1.Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego.
g1= 9,92 $\frac{m}{s^{2}}$ $\hat{s}$= 0,13 $\frac{m}{s^{2}}$
g2= 10,03 $\frac{m}{s^{2}}$ $\frac{\hat{s}}{\sqrt{N}}$ = 0,06 $\frac{m}{s^{2}}$
g3= 9,85 $\frac{m}{s^{2}}$ $\overset{\overline{}}{g}$ ± $\frac{\hat{s}}{\sqrt{N}}$ = (9,86 ± 0,06)$\ \frac{m}{s^{2}}$
g4= 9,67 $\frac{m}{s^{2}}$ ΔL=0,001 m
g5= 9,82 $\frac{m}{s^{2}}$ ΔT = 0,02 s
$\overset{\overline{}}{g}$= 9,86 $\frac{m}{s^{2}}$
$\frac{g}{g}$ = $\frac{L}{L}$ + $\frac{2T}{T}$
Obliczenia przeprowadzamy dla 2 pomiaru :
$\frac{g}{g}$ = $\frac{0,001}{0,97}$ + $\frac{2\ \bullet \ 0,02}{1,953}$ = 0,022 → 2,2 $\frac{m}{s^{2}}$ - błąd
g= 10,03 ∙ 0,022= 0,22 $\frac{m}{s^{2}}$
Ho ;$\ \overset{\overline{}}{g}$ ∙ mo mo= 9,81$\ \frac{m}{s^{2}}$
Hi ; $\overset{\overline{}}{g}$≠ mo ℒ = 0,05
2.Pomiar oporu elektrycznego na podstawie Prawa Ohma.
Yi [ V ] xi [ mA ] Ri [ Ω ] ∆U = 0,01 V
1,22 12,40 98,4 ∆J = 0,01 mA
1,33 14,55 91,4 $\overset{\overline{}}{R}$ = 93 Ω
1,38 15,26 90,4 $\overset{\overline{}}{S}$ = 5 Ω
1,41 16,16 87,3
1,49 17,32 86,0
1,74 18,90 `92,1
2,92 29,40 99,3
3,22 32,20 100,0
3,42 35,90 95,3
3,51 39,10 89,8
$\overset{\overline{}}{y}$ = 2,16
Sy = 0,492
$\overset{\overline{}}{x}$ = 23,12
Sx = 9,44
N = 10
7.
(yi - $\overset{\overline{}}{y}$) (yi - $\overset{\overline{}}{y}$)2 (xi - $\overset{\overline{}}{x}$) (xi - $\overset{\overline{}}{x}$)2 (xi - $\overset{\overline{}}{x}$) (yi - $\overset{\overline{}}{y}$)
0,94 0,8836 -10,72 114,9184 10,0768
0,83 0,6889 -8,57 73,449 7,1131
0,78 0,6084 -7,86 61,7796 6,1308
0,75 0,5625 -6,96 48,4416 5,2200
0,67 0,4489 -5,80 33,64 3,8860
0,42 0,1764 -4,22 17,8084 1,7724
0,76 0,5776 6,28 39,4384 4,7728
1,06 1,1236 9,08 82,4464 9,6248
1,26 1,5876 17,78 163,3284 16,1028
1,35 1,8225 15,98 255,3604 21,5730
Σ = 8,4797 Σ = 86,2725
r = $\frac{86,2725}{10\ \bullet 0,92\ \bullet 9,44}$ = 0,99
$\hat{y}$ - $\overset{\overline{}}{y}$ = r $\frac{\text{Sy}}{\text{Sx}}$ (x - $\overset{\overline{}}{x}$)
$\hat{y}\ $- 2,16 = 0,99 $\frac{0,92}{0,44}$ (x – 23,12)
