Mechatronika 1 rok	Wyznaczanie modułu Younga.	09.04.2011r.
Ćw. Nr 18

1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia było wyznaczenie następujących wielkości:

- strzałki ugięcia H, średniej wartości stosunku F/H,

- wartości modułu Younga dla każdego badanego pręta,

- niepewności pomiarowych,

- wykreślenie zależności H=f(F) dla każdego badanego pręta,

- z wykresu wyznaczenie modułu Younga dla każdego badanego pręta,

- porównanie wart. E wyznaczone z wykresu oraz obliczonych ze wzoru,

- określenie na podstawie danych tablicowych rodzaju materiału z którego wykonano pręt.

1. Wiadomości teoretyczne.

Ciało nazywamy sprężystym , jeżeli odkształcenia , wywołane działającymi na nie siłami, znikają zupełnie po usunięciu tych sił . Każde ciało zbudowane jest z atomów lub cząsteczek , między którymi działają siły nazywane siłami międzycząsteczkowymi . W ciałach stałych siły te są na tyle duże , że cząsteczki są uporządkowane i tworzą regularną strukturę przestrzenną ,nazywaną siecią krystaliczną . Każda cząsteczka nazwana węzłem sieciowym ma swoje położenie równowagi , wokół , którego wykonuje niewielkie ,chaotyczne drgania . Powstanie stanu równowagi trwałej , wynika z faktu , że między kolejnymi dwiema cząsteczkami występują dwojakiego rodzaju siły :przyciągania oraz odpychania . Siły działające na ciało wywołują ich odkształcenia . Wszelkie odkształcenia można sprowadzić do trzech głównych rodzajów odkształceń :

• Odkształcenie jednostronne występuje wtedy , gdy siły działają na dwie przeciwległe ścianki ciała prostopadle do nich .

• Odkształcenie wszechstronne występuje wtedy ,gdy na każdy element powierzchni ciała działa siła do niego prostopadła .

• Ścinanie następuje wtedy , gdy działające siły są styczne do powierzchni ciała .

siły przyciągania .

Wielkość fizyczną, równą liczbowo sile sprężystości F przypadającej na jednostkę powierzchni przekroju ciała, nazywamy naprężeniem σ.

$$\sigma = \frac{F}{S}$$

Jednostką naprężenia jest takie naprężenie , jakie wywołuje jednostkowa siła działając na jednostkową powierzchnię .W układzie SI jednostką naprężenia jest paskal (P) :jest to naprężenie jakie wywołuje siła jednego niutona działając na powierzchnię jednego metra kwadratowego .

$$\left\lbrack \sigma \right\rbrack = \frac{N}{m^{2}} = \text{Pa}$$

Angielski fizyk R. Hooke stwierdził na drodze doświadczalnej, że naprężenie ciała sprężyście odkształconego jest proporcjonalne do względnego odkształcenia tego ciała:

gdzie:

K - współczynnik sprężystości zależny od właściwości materiału z którego wykonane jest ciało

ε - odkształcenie względne.

Nas interesować będzie zginanie ciała, które możemy rozpatrywać jako równoczesne ściskanie górnej i rozciąganie dolnej powierzchni. Miarą odkształcenia jest strzałka ugięcia H (odległość między środkową warstwą pręta przed i po odkształceniu).

Z prawa Hooke’a wynika następujący wzór na wartość strzałki ugięcia dla pręta o długości l i przekroju w kształcie prostokąta o podstawie a i wysokości h.

gdzie:

E - moduł Younga dla danego materiału,

a −  szerokość pręta,

h −  grubość pręta mierzona w kierunku dzialania siły F,

l− długość pręta mierzona miedzy krawędziami podparcia pręta.

