Funkcja liniowa

Definicja

Funkcję określoną wzorem y = ax + b, gdzie a i b są współczynnikami liczbowymi, nazywamy funkcją liniową. Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Wykres

Wykresem każdej funkcji liniowej jest linia prosta. Aby narysować tę prostą wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty.

Przykład:

Narysuj prostą: y = 2x +1

Jeżeli x = 0, to y = 1 A (0,1)
Jeżeli x = 1, to y = 3 B (1,3)

Funkcja liniowa

Funkcję f określoną wzorem f(x) = ax + b dla a, b, x należących do zbioru liczb rzeczywistych, nazywamy funkcją liniową. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, b - wyrazem wolnym. Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Nietrudno zauważyć, że funkcja liniowa jest rosnąca gdy prosta będąca jej wykresem patrząc w prawo "wznosi się" a malejąca gdy "opada". W przypadku gdy prosta biegnie poziomo, funkcja jest stała. Pozostaje jeszcze zauważyć, że czym większa wartość bezwzględna współczynnika kierunkowego a tym prosta tworzy większy kąt z osią OX (jest bardziej stroma). Z kolei gdy wartość bezwzględna a zbliża się do zera, prosta będąca wykresem funkcji liniowej staje się coraz bardziej pozioma.

Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Przeciwdziedziną również zbiór liczb rzeczywistych lub zbiór jednoelementowy (zawierający tylko jedną liczbę). Kiedy?

Monotoniczność funkcji liniowej

Za monotoniczność funkcji liniowej odpowiada współczynnik kierunkowy prostej. Gdy a > 0 wówczas funkcja jest rosnąca, gdy a < 0 funkcja jest malejąca. Dla a = 0 funkcja oczywiście jest stała. Z wyjątkiem funkcji stałej funkcja liniowa jest różnowartościowa.

Miejsce zerowe funkcji liniowej

"Przyzwoita" funkcja liniowa posiada jedno miejsce zerowe. Jest to odcięta punktu, w którym wykres funkcji przecina oś OX (odciętych) w układzie współrzędnych. Jeśli by posiadała 2 musiałaby posiadać ich nieskończenie wiele (czemu?). Wyjątkiem jest funkcja stała, która nie posiada miejsca zerowego lub też same miejsca zerowe (kiedy?).

Kąt pomiędzy wykresem funkcji liniowej a osią x

Kąt pod jakim "biegnie" prosta będąca wykresem funkcji liniowej zależy od współczynnika kierunkowego a. Czym większa wartość bezwzględna a, tym prosta wznosi się bardziej pionowo, gdy wartość bezwzględna a dąży do zera, prosta coraz bardziej się "kładzie". Dlaczego użyłem tu znanego i lubianego określenia "wartość bezwzględna"?.

Każda prosta oprócz prostej prostopadłej do osi OX jest wykresem pewnej funkcji liniowej. Sposób wyznaczania współczynników a i b pokazuje poniższy rysunek:

Sposób wyznaczania współczynników a i b

Cóż więcej możemy powiedzieć o poczciwej funkcji liniowej? Po pierwsze, że jest ciągła. O ciągłości wspominałem przy omawianiu funkcji jako takich. Ale akurat to jest trywialne, gdyż każdy wie, że prosta jest linią ciągłą. Po drugie do sporządzenia wykresu funkcji liniowej potrzebne są tylko dwa punkty. Jeden z nich mamy podany prawie na tacy, jak wyznaczyć drugi pokazuje rysunek. Możemy zetknąć się z odwrotnym problemem: Znaleźć wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty A(x_A, y_A) i B(x_B, y_B). Wówczas do wzoru ogólnego f(x) = ax + b należy podstawić współrzędne punktu A, następnie punktu B i rozwiązać układ równań z dwoma niewiadomymi. Oczywiście w przypadku gdy oba punkty leżą na prostej prostopadłej do osi OX rozwiązania nie znajdziemy.

Jakie zjawiska możemy opisać funkcją liniową? Droga przebyta przez samochód jadący ze stałą prędkością jest liniową funkcją czasu. Zależność tę można przedstawić wzorem:

S(t) = vt + x₀, gdzie v - prędkość, x₀ - początkowy odcinek drogi, t - czas

Podobnie, objętość wody znajdującej się w zbiorniku w danej chwili jest funkcja liniową czasu, jeśli tylko uznamy, że kran doprowadzający wodę pracuje ze stałą wydajnością. Wówczas:

V(t) = wt + v₀, gdzie w - wydajność kranu, v₀ - objętość początkowa, t - czas

Masę, naprawdę masę zjawisk opisuje funkcja liniowa.

Funkcja liniowa

Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem

( i są ustalonymi liczbami rzeczywistymi).

 

Wykresem funkcji liniowej jest prosta, która przecina oś y(rzędnych) w punkcie (0,b).

Liczba  jest nazywana współczynnikiem kierunkowym.

Na jej podstawie możemy określić monotoniczność funkcji liniowej.

 

Miejscem zerowym funkcji liniowej nazywamy punkt przecięcia wykresu z osią x(odciętych).

Możemy je łatwo określić odczytując z wykresu lub rozwiązując równanie .

 

Funkcja liniowa  jest:

- malejąca, gdy .

Funkcję nazywamy malejącą w zbiorze C wtedy i tylko wtedy, gdy

dla dowolnych zachodzi warunek: jeśli to .

 

 

 - stała gdy .

Funkcję nazywamy stałą w zbiorze C wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dowolnych zachodzi warunek: jeśli to .

 

 

- rosnąca, gdy .

Funkcję nazywamy rosnącą w zbiorze C wtedy i tylko wtedy, gdy

dla dowolnych zachodzi warunek: jeśli to .