III.Dynamika punktu materialnego. Punkt materialny - punkt geometryczny, któremu przypisuje się całą masę, która towarzyszy ciału. Siła. Mając pojęcie siły możemy próbować wyznaczyć warunki w jakich dany punkt może się poruszać. Dynamika jest działem mechaniki, który bada warunki w jakich dany ruch może się odbywac. 3.2 Zasady dynamiki 1. Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego wzdłuż prostej, chyba że przyłożone siły znacznie zmieniają jego stan. 2. Zmiana ilości ruchu jest wprost proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i odbywa się w kierunku prostej wzdłuż której siła jest przyłożona. 3. Dla działania jest zawsze przeciwne (przeciwnie skierowane) i równe przeciwdziałaniu, czyli działanie dwóch ciał jest za swej natury zawsze sobie równe i przeciwnie skierowane. Czas newtonowski jest absolutny. 3.3 II zasada dynamiki Newtona:

$$a\ \sim\ F,\ \ a = W \bullet F,\ F = \frac{1}{W}\text{a\ }\ lub\ \ a = W \bullet F,\ a = \frac{1}{m}F,\ tg\alpha = W = \frac{1}{m} = \frac{1}{F},\ \ a = W \bullet F = \frac{1}{m}F$$

$$\left\lbrack F \right\rbrack = \left\lbrack 1kg\ \bullet \ \frac{1m}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{kg \bullet m}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack 1\ newton \right\rbrack,\ \ \left\lbrack F \right\rbrack = \left\lbrack 1kg\ \bullet \ \frac{1cm}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{g \bullet cm}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack 1\ dyna \right\rbrack$$

[F]  =  [M  •  L  •  T⁻²] [!!!]

Jeżeli na ciało działa siła to ciało takie porusza sie ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do wartości siły działającej. Odwrotność współczynnika proporcjonalności oznaczamy literą m i nazywamy masą ciała.

3.4 Równania Newtona Siła F występująca we wszystkich wzorach Newtona F = m * a może zależeć od: 1) położenia r, 2)prędkości $v = \frac{\text{dr}}{\text{dt}} = \dot{r}$ 3)czasu t, Siła F nie zależy od wyższych pochodnych położenia niż $\dot{r}$ = $\frac{\text{dr}}{\text{dt}}$= v, F = m * a, F(r, $\dot{r}$, t, ...) = m * $\ddot{r}$(t) Przykłady: 1. Siła kulombowska $F = k_{1} \bullet \frac{q_{1 \bullet}q_{2}}{r^{3}} \bullet r$ 2. Siła oporu (Stokesa) F = -k2 * v = -k2 * $\ddot{r}$ 3. Siła sprężysta F = -k3 * r 4. Siła Lorentza F = q (v x B) Różne postaci równania Newtona 1. F = (Fx, Fy, Fz) = Fx*i + Fy*j + Fz*k, 2. a = (ax, ay, az) = ax i + ay j + az k (x,y,z z kropkami) 3. $a\ = \ \frac{\text{dv}}{\text{dt}}\ = \frac{d^{2}r}{\text{dt}^{2}}\ $, $F = m \bullet \frac{\text{dv}}{\text{dt}} = m \bullet \frac{d^{2}r}{\text{dt}^{2}}$, z (1, 2, 3) wyznaczmy: x = f1(t) = x(t), y = f2(t) = y(t) czyli r = r(t) z = f3(t) = z(t) Nazywamy je równaniami ruchu. Z matematycznego punktu widzenia jest to równanie różniczkowe II rzędu zapisane w postaci wektorowej. Rozwiązaniem równania 1=2=3 przy zadanej sile F jest funkcja r = r(t). Rozwiązanie to określa tor po którym porusza sie punkt materialny. Gdy znamy r(t0) i v(t0) to na podstawie równania F = m * a w sposób jednoznaczny mamy określone juz jego przyspieszenie (oczywiście gdy znamy postać funkcji F)

Poczatkowy stan ruchu punktu materialnego (tzn. stanu ruchu w chwili t0) określa jednoznacznie stan ruchu w chwilach późniejszych. Fakt ten nosi nazwę zasady przynależności, czyli determinizmu mechaniki klasycznej. Na podstawie II zasady dynamiki znając siły możemy przewidzieć trajektorię ruchu. 3.5 Zasada niezalezności dzialania sił Zasada superpozycji sił (ZSS)- superpozycja=nakładanie. 1.Siły dzialają kolejno: F₁=m*a₁ , F₂=m*a₂ 2.Sily działaja jednocześnie- (F₁, F₂) zastepujemy F F=m*a 3. Doswiadczenie pokazuje, że: a=a₁=a₂, F₁+F₂=m(a₁+a₂)=m*a=F, F=F₁+F₂ Ogólnie: F(t,r,r^o)=∑ F_i(t,r,r^o)

