Wycena obligacji

$$P = \sum_{}^{}\frac{C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$$

P – cena obligacji

C_t – dochód z tytułu posiadania obligacji

YTM – wymagana stopa zwrotu

Wartość kuponu

K = r × Wn

r – oprocentowanie

Wn – wartość nominalna

Wartość przyszła wpływów

FV_n = K₁(1 + r_e)^n − 1 + K₂(1 + r_e)^n − 2 + … + K_n − 1(1 + r_e)¹ + K_n + Wn

FV_n – przyszła wartość wpływów

r_e – stopa reinwestycji

n – czas w latach do wykupu

Zrealizowana stopa dochodu

$$\text{RCY} = \sqrt[n]{\frac{FV_{n}}{P}} - 1$$

Ogólny wzór na zrealizowaną stopę dochodu z obligacji

$$\text{RCY} = \left( \frac{K\left( 1 + r_{2} \right)\left( 1 + r_{3} \right)\ldots\left( 1 + r_{n} \right) + K\left( 1 + r_{3} \right)\left( 1 + r_{4} \right)\ldots\left( 1 + r_{n} \right) + K\left( 1 + r_{n} \right) + K + P_{n}}{P} \right)^{\frac{1}{n}} - 1$$

P – cena zakupu obligacji

P_n – cena sprzedaży obligacji po n-latach

r_t – stopa reinwestycji w t-tym roku posiadania obligacji

Duration

$$D = \frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t \times \text{Kc}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}}{P}$$

D – średni termin wykupu obligacji

$$D = \frac{\frac{1K}{{(1 + \text{YTM})}^{1}} + \frac{2K}{{(1 + \text{YTM})}^{2}} + \ldots + \frac{n(K + \text{Wn})}{{(1 + \text{YTM})}^{n}}}{P}$$

Duration- Określa jak zmieni się wartość obligacji gdy zmianie ulegnie YTM w okresie do wykupu

Zmiana wartości obligacji

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - D\frac{\left( 1 + \text{YTM}_{1} \right) - (1 + \text{YTM}_{0})}{1 + \text{YTM}_{0}}$$

P₀- cena obligacji sprzed zmianą YTM

P₁- cena obligacji po zmianie YTM

YTM₀-YTM przed zmianą

YTM₁-YTM po zmianie

Zmodyfikowany średni termin wykupu

$$\text{MD} = \frac{D}{(1 + \text{YTM}_{0})}$$

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - \text{MD}(\text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0})$$

Duration portfela obligacji

$$\text{Dp} = \sum_{T = 1}^{n}w\text{iDi}$$

Dp- średni termin wykupu portfela obligacji

Wi- udział i-tej obligacji w portfelu

Di- średni termin wykupu i-tej obligacji.

n- liczba obligacji w portfelu

Wypukłość obligacji

$$C = 0,5*\frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t*\left( t + 1 \right)C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}}{{P(1 + \text{YTM})}^{2}}$$

Zmiana wypukłości obligacji( duration) + wypukłość obligacji

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - \text{MD}\left( \text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0} \right) + C{(\text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0})}^{2}$$

YTM₀- YTM przed zmianą;

YTM₁-YTM po zmianie

Wycena akcji

$$P = \sum_{t = 1}^{n}\frac{C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$$

P - cena akcji

C_t - dochód z tytułu posiadania akcji w okresie t

YTM- wymagana stopa zwrotu inwestora

Model zdyskontowanych dywidend

$$P = \sum_{t = 1}^{\infty}\frac{D_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$$

Model zdyskontowanych dywidend

$$P = \frac{D_{1} + P_{1}}{(1 + {\text{YTM})}^{1}}$$

D₁- dywidenda płacona po roku

P₁- cena akcji po roku( sprzedaż)

$$P = \frac{D_{1}}{({1 + \text{YTM})}^{1}} + \frac{D_{2}}{({1 + \text{YTM})}^{2}} + \frac{D_{3}}{({1 + \text{YTM})}^{3}} + \frac{D_{4} + P_{4}}{({1 + \text{YTM})}^{4}}$$

