1. Modelowanie w wytrzymałości materiałów

Modelowanie jest to czynność polegająca na przejściu od obiektu rzeczywistego, poprzez model fizyczny, do modelu obliczeniowego

Model obliczeniowy (matematyczny)jest to matematyczny opis zjawisk zachodzących w modelu fizycznym, podany w formie usystematyzowanych wzorów lub równań- algorytm Sztuka inżynierska ^dobieranie takich modeli, aby:

• błędy były jak najmniejsze

• można było przewidzieć wielkość błędów

Modelowanie w wytrzymałości materiałów

• Tendencja do tworzenia modeli obliczeniowych

• Tendencja w kierunku teorii niezawodności

Niezawodność wytrzymałościowa - element konstrukcji poddany obciążeniom eksploatacyjnym przez czas ograniczony (resurs), albo czas nieograniczony, nie ulega nadmiernej deformacji lub zniszczeniu.

Miara niezawodności wytrzymałościowej:

• współczynik bezpieczeństwa n

• prawdopodobieństwo P wystąpienia nadmiernej deformacji lub zniszczenia

Współczynnik bezpieczeństwa - iloraz wartości parametru dla stanu niebezpiecznego (przy którym nastąpi nadmierna defomacja lub zniszczenie), do wartości nominalej parametru, właściwej warunkom normalnej eksploatacji

Ogólna postać kryteriów niezawodności wytrzymałościowej n > ndop P < Pdop

Do sformułowania kryteriów niezawodności wytrzymałościowej istnieje potrzeba tworzenia modeli

1. Modele materiału

• molekularny model monokryształu z defektami struktury (dyslokacjami)

• polikryształ - mieszanina ziarn w metalach i stopach

• ośrodek ciągły sprężysto-plastyczny

• ośrodek ciągły lepko-plastyczny

• ośrodek ciągły sprężysto-plastyczny z defektami (szczelinami)

• łańcuchy wielocząsteczkowe - polimery

1. Modele postaci(kształtu)

• p^rę^t

• pręt cienkościenny

• tarcza

• płyta

• powłoka

• element przestrzenny

• model dyskretny ciała

1. Modele obciążenia

• siła skupiona

• para sił (moment)

• siła powierzchniowa, siła wzdłużlinii

• siła objętościowa lub masowa Rodzaje obciążeń

• statyczne - stałe w czasie

• dynamiczne - zmienne w czasie Zmiany w czasie obciążenia

• losowe - proces stochastyczny

• zdeterminowane - okresowe lub nieokresowe

• nagłe - udarowe

1. Modele złomu(zniszczenią mechanicznego)

• złom spowodowany obciążeniem statycznym

• zmęczenie niskocyklowe materiału

• zmęczenie wysokocyklowe materiału

• złom w wyniku długotrwałego stałego obciążenia

1. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta.

Momenty bezwładności przekroju [m⁴] względem osi y i z

Moment dewiacji przekroju pręta [m⁴] w płaszczyźnie yz

Biegunowy moment przekroju [m⁴] względem punktu O

ys, zs- współrzędne środka geometrycznego przekroju S (zwanego środkiem ciężkości)

1. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta w układzie współrzędnych przesuniętym równolegle.

Syz - układ osi centralnych,

Iy, Iz, Iyz - centralne momenty geometryczne (bezwładności i dewiacji) przekroju Ponieważ r|=y-a oraz Q=z-b

1. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta w układzie współrzędnych obróconym. (OtiQ

2. Główne momenty bezwładności i główne osie bezwładności przekroju pręta.

3. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Warunki równowagi, warunki geometryczne i zależności fizyczne.

Rozciąganie lub ściskanie pręta, w przekroju którego występuje siła normalna N.

Założenia upraszczaj ące.

1. Przekrój pręta pozostaje po odkształceniu płaski - założenie bardzo radykalne przy ścinaniu

2. Pręt jest wykonany z materiału liniowo-sprężystego Dodatkowo, dla ściskania i rozciągania:

• pręt o stałym przekroju A obciążony jest siłąosiową F

• ciężar własny pręta pomijamy

• w przekroju normalnym pręta występuje tylko naprężenie normalne, a w przekrojach równoległych do osi nie ma naprężeń

Warunki równowagi

Rozważmy ciało odkształcalne o długości 1, którego górny koniec unieruchomiono, zaś dolny obciążono siłą zewnętrzną F.