$\hat{y}$ = 96,5 x – 0,07
3.Badanie amplitudy drgań
| mała masa | Mała amplituda | Duża amplitude |
|---|---|---|
T1 = 1,951 s T2 = 1,953 s T3= 2,007 s T4 = 1,980 s T5 = 1,968 s |
T1 = 1,9475 s T2 = 1,935 s T3 = 1,970 s T4 = 1,975 s T5 = 1,958 s |
|
| duża masa | T1 = 1,964 s T2 = 1,953 s T3 = 1,971 s T4 = 1,990 s T5 = 1,975 s |
T1 = 2,037 s T2 = 2,007 s T3 = 2,017 s T4 = 2,000 s T5 = 2,024 s |
$\overset{\overline{}}{T}$11 = 1,972 s s11 = 0,021 s
$\overset{\overline{}}{T}$12 = 1,957 s s12 = 0,015 s
$\overset{\overline{}}{T}$21 = 1,971 s s21 = 0,012 s
$\overset{\overline{}}{T}$22 = 2,017 s s22 = 0,013 s
t = $\frac{\ \overset{\overline{}}{T}12 - \ \overset{\overline{}}{T}22}{\sqrt{\frac{n_{1}s_{12}^{2} + n_{2}s_{22}^{2}}{n + n_{2} - 2}\ (\frac{1}{n_{1}}\ + \ \frac{1}{n_{2}})}} = \frac{- 0,06}{\sqrt{\frac{5\ {(0,015)}^{2} + \ 5{(0,013)}^{2}}{5 + 5 - 2}\ (\frac{1}{5}\ + \ \frac{1}{5})}} =$ -0,01
Nie znajdujemy się w obszarze krytycznym , więc nie ma podstawy do odrzucenia hipotezy Ho.
4.Wyznaczenie wilgotności.
t = 20 Pt =17,54 mm Ho,
t ’= 13 Pt ’ = 11,23 mm Ho,
∆t = ∆t ’ = 0,5 C
∆Pt = ∆Pt ’= ∆Pt ’’ = 0,5 mm Ho,
Pt ’’= Pt’ – 0,5(t – t’)
Pt’’ = 7,73 mm Ho,
Ww=$\frac{7,73}{17,54}$ = 0,44 ⇒ 44%
∆Ww= $\left| \frac{1}{\text{Pt}} \right|$ ∆Pt’ + $\left| \frac{0,5}{\text{Pt}} \right|$ ∆t $\left| \frac{0,5}{\text{Pt}} \right|$ ∆t’ + $\left| \frac{\lbrack Pt^{'} - \ 0,5\left( t - t^{'} \right)\rbrack}{P^{2}t} \right|$ ∆t
∆Ww = $\frac{1}{17,54}\ \bullet 0,5 + 2 \bullet \frac{0,5}{17,5}\ $∙0,5+ $\frac{7,73}{{(17,54)}^{2}}$ ∙0,5 = 0,07 mm Ho,
$\frac{Ww}{\text{Ww}}$ = $\frac{0,07}{0,44}$ = 0,16 ⇒ 16%
5.Wyznaczenie długości fali światła laserowego.
d = 400 linii/mm = $\frac{1}{400\ 000}$ m
l [ m ] a [m ] n x [ μm ]
0,2 a1=0,058 1 0,70
a2 = 0,128 2 0,67
0,3 a1 = 0,084 1 0,67
a2 =0,198 2 0,69
0,4 a1 = 0,111 1 0,67
$\overset{\overline{}}{x}$ = 0,68 μm
$\hat{s}$ = 0,01 μm
∆ ± = ∆ l = 0,001
∆ x1 =0,01 μm
$\frac{\ x}{x_{1}}$ = $\frac{0,01}{0,7}$ = 0,0206 → 2,1 %
6.Wyznaczenie ogniskowej soczewki.