Po przekształceniu:

$$E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}}\frac{F}{H}$$

1. Tabele pomiarowe

Tabela 1

Rodzaj pręta	Długość l [m]	Krawędzie ai [m]	Wartość średnia a [m]	Krawędzie hi [m]	Wartość średnia h [m]
	0,251	0,02030	0,02027	0,00510	0,00513
		0,02025		0,00515
		0,02025		0,00515
	0,312	0,01960	0,01985	0,00500	0,00500
		0,02000		0,00500
		0,01995		0,00500
	0,477	0,01700	0,01707	0,00800	0,00800
		0,01675		0,00800
		0,01745		0,00800

∆_dl =1mm ∆_da = 0,05mm ∆_el =2mm ∆_ea =0,05mm ∆_dh =0,05mm ∆_eh = 0,05mm

Tabela 2

Rodzaj pręta	Nr pomiaru	Obciążenie F [N]	H1 [mm]	H2 [mm]	Hśr [m]	F/H [N/m]	Wartość średnia F/H [N/m]	E [N/m^2]
	1	9,81	0,19	0,18	0,000185	53027	49672	7170*10^7
	2	19,62	0,39	0,39	0,000390	50307
	3	29,43	0,60	0,60	0,000600	49050
	4	39,24	0,80	0,81	0,000810	48444
	5	49,05	1,01	1,01	0,001010	48564
	6	58,86	1,21	1,21	0,001210	48644
	1	9,81	0,24	0,25	0,000245	40040	38400	11761*10^7
	2	19,62	0,49	0,51	0,000500	39240
	3	29,43	0,77	0,79	0,000780	37730
	4	39,24	1,03	1,05	0,001040	37730
	5	49,05	1,30	1,32	0,001310	37442
	6	58,86	1,54	1,54	0,001540	38220
	1	9,81	0,13	0,15	0,000140	70071	66248	20560*10^7
	2	19,62	0,29	0,30	0,000295	66508
	3	29,43	0,45	0,46	0,000455	63978
	4	39,24	0,60	0,60	0,000600	65400
	5	49,05	0,75	0,75	0,000750	65400
	6	58,86	0,89	0,89	0,000890	66134

∆_dH =0,01mm ∆_eH =0,05mm

1. Obliczenia.

   1. Wyznaczenie wartości średnich a,h oraz strzałki ugięcia H:

Np.

$a = \frac{0,02030 + 0,02025 + 0,02025}{3} = 0,02027m$

$h = \frac{0,00510 + 0,00515 + 0,00515}{3} = 0,00513m$

$H = \frac{0,00019 + 0,00018}{2} = 0,000185m$

Pozostałe wartości a, h oraz H zostały obliczone analogicznie i zamieszczone w tabeli.

1. Wyznaczenie wartości F , przy zmieniającej się ilości ciężarków:

- F=m*g,

- masa jednego ciężarka = 1kg.

F₁ = m * g = 1kg * 9, 81m/s = 9, 81NF₂ = m * g = 2kg * 9, 81m/s = 19, 62NF₃ = m * g = 3kg * 9, 81m/s = 29, 43NF₄ = m * g = 4kg * 9, 81m/s = 39, 24NF₅ = m * g = 5kg * 9, 81m/s = 49, 05NF₆ = m * g = 6kg * 9, 81m/s = 58, 86N

1. Wyznaczenie wartości stosunku F/H dla poszczególnych pomiarów oraz wartości średniej tego stosunku dla każdego pręta:

Np.

$$\frac{F}{H} = \frac{9,81N}{0,000185m} = 53027\frac{N}{m}$$

Pozostałe wartości zostały obliczone analogicznie i zamieszczone w tabeli.

Np.

$$\frac{F}{H}sr = \frac{53027 + 50307 + 49050 + 48444 + 48564 + 48644}{6} = 49672\frac{N}{m}$$

Pozostałe wartości zostały obliczone analogicznie i zamieszczone w tabeli.

1. Wyznaczenie wartości modułu Younga:

$$\mathbf{E}\mathbf{=}\frac{\mathbf{l}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{4}\mathbf{a}\mathbf{h}^{\mathbf{3}}}\frac{\mathbf{F}}{\mathbf{H}}$$

- Pręt I:

$$E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}}\frac{F}{H} = \frac{\left( 0,251m \right)^{3}}{4*0,02027m*\left( 0,00513m \right)^{3}}\frac{49672N}{m} = \frac{0,0158m^{3}}{0,08108m*0,000000135m^{3}}\frac{49672N}{m} = \mathbf{7170*}\mathbf{10}^{\mathbf{7}}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}$$

- Pręt II:

$$E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}}\frac{F}{H} = \frac{\left( 0,312m \right)^{3}}{4*0,01985m*\left( 0,00500m \right)^{3}}\frac{38400N}{m} =$$

$$= \frac{0,0304m^{3}}{0,0794m*0,000000125m^{3}}\frac{38400N}{m}$$

$$= \mathbf{11761*}\mathbf{10}^{\mathbf{7}}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}$$