Warunki geometryczne Przemieszczenia osiowe elementu pręta dx:

-górnego końca u

-dolnego końcau+du

Długość elementu po odkształceniu dx+du

Odkształcenie względne

Przemieszczenie dolnego końca pręta

Przypadek szczególny (e= const) Al= sl albo

Zależności fizyczne

W zakresie odkształceń liniowych obowiązuje prawo Hooke’a, które możemy zapisać w następującej postaci:

E — moduł sprężystości liniowej, moduł Younga (stała materiałowa)

A - pole przekroju poprzecznego ciała odkształcalnego

Przyjmując na powierzchni przekroju poprzecznego równomierny rozkład naprężeń, możemy je wyrazić wzorem:

naprężenie ściskające bądź rozciągające

Prawo sprężystości liniowej (przekształcone prawo Hooke’a) w jednoosiowym stanie naprężeń o=E*s

Naprężenia w ciele odkształcalnym sąwprost proporcjonalne do odkształceń wywołanych obciążeniem zewnętrznym.

1. Statyczna próba rozciągania.

Przedstawiony wykres ilustruje wyznaczonądoświadczalnie zależność o(s) podczas rozciągania próbki ze stali węglowej. Na charakterystyce można wyróżnić następujące punkty:

A-zakres stosowalności prawaHooke’a (proporcjonalności)

B - granica sprężystości - do osiągnięcia tego stanu, po zdjęciu obciążenia próbka wraca do

poprzedniej konfiguracji

BCD - zakres odkształceń plastycznych

DK - umocnienie, niewielka zmiana odkształceń powoduje intensywny wzrost naprężeń K - próbka osiągnęła naprężenia zrywające - wytrzymałość na rozciąganie - stała dla różnych

materiałów konstrukcyjnych L - zerwanie próbki

Na podstawie statycznej próby wytrzymałości na rozciąganie określa się graniczną wartość naprężeń, jakim może być poddana pracująca konstrukcja. Te naprężenia dopuszczalneopisuje wzór:

Zadaniem współczynnika bezpieczeństwa jest uwzględnienie warunków, w jakich pracuje

konstrukcja rzeczywista oraz sprowadzenie rozważań do zakresu stosowalności prawa Hooke’a.

Możemy wówczas obserwować zależność o(s) w zakresie proporcjonalnym. Naprężenia

dopuszczalne, stablicowane dla różnych materiałów konstrukcyjnych i różnych przypadków

obciążeń:

k_r- na rozciąganie,

k_c- na ściskanie,

k_s- na skręcanie,

k_g- na zginanie,

k_t- na ścinanie.

Warunek wytrzymałości na rozciąganie (ściskanie)

1. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego z uwzględnieniem ścinania w płaszczyźnie przekroju.

W dowolnym przekroju wewnętrznym ciała odkształcalnego oprócz składowej normalnej wystąpi również składowa styczna stanu naprężeń, której skutkiem jest ścinanie ciała odkształcalnego w płaszczyźnie przekroju.

Z warunków równowagi lewej części ciała odkształcalnego wynika, że

czyli

Stąd:

Naprężenia styczne są maksymalne w płaszczyźnie przekroju nachylonym pod kątem 45° w kierunku rozciągania lub ściskania. Podczas wykonywania próby np. na maszynie wytrzymałościowej, w tej płaszczyźnie obserwujemy największe odkształcenia.

1. Pręt ściskany/rozciągany obciążeniem ciągłym.

Pręt rozciągany (ściskany)- obciążenie ciągłe q(x), siła osiowa F

1. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Naprężenia termiczne i montażowe.

Naprężenia termiczne- powstają w wyniku ograniczenia przemieszczenia swobodnego końca pręta, którego temperatura wzrosła o AT Prawo rozszerzalności liniowej

czyli zmiana długości o Al

Pręt nie zmieni długości, z uwagi na więzy. Uniemożliwia to siła ściskająca N, która powoduje naprężenia termiczne.

Naprężenia montażowe- powstają w wyniki korygowania różnic wymiarowych łączonych elementów konstrukcji.

Przykład: Aby pręt o długości 1 zamontowaćpomiędzy dwiema pionowymi ścianami, należy zwiększyć jego długość o A.

W przekroju pręta pojawi się siła rozciągająca N, która powoduje naprężenia montażowe.

1. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Układy statycznie niewyznaczalne.

