości wyliczonych z modelu (teoretycznych). Jest to ważny parametr w analizie regresji, ponieważ stanowi miarę rozproszenia elementów populacji wokół linii regresji. Odchylenie standardowe reszt mówi więc nam o stopniu "dopasowania" modelu do danych empirycznych. Im S_z mniejsze, tym lepiej dopasowany model. W naszym przykładzie błąd standardowy jest dla próbki obserwacji większy niż dla całej populacji, gdyż wynosi 2,336 w porównaniu do 1,649 dla całości.

Model regresji obrazuje zależność, jaka kształtuje się pomiędzy kosztami wyjazdów na polowania a odległością kraju wyjazdu, czasem jego trwania oraz liczbą stanowisk. Przy czym im większa odległość i czas, tym wyższe koszty wyjazdów. Natomiast model wskazuje na ujemną zależność liczby stanowisk do kosztów.