- Pręt III:

$$E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}}\frac{F}{H} = \frac{\left( 0,477m \right)^{3}}{4*0,01707m*\left( 0,00800m \right)^{3}}66248\frac{N}{m} = \frac{0,1085m^{3}}{0,06828m*0,000000512m^{3}}66248\frac{N}{m}$$

$$= \mathbf{20560}*\mathbf{10}^{\mathbf{7}}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}$$

1. Wykres H=f(F)

   1. Wyznaczenie modułu Younga z wykresu

Do wyznaczenia korzystamy ze wzoru:

$$E = \frac{l^{3}}{4ah^{3} \times \frac{H}{F}}$$

- Dla pręta I:

$$E_{\text{graf}} = \frac{\left( 0,251m \right)^{3}}{4*0,02027m*\left( 0,00513m \right)^{3}*\frac{0,00121m - 0,000185m}{58,86N - 9,81N}} = \mathbf{6913*}\mathbf{10}^{\mathbf{7}}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}$$

- Dla pręta II:

$$E = \frac{\left( 0,312m \right)^{3}}{4*0,01985m*\left( 0,00500m \right)^{3}*\frac{0,00154m - 0,000245m}{58,86N - 9,81N}} = \mathbf{11591*}\mathbf{10}^{\mathbf{7}}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}$$

- Dla pręta III:

$$E = \frac{\left( 0,477m \right)^{3}}{4*0,01707m*\left( 0,00800m \right)^{3}*\frac{0,00089m - 0,00014m}{58,86N - 9,81N}} = \mathbf{20290*}\mathbf{10}^{\mathbf{7}}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}$$

1. Dyskusja niepewności pomiarowych

Niepewności pomiarowe dla wielkości mierzonych bezpośrednio l,a,h i H:

- Niepewność wzorcowania ∆_dx :

∆_dl =1mm

∆_da = 0,05mm

∆_dh = 0,05mm

∆_dH = 0,01mm
- Niepewność eksperymentatora ∆_ex :

∆_el =2mm

∆_ea =0,05mm

∆_eh =0,05mm

∆_eH =0,05mm

Całkowita niepewność standardowa

$$u\left( l \right) = \sqrt{\frac{\left(_{d}l \right)^{2}}{3} + \frac{\left(_{e}l \right)^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{\left( 1\text{mm} \right)^{2}}{3} + \frac{\left( 2\text{mm} \right)^{2}}{3}\ }\ = \ \sqrt{0,333 + 1,333} = \mathbf{1,666}\mathbf{\text{mm}}$$

$$u\left( a \right) = \sqrt{\frac{\left(_{d}a \right)^{2}}{3} + \frac{\left(_{e}a \right)^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{\left( 0,05mm \right)^{2}}{3} + \frac{\left( 0,05mm \right)^{2}}{3}\ }\ = \sqrt{0,000833 + 0,000833} = \mathbf{0,041}\mathbf{\text{mm}}$$

$$u\left( h \right) = \sqrt{\frac{\left(_{d}h \right)^{2}}{3} + \frac{\left(_{e}h \right)^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{\left( 0,05mm \right)^{2}}{3} + \frac{\left( 0,05mm \right)^{2}}{3}\ }\ = \sqrt{0,000833 + 0,000833} = \mathbf{0,041}\mathbf{\text{mm}}$$

$$u\left( H \right) = \sqrt{\frac{\left(_{d}H \right)^{2}}{3} + \frac{\left(_{e}H \right)^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{\left( 0,01mm \right)^{2}}{3} + \frac{\left( 0,05mm \right)^{2}}{3}\ } = \sqrt{0,000033 + 0,000833} = \mathbf{0,029}\mathbf{\text{mm}}$$

Niepewności dla tych wielkości zostały obliczone metodą typu B.

Dla wyznaczenia niepewności F/H skorzystałem ze wzoru na niepewność standardową wartości średniej zawartego w skrypcie.