Układ prętowy statycznie niewyznaczalny- nie można wyznaczyć sił niewiadomych (reakcji więzów, sił wewnętrznych) na podstawie równań równowagi statycznej.

Procedura rozwiązywania

1. Równania równowagi statycznej

2. Określenie warunków geometrycznych

3. Zależności fizyczne

1. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego siłą bezwładności.

• gęstość pręta p

• przyspieszenie a(x) w kierunku osi pręta

1. Skręcanie pręta prostego o przekroju kołowym. Warunki równowagi,warunki geometryczne i zależności fizyczne.

Skręcanie jest to taki rodzaj obciążenia, w którym w wyniku działania obciążenia przekroju w postaci momentu skręcającego Ms (przyczyna) obserwujemy odkształcenie elementu konstrukcji postaci kąta y. Kąt ten nazywamy też kątem odkształcenia postaciowego.

Pręt o przekroju kołowym

• hipoteza płaskich przekrojów - przekrój prostopadły do osi pręta pozostaje płaski

• w przekroju normalnym do osi pręta występują wyłącznie naprężenia styczne t

Z warunków geometrycznych przedstawionych na rysunku wynika, że:

Kąt odkształcenia postaciowego zależy od punktu przekroju poprzecznego, w którym jest mierzony. Związki fizyczne

W przypadku skręcania istnieje związek pomiędzy naprężeniami a kątem odkształcenia postaciowego (prawo Hooke’a dla ścinania):

t - naprężenie styczne (tnące) przy skręcaniu G - moduł sprężystości postaciowej Kirchhoffa, stała stablicowana

Rozkład naprężeń w przekroju skręcanym nie jest równomierny. Naprężenia zmieniają się liniowo od 0 w środku do wartości maksymalnej na obwodzie.

1. Skręcanie pręta prostego momentem ciągłym.

Pręt skręcany momentem ciągłym wzdłużdługości m(x) [Nm/m] oraz momentem skupionym M [Nm]

1. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym i prostokątnym.

Pręt o przekroju eliptycznym

Nie ma zastosowania hipoteza płaskich przekrojów. Podczas skręcania przekrój jest wypaczony(deplanacj a)

Osie elipsy: 2a, 2b

Przewidujemy funkcję naprężeń Prandtla

która spełnia równanie Poissona

Wyznaczamy stałą C z równania

Pręt o przekroju prostokątnym h > b Rozwiązanie w postaci szeregu nieskończonego

Podstawowe definicje

1. Belka -pręt obciążony siłami lub momentami zewnętrznymi, których wektory przecinają oś pręta pod kątem prostym.

x - oś belki, y,z - osie prostopadłe do osi belki

1. Moment gnący Mg

- suma algebraiczna momentów obciążeń

zewnętrznych (F- siła skupiona, q- obciążenie rozłożone w sposób ciągły wzdłuż długości belki, tzw. obciążenie ciągłe, M - moment skupiony) działających w płaszczyźnie przekroju belki, np. xy

Moment gnący jest dodatni, jeżeli zgina belkę wypukłością do dołu.

Moment gnącystanowi obciążenie wybranego przekroju belki - nienależy mylić z obciążeniem zewnętrznym. Czyli

Siła poprzeczna (tnąca) T - suma algebraiczna składowych sił zewnętrznych prostopadłych do osi belki, działających w płaszczyźnie przekroju belki (np. xy) po lewej stronie rozważanego przekroju poprzecznego belki

Zginanie nierównomierne - MgfO, TfO

Zginanie równomierne (czyste) - MgfO, T=0 - belki o dużej rozpiętości

Założenie upraszczające - wówczas siły zewnętrzne obciążające ciało odkształcalne można

zredukować do pary sił obciążającej określony przekrój.

Ścinanie pręta - Mg=0, TfO - belki o bardzo małej rozpiętości

17. Zginanie belek. Założenia czystego zginania. Naprężenia normalne w przekroju zginanym.

Założenia czystego zginania - belki odkształcalne

1. Hipoteza płaskich przekrojów - zaznaczone przekroje nie zmieniają się co do kształtu, każdy przekrój poprzeczny ciała odkształcalnego pozostaje w jednej płaszczyźnie

2. Podczas czystego zginania występuje oś obojętna. Włókna leżące powyżej tej osi są rozciągane, natomiast włókna leżące poniżej tej osi są ściskane. Oznacza to, że włókna belki zginanej pracują w jednoosiowym stanie naprężeń.