Sumę sił daną wzorem nazywamy siłą wypadkowa działającą na danu punkt materialny w chwili t w punkcie r(t)€ E³ Wniosek Przyspieszenie punktu materialnego, na który działa kilka sil jednoczesnie jest równe przyspieszeniu jakie temu punktowi nada jedna siła wypadkowa równa sumie wektorowej wszytskich sił dzialających na ten punkt materialny. 1Wniosek ten nosi nazwę zasadu niezależności działania sił (ZNDS) 2.ZNDS lub zasada superpozycji jest niezalezna od praw ruchu Newtona 3.Jest ona prawdziwa tylko dlatego, że rozpatrujemy siły F=F(t,r,r^o) 4. Nie jest prawdziwa dla sił F=F(t,r,r^o,r^oo,r^ooo,...) 3.6 Pęd ciała i popęd siły F=m*a gdzie $a = \frac{\text{dV}}{\text{dt}},\ m \bullet a = m \bullet \frac{d^{2}v}{dt^{2}},\ \frac{m\ \text{dv}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dv} \bullet \text{mv}},\ \frac{\text{dp}}{\text{dt}} = F,\ p = m \bullet V$–pęd ruchu materialnego Całkując:$\frac{\text{dp}\left( t \right)}{\text{dt}} = F\left( t \right),\ dp\left( t \right) = F\left( t \right)\text{dt}$

$\int_{t_{0}}^{t}{\text{dp}\left( t_{o} \right) = \ \int_{t_{o}}^{t}{F\left( t \right)dt,\ p\left( t \right) - \ p\left( t_{o} \right) = \ \int_{t_{o}}^{t}{\frac{\text{dp}}{\text{dt}}dt = \ \int_{t_{o}}^{t}\text{Fdt}}}}$=I- popęd siły F w przedziale czasu[t₀,t] Przyrost pędu( zmiana pędu) w przedziale czasu [t₀,t] jest równy popędowi siły w tym przedziale: F=m*a ∆p=_t0∫^t F dt=I Problem: Powiazac poped sily z: Prędkoscią punktu materialnego Trajektorią punktu:

$$I\left( t \right) = \ \int_{t_{o}}^{t}{pdt = \int_{t_{o}}^{t}{\frac{\text{dp}}{\text{dt}} = p\left( t \right) - p\left( t_{o} \right) = \text{mV}\left( t \right) - mV\left( t_{o} \right) = \int_{t_{o}}^{t}{Fdt,\ mV(t) = mV(t0) + \int_{t_{o}}^{t}{Fdt,\ }}}}$$

$$\text{mV}\left( t_{o} \right) + I\left( t \right),\ V\left( t \right) = V\left( t_{o} \right) + \ \frac{1}{m}I\left( t \right)\text{\ \ ale\ \ }\int_{r(t_{o})}^{r(t)}{\text{dV}\left( t \right) = \int_{t_{o}}^{t}{\frac{\text{dV}}{\text{dt}}dt =}}\int_{t_{o}}^{t}{V\left( t \right)dt = \ }$$

$$= \int_{t_{o}}^{t}{\left\lbrack V\left( t \right) + \frac{1}{m}I\left( t \right) \right\rbrack dt,\ r\left( t \right) - r(}t_{o}) = \int_{t_{o}}^{t}{V\left( t_{o} \right)dt + \frac{1}{m}\int_{t_{o}}^{t}{I\left( t \right)dt,\ r\left( t \right) =}}$$

$$= r\left( t_{o} \right) + v\left( t_{o} \right)\left\lbrack t - t_{o} \right\rbrack + \ \frac{1}{m}\int_{t_{o}}^{t}{I\left( t \right)\text{dt}}$$

3.7 Zasada zachowania pędu (ZZP) F=m*a => F= $\frac{\text{dp}}{\text{dt}}$Niech F=0 => $\frac{dp(t\_}{\text{dt}}$=0 => p=cons Pęd ukladu izolowanego jest stały 3.8 Moment pędu punktu materialnego p=m*V , J(0)=r×p=r×mV=J, J=J(0)=r×p=r×mV=m(r×V), $\frac{\text{dJ}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \text{rxp} \right) = \frac{\text{dV}}{\text{dtxp}} + \frac{\text{rxdp}}{\text{dt}}$ r×p=0 , r×F=D, D=$\frac{\text{dJ}}{\text{dt}}$ – moment sily F wzgledem punktu Wnioski: 1.J=r×p=> J prostopadly do r i do p 2.Dla ruchu plaskiego dla ktorego r i V leżą stale w jednej płaszczyżnie wektor J ma kierunek prostopadly do π(V,p) i jest on stały podczas ruchu 3.Ze stalości w czasie wektora J mozna wnioskowac ze dany tuch jest plaski 4.$\ \frac{\text{dJ}}{\text{dt}}$ = D => _to∫^t dJ=_to∫^t D dt => J-J₀= _to∫^t D dt 5.Gdy D=0 to ze wzoru $\frac{\text{dJ}}{\text{dt}}$ =D => $\frac{\text{dJ}}{\text{dt}}$ =0, czyli J= const. Fakt ten nosi nazwę zasady zachowania momentu pędu dla punktu materialnego (ZZMP) 6.D=O gdy F=0 (czastka swobodna) r II F , bo wtedy r×F=0 sila centralna 7.Ruch pod wplywem sily centralnej jest ruchem plaskim!!