Model stałej dywidendy

$$P = \frac{D}{\text{YTM}}$$

Model stałej dywidendy

$$P = \frac{D}{\text{YTM}}$$

P – cena

D – poziom wypłaconej dywidendy

YTM – wymagana stopa zwrotu

Model stałego wzrostu dywidendy Gordona – Shapiro

$$P = \frac{D(1 + g)}{(YTM + g)}$$

g – stopa przyrostu dywidendy

Stopa zwrotu z inwestycji

$$R_{t} = \frac{P_{t} - P_{t - 1} + I}{P_{t - 1}}$$

I – dodatkowe wpływy z tytułu posiadania akcji (dywidendy)

Oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji

$$\overset{\overline{}}{R} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}R_{i}}{n}$$

$\overset{\overline{}}{R}$ - średnia stopa zwrotu z instrumentu

R_i - stopa zwrotu z i-tego okresu

n – liczba okresów (liczba policzonych stóp zwrotu)

Ryzyko jako wariancja stopy zwrotu

$$\sigma^{2} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}{(R_{t} - \overset{\overline{}}{R})}^{2}}{n - 1}$$

σ² - wariancja stopy zwrotu

R_t - osiągnięta stopa zwrotu w czasie t

$\overset{\overline{}}{R}\ $- średnia stóp zwrotu

n – ilość obserwacji

Odchylenie standardowe

$$\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}$$

Oczekiwana stopa zwrotu portfela 2 - składnikowego

Rp = w₁R₁ + w₂R₂

w₁ – udział pierwszej akcji w portfelu

R₁ – oczekiwana stopa zwrotu pierwszej akcji

w₂ – udział drugiej akcji w portfelu

R₂ – oczekiwana stopa zwrotu drugiej akcji

Ryzyko portfela akcji dwóch spółek

S_p² = w₁²s₁² + w₂²s₂² + 2w₁s₁w₂s₂σ₁₂

s₁ – odchylenie standardowe pierwszej akcji

s₂ – odchylenie standardowe drugiej akcji

σ₁₂ – korelacja stóp zwrotu pierwszej i drugiej akcji

Portfele dwuskładnikowe przypadki szczególne

σ₁₂ = 1    to Sp = w₁s₁w₂s₂

σ₁₂ = 0 to $\text{Sp} = \sqrt{w_{1}^{2}s_{1}^{2} + w_{2}^{2}s_{2}^{2}}$

σ₁₂ = −1 to Sp = |w₁s₁−w₂s₂|

Portfel o zerowym ryzyku tylko gdy σ = -1

$w_{1} = \frac{s_{2}}{{s_{1} + s}_{2}}$ $w_{2} = \frac{s_{1}}{{s_{1} + s}_{2}}$

Krótka sprzedaż portfela dwuskładnikowego przypadki szczególne

σ₁₂ = 1

Sp = |w₁s₁+w₂s₂|

w₁ ; W₂ – mogą być wartościami ujemnymi

Portfel o zerowym ryzyku

$w_{1} = \frac{s_{2}}{{s_{2} - s}_{1}}$ $w_{2} = \frac{{- s}_{1}}{{s_{2} - s}_{1}}$

Portfel o minimalnym ryzyku dla dowolnego współczynnika korelacji

$w_{1} = \frac{s_{2}^{2} - s_{1}{\times s}_{2} \times \delta_{12}}{s_{1}^{2} + s_{2}^{2} - 2{\times s}_{1} \times s_{2}{\times \delta}_{12}}$ $w_{2} = \frac{s_{1}^{2} - s_{1} \times s_{2}{\times \delta}_{12}}{s_{1}^{2} + s_{2}^{2} - 2 \times s_{1}{\times s}_{2}{\times \delta}_{12}}$