3. Naprężenia w belce zginanej przyjmują rozkład liniowy.

Rozważmy stan naprężeńw belce zginanej przyjmując promień osi obojętnej p, zaś odległość punktu przekroju mierzoną od osi obojętnej wzdłuż współrzędnej z. Można wykazać, że naprężenia ox spełniają zależność:

Wynika stąd, że przyjmują one wartość maksymalną

Związek pomiędzy momentem gnącym a naprężeniami w przekroju zginanym.

Jeżeli przekrój zginany obraca się wokół osi yl, to zgodnie z założeniem czystego zginania para sił musi działać w płaszczyźnie xz. Przy określaniu znaku momentu gnącego stosujemy następującą zasadę.

Dla przekroju zginanego rozpatrujemy warunki równowagi statycznej.

Warunkiem

równowagi

wewnętrznej jest moment statyczny równy 0.

Równanie osi ugiętej belki: Prosta oś belki po odkształceniu staje się krzywą płaską, którą opisuje równanie u(x)

Przy uwzględnieniu tylko małych przemieszczeń punktów osi w kierunku osi y, obowiązują następujące związki:

czyli

gdzie:

u(x) - ugięcie,

b(x) - kąt ugięcia zwany inaczej kątem nachylenia stycznej do osi krzywej u(x) w mierze łukowej (równy kątowi obrotu przekroju belki);

Jeśli uwzględni się wyrażenia na krzywiznę osi belki - wynikające ze związków fizycznych:

Rozwiązania różniczkowego równania osi ugiętej belki mają postać:

gdzie:

C i D - stałe całkowania, zależne od warunków brzegowych.

Uwaga!

1. Rozwiązanie różniczkowego równania osi ugiętej belki jest możliwe tylko wówczas, gdy moment gnący Mg(x) jest funkcją ciągłą dwukrotnie całkowalną.

2. Dla belek obciążonych kilkoma siłami skupionymi i momentami równanie różniczkowe całkuje się przedziałami tzn. dla każdego z przedziałów układa się odrębne równanie momentów gnących Mg(x), a tym samym różniczkowe równanie osi ugiętej.

3. Różniczkowych równań osi ugiętej jest tyle, ile przedziałów, a stałych całkowania jest więcej.

4. Aby wyznaczyć stałe całkowania należy uwzględnić warunki brzegowe na końcach belki oraz równania ciągłości belki, czyli nierozdzielności przemieszczeń i kątów ugięć na końcach przedziałów.

Indeks 1 lub pokreślą, że przemieszczenia wyznaczono z równania obowiązującego w przedziale po lewej lub prawej granicy przedziału.

19. Ugięcie belki. Równanie różniczkowe 4-go rzędu.

W praktyce inżynierskiej bardzo często moduł Younga E oraz geometryczny moment bezwładności Iz nie zależą od współrzędnej x, a wtedy różniczkowe równanie osi ugięcia upraszcza się do postaci:

oraz odpowiednio:

Równanie różniczkowe osi ugięcia belki, może zależeć również tylko od sił zewnętrznych. Jest to wówczas równanie różniczkowe czwartego rzędu o postaci:

Rozwiązanie tego równania wymaga znajomości czterech warunków brzegowych dotyczących: ugięć u(x), kątów ugięcia b(x), oraz wyrażone poprzez ugięcia momenty gnące Mg(x), i siły tnące T(x) na końcach belki (dla x= 0 i x= 1).

Momenty gnące Mg(x) w funkcji ugięć u(x) opisuje zależność:

Natomiast siły tnące T(x) w funkcji ugięć u(x) można przedstawić jako:

19. Ugięcie belki. Metoda Clebscha.

Rozwiązywanie równania osi ugięcia belek zginanych o n przedziałach zmienności obciążenia wymaga wyznaczenia 2n stałych całkowania. Zagadnienie upraszcza się zawsze tylko do dwóch stałych całkowania po zastosowaniu metody Alfreda Clebscha:

1. Początek współrzędnej x dla wszystkich przedziałów musi być

wspólny (zazwyczaj lewy koniec belki). Formułując równanie Mg(x), należy uwzględnić tylko siły zewnętrze działające po lewej stronie przekroju.

1. Obciążenie ciągłe q należy w razie potrzeby przedłużyć do końca belki, przykładając na końcowym odcinku obciążenie o zwrocie przeciwnym.