x y f
7 21 5,25
11 11 5,5
6,5 27 5,24
6 43,5 5,27
8 15 5,22
f = 5,30 $\frac{\hat{s}}{\sqrt{N}}$ = 0,05
$\hat{s}$ = 0,12
$\overset{\overline{}}{f}$ $\frac{\hat{s}}{\sqrt{N}}$ = [ 5,30 ± 0,05 ] cm
f1 = $\left| \frac{y^{2}}{{(x + y)}^{2}} \right|$ ∆x + $\left| \frac{x^{2}}{{(x + y)}^{2}} \right|$ ∆y
f1 = $\left| \frac{21^{2}}{{(23)}^{2}} \right|$ ∙ 0,1 + $\left| \frac{7^{2}}{{(28)}^{2}} \right|$ ∙ 0,1
f1 = 0,062 cm
$\frac{f_{1}}{\mathcal{L}}$ = $\frac{0,062}{5,25}$ = 0,012 ⇒ 12 %
p = 1 + $\frac{d}{f}$
P1 = 1 + $\frac{25}{5,25}$
P1 = 5,8
∆ P1 = $\left| - \frac{\mathcal{L}}{t_{1}^{2}} \right|$ ∙ ∆f1 = 0,06
$\frac{\ P_{1}}{P_{1}}$ = $\frac{0,06}{5,8}$ ≈ 0,0097 = 97%
8.Wyznaczenie grzałki elektrycznej.
msz = 0,1032 kg
csz = 750 $\frac{J}{\text{kg}\ k}$
mw = 0,250 kg
cw = 4200 $\frac{J}{\text{kg\ k}}$
∆ m = 0,005 kg
P = 220 W
T = 580 s
∆ P = 20 W
∆ T = 5s
y = $\frac{\left( n_{w}C_{w\ } + \ m_{\text{sz}}c_{\text{sz}} \right)(t_{2} - \ t_{1})}{\text{PT}}$
y = $\frac{\left( \ 1050 + 77,4 \right)\ \bullet 80}{220\ \bullet 580}$ = 0,71
∆ y = $\left| \frac{750\ \bullet 80}{220\ \bullet 580} \right|$ ∙ 0,0005 + $\left| \frac{4200\ \bullet 80}{220\ \bullet 580} \right|$ ∙0,0005 + $\left| \frac{\left( 1050 + 77,4 \right)}{220\ \bullet 580} \right|$ ∙ 1 +
$\left| \frac{- \left( 1050\ + 77,4\ \right)}{220\ \bullet 580} \right|$ ∙ 1 +$\left| \frac{- \left( 1050 + 77,4 \right) \bullet 80}{220^{2} \bullet 580} \right|$ ∙ 20 + $\left| \frac{- \left( 1050\ + 77,4 \right) \bullet 80\ }{220\ \bullet \ 580^{2}} \right|$ ∙ 5 = 0,000235
+ 0,001317 + 0,008835 + 0,064454 + 0,006121 = 0,0898
$\frac{\ y}{y}$ = $\frac{0,0898}{0,71}$ = 0,126 ≈ 12,6 %
2.
| Pow. – Pow. | $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s | $$\hat{s}$$ |
$$\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}$$ |
|---|---|---|---|
| Drewno - drewno | 0,3143 | 0,061 | 0,035 |
| Drewno - brąz | 0,7524 | 0,029 | 0,017 |
| Ciemny brąz - drewno | 03714 | 0,031 | 0,018 |
Błędy :
μs = $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s [ $\frac{\ h}{h} + \ \frac{\ d}{}$ ]
∆ h = 0,001 = ∆ d
1.Drewno – drewno.
h1 = 0,18 $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s = 0,3143
∆ μs1 = 0,3143 ∙ $\left( \frac{0,001}{0,18} + \ \frac{0,001}{0,7} \right)$ = 0,0022
$\frac{\ \mu s1}{\overset{\overline{}}{\text{μu}}s}$ = 0,0070 ∙ 100% = 0,7%
h2 = 0,215
∆ μs2 = 0,3143 ∙ $\left( \frac{0,001}{0,215} + \ \frac{0,001}{07} \right) = 0,0019$
$\frac{\ \mu s2}{\overset{\overline{}}{\text{μu}}s}$ = 0,0061 ∙ 100% = 0,61%
h3 = 0,265
∆ μs3 = 0,3143 ∙ $\left( \frac{0,001}{0,265} + \ \frac{0,001}{0,7} \right)$ = 0,0016
$\frac{\ \mu s3}{\overset{\overline{}}{\text{μu}}s}$ = 0,0052 ∙ 100% = 0,52%
Wyznaczenie współczynnika tarcia poślizgowego.