2. Moment gnący spowodowany momentem skupionym M, siłą skupioną F, lub obciążeniem ciągłym q zapisuje się odpowiednio

Współrzędna a określa miejsce przyłożenia M, F, albo początek obciążenia ciągłego q na belce. Całkowanie przeprowadza się względem (x-a)

19. Pręt ścinany. Naprężenia styczne przy zginaniu.

Rozważmy odcinek belki dx o małej rozpiętości poddany zginaniu nierównomiernemu T^O , Mg(x)^0, o przekroju prostokątnym (podstawa o wymiarze b, i wysokości h).

gdzie:

Sz- moment statyczny odciętej części przekroju belki względem osi obojętnej z. Ostatecznie otrzymujemy wzór Żurawskiego opisujący rozkład naprężeń stycznych wywołanych siłą poprzeczną Tw przekroju belki:

Wzór ten ma również zastosowanie, jeśli szerokość b zmienia się wzdłuż wysokości przekroju.

W przekroju prostokątnym rozkład naprężeń t jest paroboliczny:

Maksymalne naprężenia styczne xmax występujące w warstwie obojętnej przekroju prostokątnego(dla y= 0):

Maksymalne naprężenia styczne xmax występujące w warstwie obojętnej przekroju kołowegoo średnicy d (dla y= 0):

Warunek wytrzymałości dla naprężeń dopuszczalnych na ścinanie:

Jeśli oś symetrii przekroju poprzecznego pręta nie pokrywa się z liniądziałania siły poprzecznej T, to wystąpi również moment skręcający Ms:

gdzie: xz, xy - składowe naprężenia stycznego wywołanego siłą poprzeczną T.

Kierunek wypadkowego naprężenia stycznego nie pokrywa się z kierunkiem siły poprzecznej T Wówczas oprócz ścinania wywołanego siłą T, występuje również skręcanie momentem skręcającym Ms.

19. Pręt ścinany. Środek ścinania.

Współrzędne ky i kz określają położenie punktu K, nazywanego środkiem ścinania.

Moment skręcający Msjest równoważony przez sumę momentów wywołanych przez składowe Ty i Tz siły poprzecznej T względem środka ciężkości przekroju S:

Współrzędne środka ścinania K określają zależności:

Jeśli obciążenie zewnętrzne będzie działać w płaszczyźnie równoległej do osi x, przechodzącej przez środek ścinania K, to spowoduje ścinanie bez dodatkowego skręcania. Jeśli przekrój poprzeczny pręta ma oś symetrii, to środek ścinania leży na niej, natomiast gdy przekrój ma dwie osie symetrii, to środek ścinania K, pokrywa się ze środkiem geometrycznym S.

W obliczeniach technicznych typowych elementów o małych polach powierzchni przekrojów poprzecznych (nitów, sworzni, spoin pachwinowych) przyjmuje się uproszczenie, że naprężenia styczne są rozłożone równomiernie na powierzchni przekroju. Wówczas naprężenia styczne t są stałe w całym przekroju i równają sięnaprężeniom stycznym średnim xśr:

19. Trójosiowy stan naprężeń. Tensor stanu naprężeń. Naprężenia główne.

Rozważmy elementarny fragment ciała odkształcalnego. Na przeciwległych ścianach wystąpią

składowe naprężeń normalnych oraz składowe naprężeń stycznych. Składowe te pozostają w stanie równowagi statycznej.

Składowe stanu naprężeń

Problem: jak ustawić układ współrzędnych Oxyz, aby naprężenia styczne = 0

tensor naprężeń

1. Warunki Cauchy’ego - symetria tensora naprężeń

2. Naprężenia główne ol, o2, o3 są pierwiastkami równania charakterystycznego:

Twierdzenie. Jeżeli w układzie prostokątnym Oxyz składowe normalne stanu naprężeń wynoszą ox, oy, oz, zaś składowe styczne - xxy, ryz, txz, to naprężenia główne ol, o2, o3 są wartościami własnymi tensora naprężeń

zaś kosinusy kierunkowe osi naprężeń głównych są wektorami własnymi tensora naprężeń, unormowanymi w ten sposób że suma kwadratów składowych wynosi 1.

Jeżeli wektory własne mają postać

to kosinusy kierunkowe osi naprężeń głównych nr i

25. Wytężenie materiału. Naprężenia zredukowane

Wytężenie materiału-to miara osiągnięcia stanu niebezpiecznego, tzn. pojawienie się lokalnego odkształcenia trwałego (tzw. uplastycznienia) lub pęknięcia (tzw. dekohezji materiału) w dowolnym punkcie ciała.