μus = tg 𝓛s = $\frac{h}{d}$
d = 0,7
1.Drewno – Drewno
hi = 0,18 μus1 = $\frac{0,18}{0,7}$ = 0,2571
h2 = 0,215 μus2 = $\frac{0,215}{0,7}$ = 0,3071
h3 = 0,265 μus3 = $\frac{0,265}{0,7}$ = 0,3786
$\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s = 0,3143
2.Drewno – Brąz
h1 = 0,52 μus1 = $\frac{0,52}{0,7}$ = 0,7429
h2 = 0,51 μus2 = $\frac{0,51}{0,7}$ = 0,7286
h3 =s 0,55 μus3 = $\frac{0,55}{0,7}$ = 0,7857
$\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s = 0,7524
3.Ciemny brąz-drewno
h1 = 0,245 μus1 = $\frac{0,245}{0,7}$ = 0,35
h2 = 0,285 μus2 = $\frac{0,285}{0,7}$ = 0,4071
h3 = 0,25 μus3 = $\frac{0,25}{0,7}$ = 0,3571
$\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s = 0,3714
2.Drewno - brąz
h1 = 0,52 μus1 = 0,7429
∆ μs1 = 0,7524 $\left( \frac{0,001}{0,52} + \ \frac{0,001}{0,7} \right)$ = 0,0025
$\frac{\ \mu s2}{\overset{\overline{}}{\text{μu}}s\ }$ = 0,034 ∙ 100% = 0,34%
h3 = 0,55
∆ $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s3 = 0,7524 $\left( \frac{0,001}{0,55} + \ \frac{0,001}{0,7} \right)$ = 0,0121
$\frac{\ \mu us3}{\overset{\overline{}}{\text{μu}}s\ }$ =0,0161∙ 100% = 1,61%
3.Ciemny brąz – drewno.
h1 = 0,245 $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s = 0,3714
∆ μs1 = 0,3714 $\left( \frac{0,001}{0,245} + \ \frac{0,001}{0,7} \right)$ = 0,0020
$\frac{\ \mu s1\ }{\overset{\overline{}}{\mu}\text{us}\ }$ = 0,0055 ∙ 100% = 0,55%
h2 = 0,285 ∆ $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s2 = 0,3714 ∙ $\left( \frac{0,001}{0,285} + \ \frac{0,001}{0,7} \right)$ = 0,0018
$\frac{\ \mu s2}{\overset{\overline{}}{\mu}\text{us}\ }$ = 0,0049 ∙ 100% = 0,49%
h3 = 0,250 ∆ $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s3 = 0,3714 ∙ $\left( \frac{0,001}{0,250} + \ \frac{0,001}{0,7} \right)$ = 0,0005
$\frac{\ \mu s3}{\overset{\overline{}}{\mu}\text{us}\ }$ = 0,0014 ∙ 100% = 0,14%
Wyznaczenie współczynnika tarcia poślizgowego.