Wytężenie materiału (W) jest zależne od składowych stanu naprężenia oraz własności mechanicznych:

W(ol, o2, o3, C)

ol, o2, o3 - naprężenia główne,

C- własności mechaniczne materiału, tzw. stałe materiałowe, np.: Re- granica plastyczności na rozciąganie,

Rm- granica wytrzymałości na rozciąganie,

Rc- granica wytrzymałości na ściskanie,

Rs- granica wytrzymałości na ścinanie.

Naprężenie redukowane(zastępcze) ored - wywołuje w jednoosiowym stanie naprężenia (np. w pręcie rozciąganym lub ściskanym), takie samo wytężenie, jak reprezentowany przez nie przypadek złożonego stanu naprężenia.

Przy założeniu, że granica plastyczności oraz wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie są sobie odpowiednio równe (Rec=-Rer i Rmc=-Rmr), to:

1. Warunek początku plastyczności ma postać:

2. Warunek zniszczenia (inicjacji pęknięcia) ma postać:

25. Wytężenie materiału. Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych

Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych - sformułowana przez Coulomba i rozwinęta przez Tresca i Guesta, dotyczy granicy sprężystości i granicy wytrzymałości. Zakłada ona, że miarą wytężenia jest największe naprężenie styczne.

Największe naprężenie styczne w dowolnym stanie naprężeń wynosi:

Dla równych naprężeń stycznych wytężenia w obydwu stanach naprężeń są równe xmax = xmax' , stąd naprężenie redukowane wyraża postać:

Warunek aby w danym stanie naprężeń nie wystąpiły odkształcenia trwałe (plastyczne) ma postać:

Warunek zachowania wytrzymałości materiału wyraża postać:

Powierzchnięgranicznąwytrzymałości materiału w układzie ol, o2, o3 przy założeniu Rc=-Rm wyznacza układ sześciu nierówności (równań):

Powierzchnię graniczną stanowią ściany graniastosłupa nachylone do osi o 1, o2, o3.

Dla płaskiego stanu naprężeń ol^ 0, o2^0, o3=0 układ nierówności (równań) na powierzchnię graniczną ma postać:

W układzie płaskim ol, o2 otrzymuje się sześć równań, opisujących proste, które wyznaczają kontur graniczny w postaci sześcioboku:

Jeżeli płaski stan naprężenia jest określony przez składowe ox, oy, xxy to naprężenia główne wyznacza wzór:

1. Jeżeli znaki naprężeń głównych o 1 i o2 są różne, toolo2<0.

Przypadek ten zaistnieje, gdy składowe naprężenia ox, oy, xxy spełnią warunek:

Wówczas ol = omax , o2 = omiń, a naprężenie redukowane określa wzór:

Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych opiera się na założeniu, że Rc = -Rm i można ją stosowaćtylko do materiałów spełniających ten warunek. Badania doświadczalne przeprowadzone dla materiałów plastycznych, szczególnie dla płaskich stanów naprężeń, potwierdzają słuszność tej hipotezy. Dla równomiernego trójoosiowego rozciągania według tej hipotezy materiał powinien wykazywać nieograniczoną wytrzymałość, co jest praktycznie mało prawdopodobne.

25. Wytężenie materiału. Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego.

Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego - sformułowana przez Hubera, Misesa, Hencky’ego zakłada, że miarą wytężenia jest energia właściwa odkształcenia postaciowego. Energię odkształcenia postaciowego w ogólnym stanie naprężenia określa zależność:

Dla jednoosiowego stanu naprężenia ( ox = ored, oy = oz = 0, xxy = ryz = txz = 0) energię tą opisuje wyrażenie:

Jeżeli wytężenia są sobie równe, to Of' = Of, a wzór na naprężenie redukowane ma postać:

Dla płaskiego stanu naprężeń ox ^ 0, oy ^ 0, oz = 0, xxy ^ 0, xyz = 0, xxz = 0 naprężenie redukowane:

Dla często spotykanego w budowie maszyn stanu naprężeń ox = o ^ 0, oy = 0, oz = 0, xxy = i^0, ryz = 0, txz = 0, naprężenie redukowane określa wyrażenie:

a dla prostego ścinania:

stąd wniosek:

Równoważne stany naprężeń według hipotezy energii właściwej odkształcenia postaciowego:

Hipotezę energi właściwej odkształcenia postaciowego może mieć zastosowanie zarówno do stanów sprężystych jak i do stanów posprężystych. Doświadczalnie potwierdzono słuszność tej hipotezy dla stali węglowej, zarówno w przypadku obciążeń stałych jak i zmiennych.

25. Wytężenie materiału. Kryterium wytrzymałości.

Do oceny wytężenia ciała stosuje się zasadę najsłabszego ogniwa. Tym samym o wytężeniu ciała decyduje ten jego punkt, w którym naprężenie redukowane jest największe. Kryterium wytrzymałości w przypadku ogólnym można zapisać tak jak dla pręta rozciąganego:

gdzie: naprężenie dopuszczalne odop dla: -warunku początku plastyczności:

-warunku zniszczenia:

n- współczynnik bezpieczeństwa.

Współczynnik bezpieczeństwa nmożna oszacować za pomocą wzoru:

n = nin₂n₃n₄

gdzie:

nl- współczynnik pewności założeń, n2- współczynnik ważności przedmiotu, n3- współczynnik jednorodności materiału, n4- współczynnik zachowania wymiarów.

Cząstkowe współczynniki bezpieczeństwa dotyczące elementów stalowych zamieszczono w tabeli.

Dla staliwa, stopów lekkich i metali kolorowych wartość współczynnika n należy zwiększyć o 40%, a dla żeliwa o 100%

Elementarny prostopadłościan o bokach dx, dy, dz

Problem: jak ustawić układ współrzędnych Oxyz, aby składowe odkształceń postaciowych

1.Warunki Cauchy’ego - symetria tensora odkształceń

2.Odkształcenia główne sl, s2, s3 są pierwiastkami równania charakterystycznego:

30.Aksjator i dewiator stanu naprężeń i odkształceń. Niezmienniki stanu naprężeń i odkształceń. Dla każdego 3-osiowego stanu opisanego tensorem naprężeń

Aksjator- diagonalna macierz opisująca równomierny stan naprężeń ściskających (rozciągających) - tensor kulisty. Opisuje stan równomiernych naprężeń głównych Dewiator- macierz opisująca pozostałą część tensora stanu naprężeń

Aksjator- diagonalna macierz opisująca równomierny stan odkształceń wzdłużnych - tensor kulisty

Dewiator- macierz opisująca pozostałą część tensora stanu odkształceń

Związek między stanem odkształceń a stanem naprężeń określa macierz sprężystości o = I):: Macierz sprężystości:

-ogólny stan naprężeń

32. Koło Mohra dla płaskiego stanu naprężeń.

W dowolnym punkcie tarczy, która wraz z obciążeniem zewnętrznym leży w płaszczyźnie xy, występuje płaski stan naprężenia.

Dla płaskiego stanu naprężeń macierz reprezentująca tensor stanu naprężeń ma postać:

Analogiczną postaćma macierz reprezentująca tensor stanu odkształceń.

Prawo transformacji składowych płaskiego stanu naprężeń (ox, oy, xxy) opisanego w układzie osi współrzędnych xy, pozwala wyznaczyć składowe (o_:-, 0;_;n) w układzie współrzędnych £r|,

który to jest obrócony w stosunku do osi xy, o kąt c|). Składowe stanu naprężenia w obróconym układzie współrzędnych są równe:

32. Koło Mohra dla płaskiego stanu odkształceń.

Zależności transformacji składowych płaskiego stanu odkształcenia:

32. Koło Mohra dla przestrzennego stanu naprężeń

33. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda warunków brzegowych.

Po schałkowaniu należy wyznaczyć warunki brzegowe dla punktu A oraz dla punktu B.

Z tego równania oraz równań równowagi wyznaczamy reakcje powracając do statyki. Następnie wyznaczamy równanie momentu gnącego oraz równanie sił poprzecznych.

32. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda Clebscha.

33. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda superpozycji.

34. Energia sprężysta układów prętowych. Pręty ściskanie/rozciągane i skręcane.

35. Energia sprężysta układów prętowych. Pręty zginane i ścinane.

Moment gnący Mg w pręcie o długości dx wykonuje pracę na kącie ugięcia dłk

32. Energia sprężysta układów prętowych w przypadku ogólnym.

33. Układy Clapeyrona. Twierdzenie Castigliano.

Układ Clapeyrona- spełnia następujące warunki.