| Pow. duża | Pow. mała | |
|---|---|---|
| hi | μsi | |
| 1 | 0,18 | 0,2571 |
| 2 | 0,215 | 0,3071 |
| 3 | 0,265 | 0,3786 |
| 4 | 0,240 | 0,3429 |
| 5 | 0,235 | 0,3357 |
| 6 | 0,240 | 0,3429 |
| 7 | 0,245 | 0,3500 |
| 8 | 0,250 | 0,3571 |
| 9 | 0,230 | 0,3286 |
| 10 | 0,215 | 0,3071 |
| $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s(1) = 0,3307 $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s(2) = 0,3143 |
Tabela pomocnicza do obliczeń odchylenia standardowego :
| (1) | (2) | |
|---|---|---|
| μsi - ${\overset{\overline{}}{\mu}}_{s}$ | (μsi - ${\overset{\overline{}}{\mu}}_{s}$)2 | |
| 1 | 0,0736 | 0,0054 |
| 2 | 0,0236 | 0,00056 |
| 3 | 0,0479 | 0,00229 |
| 4 | 0,0122 | 0,00015 |
| 5 | 0,005 | 0,00003 |
| 6 | 0,0122 | 0,00015 |
| 7 | 0,0143 | 0,00028 |
| 8 | 0,0264 | 0,0007 |
| 9 | 0,0021 | 0,0 |
| 10 | 0,0236 | 0,00056 |
| Σ = 0,01012 Σ = 0,0128 |
Odchylenie standardowe.
$\hat{s}$1 = $\sqrt{\frac{0,01012}{10 - 1}}$ = 0,034
$\hat{s}$2 =$\sqrt{\frac{0,0128}{9}}$ = 0,038
Błąd średni (1):
$\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}$ = $\frac{0,034}{\sqrt{10}}$ = 0,011
(2)
$\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}$ = 0,012
t = $\frac{0,3307 - 0,3143}{\sqrt{\frac{10\ \bullet 0,0342 + 10\ \bullet 0,0382}{10 + 10 - 2}\ (\frac{1}{\ 10} + \ \frac{1}{10\ )}}}$ = $\frac{0,0164}{0,01699}$ = 0,9653
poziom ufności – 0,95
k = n1 + n2 – 2 = 18
t $\frac{\mathcal{L}}{2}$ =2,10 t < t $\frac{\mathcal{L}}{2}$
Przyjmujemy hipotezę o jednakowych wartościach μu$\overset{\overline{}}{s}$ (1) i ( $\overset{\overline{}}{\text{μs}}$) bez względu na wielkość powierzchni.
Błędy :
Błąd względny $\frac{\ \mu s}{\overset{\overline{}}{\text{μus}}}$ = $\left( \frac{\ h}{h} + \ \frac{\ d}{d} \right)$
Błąd bezwzględny ∆ μs = $\overset{\overline{}}{\text{μs}}$ $\left( \frac{\ h}{h} + \ \frac{\ d}{d} \right)$
∆ h = ∆ d = 0,001
Powierzchnia duża $\overset{\overline{}}{\text{μs}}$ = 0,3307
| hi | Błąd bezwzględny | Błąd względny [ % ] | |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,18 | 0,0023 | 0,7 |
| 2 | 0,215 | 0,0020 | 0,61 |
| 3 | 0,265 | 0,0017 | 0,52 |
| 4 | 0,240 | 0,0019 | 0,56 |
| 5 | 0,235 | 0,0019 | 0,57 |
| 6 | 0,240 | 0,0019 | 0,56 |
| 7 | 0,245 | 0,0018 | 0,55 |
| 8 | 0,250 | 0,0018 | 0,54 |
| 9 | 0,230 | 0,0019 | 0,58 |
| 10 | 0,215 | 0,0020 | 0,61 |
Powierzchnia mała $\overset{\overline{}}{\text{μs}}$ = 0,314
∆ h = ∆ d = 0,001
| hi | Błąd bezwzględny | Błąd względny | |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,165 | 0,0024 | 0,75 |
| 2 | 0,235 | 0,0018 | 0,57 |
| 3 | 0,210 | 0,0019 | 0,62 |
| 4 | 0,210 | 0,0019 | 0,61 |
| 5 | 0,215 | 0,0019 | 0,61 |
| 6 | 0,270 | 0,0016 | 0,51 |
| 7 | 0,210 | 0,0019 | 0,62 |
| 8 | O,220 | 0,0019 | 0,60 |
| 9 | 0,245 | 0,0017 | 0,55 |
| 10 | 0,220 | 0,0019 | 0,60 |