1. Materiał musi być idealnie sprężysty i w każdym punkcie naprężenia muszą być mniejsze od granicy proporcjonalności.

2. Działanie jednych sił nie może zmieniać charakteru działania innych sił (zasada

superpozycji zachowana). Niech uogólnione siły zewnętrzne Fi, F₂, ..., F;,..., F_ndziałające w układzie Clapeyrona doznają przyrostów dFi, dF₂, ..., dF_h ..., dF_n Suma prac przyrostów sił dF na odpowiadających im rzeczywistych przemieszczeniach u, jest równa sumie przyrostów energii sprężystej V, jako funkcji zmiennych niezależnych F_1:

32. Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliano

Energia sprężysta układu statycznie niewyznaczalnego V jest wyrażona przez znane siły zewnętrzne (obciążenia) i niewiadome wielkości hiperstatyczne Xi, X_noraz niehiperstatyczne. Można uzależnić niewiadome niehiperstatyczne od wielkości hiperstatycznych i obciążeń, wówczas energia sprężysta jest funkcją zmiennych niezależnych: Xi, X_n Przemieszczenia ui, u_n odpowiadające wielkościom hiperstatycznym Xi, X_nspełniają warunek geometryczny: ui=0,...,u_n=0. Stosując metodę Castigliano, można określić przemieszczenia ui, ...., u_nz wykorzystaniem energii sprężystej V(X!, ...., X_n)jako:

32. Metoda Maxwella-Mohra. Wzór Maxwella-Mohra.

33. Metoda Maxwella-Mohra. Uproszczone obliczanie całek - wzory Wereszczagina.

Można udowodnić, że całki występujące we wzorze Maxwella-Mohra dla typowych przypadków obciążeń łatwo obliczać przez zastąpienie ich iloczynem dwóch prostych czynników. I tak, w przypadku zginania jest to iloczyn Q pola wykresu momentów gnących Mg od obciążenia zasadniczego oraz rzędnej M’gc wykresu momentów gnących M’g od obciążenia fikcyjnego, odpowiadającej współrzędnej x_c środka geometrycznego C pola Q, czyli

32. Wyboczenie sprężyste prętów prostych. Przypadki Eulera.

Pręt obciążany zwiększającą się siłą ściskającą F, pozostanie prosty dopóki siła ta nie przekroczy wartości krytycznej F_kr. Po przekroczeniu wartości krytycznej siła ta powoduje ugięcie osi pręta zwane wyboczeniem.

32. Wyboczenie sprężysto-plastyczne prętów prostych.

33. Stateczność belek zginanych.

Rozpatrzmy stateczność belki o długości 1 i wąskim przekroju o podstawie b i wysokości h, zamocowanej między rolkami o osiach pionowych. Belkę poddano zginaniu momentem zewnętrznym M. Po osiągnięciu przez obciążenie zewnętrzne wartości krytycznej M = Mkr, następuje utrata stateczności belki. Oś belki wygina się nie tylko w płaszczyźnie xy, ale także w płaszczyźnie xz. Związane to jest z pojawieniem się momentu Mg.

Ponadto przekroje belki obracają się wokół osi x, ponieważ podlega ona skręcaniu momentem Ms. Na zamocowanych końcach belki działają reakcje więzów w postaci nieznanych momentów Mo. Moment gnący Mg jest rzutem wektora M na obróconą o kąt skręcenia oś pionową przekroju prostokątnego (która jest linią obojętną tego zginania):

Ponieważ kąt skręcenia c() jest mały, to sinej) = ej).

Moment skręcający Msjest równy sumie rzutów momentów zewnętrznych Mi Mo, działających po prawej stronie przekroju, na styczną do osi ugiętej belki w płaszczyźnie x-z. Styczna ta tworzy z osią prostą belki kąt ugięcia 3 =w', gdzie w jest przemieszczeniem środka geometrycznego przekroju w kierunku osi z:

32. Metoda elementów skończonych. Macierz funkcji kształtu pręta ściskanego/rozciąganego.

33. Metoda elementów skończonych. Macierz sztywności pręta ściskanego/rozciąganego.

34. Metoda elementów skończonych. Macierz funkcji kształtu pręta w ogólnym przypadku obciążenia.

35. Metoda elementów skończonych. Macierz sztywności pręta w ogólnym przypadku obciążenia.