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{6}\left( \frac{F}{H} - \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right)^{2}}{30}}$$

- Dla pręta I:

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = 726,6\frac{N}{m}$$

- Dla pręta II:

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = 418,06\frac{N}{m}$$

- Dla pręta III:

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = 842,36\frac{N}{m}$$

Rachunek niepewności złożonej

Niepewności wyznaczyłem ze wzoru dla funkcji wielu zmiennych dla pomiarów pośrednich nieskorelowanych, który jest zawarty w skrypcie:

$$u_{c}(y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\text{δy}}{\delta x_{i}}\ \ u(x_{i}) \right\rbrack^{2}}$$

- Wzór na E_obl

$$E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}}\frac{F}{H}$$

- Wzór na E_graf

$$E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}*\frac{H}{F}}$$

Niepewność złożoną można przedstawić wzorem:

$$u_{c}\left( E_{\text{obl}} \right) = = \sqrt{\left( \frac{\partial E}{\partial l}*u\left( l \right) \right)^{2} + \left( \frac{\partial E}{\partial a}*u\left( a \right) \right)^{2} + \left( \frac{\partial E}{\partial h}*u\left( h \right) \right)^{2} + \left( \frac{\partial E}{\partial\frac{F}{H}}*u\left( \frac{F}{H} \right) \right)^{2}}$$

$$u_{c}\left( E_{\text{graf}} \right) = = \sqrt{\left( \frac{\partial E}{\partial l}*u\left( l \right) \right)^{2} + \left( \frac{\partial E}{\partial a}*u\left( a \right) \right)^{2} + \left( \frac{\partial E}{\partial h}*u\left( h \right) \right)^{2}}$$

- Pochodne cząstkowe $E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}}\frac{F}{H}$:

$$\frac{\partial E}{\partial l} = \frac{{3l}^{2}}{4ah^{3}}\frac{F}{H}$$

$$\frac{\partial E}{\partial a} = \frac{- l^{3}}{4a^{2}h^{3}}\frac{F}{H}$$

$$\frac{\partial E}{\partial h} = \frac{- 3l^{3}}{4ah^{4}}\frac{F}{H}$$

$$\frac{\partial E}{\partial\frac{F}{H}} = \frac{l^{3}}{4ah^{3}}$$

- Pochodne cząstkowe $E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}\frac{H}{F}}$ :

$$\frac{\partial E}{\partial l} = \frac{{3l}^{2}}{4ah^{3}\frac{H}{F}}$$

$$\frac{\partial E}{\partial a} = \frac{- l^{3}}{4a^{2}h^{3}\frac{H}{F}}$$

$$\frac{\partial E}{\partial h} = \frac{- 3l^{3}}{4ah^{4}\frac{H}{F}}$$

$$u_{c}\left( E_{\text{obl}} \right) = \ \ \sqrt{\left( \frac{{3l}^{2}}{4ah^{3}}\frac{F}{H}*u\left( l \right) \right)^{2} + \left( \frac{- l^{3}}{4a^{2}h^{3}}\frac{F}{H}*u\left( a \right) \right)^{2} + \left( \frac{- 3l^{3}}{4ah^{4}}\frac{F}{H}*u\left( h \right) \right)^{2} + \left( \frac{l^{3}}{4ah^{3}}*u\left( \frac{F}{H} \right) \right)^{2}}$$

u_c(E_{obl I}) = 147, 4 * 10⁷

u_c(E_{obl II}) = 345, 8 * 10⁷

u_c(E_{obl III}) = 466, 1 * 10⁷

$$u_{c}\left( E_{\text{graf}} \right) = \sqrt{\left( \frac{{3l}^{2}}{4ah^{3}\frac{H}{F}}*u\left( l \right) \right)^{2} + \left( \frac{- l^{3}}{4a^{2}h^{3}\frac{H}{F}}*u\left( a \right) \right)^{2} + \left( \frac{- 3l^{3}}{4ah^{4}\frac{H}{F}}*u\left( h \right) \right)^{2}}$$

u_c(E_{graf I}) = 215, 9 * 10⁷

u_c(E_{graf II}) = 341, 1 * 10⁷

u_c(E_{graf III}) = 380, 6 * 10⁷

1. Wnioski

Zestawienie wyników końcowych

Nr pręta	1	2	3
Moduł Younga wyliczony- Eobl [N/m^2]	7170(147)*10^7	11761(346)*10^7	20560(466)*10^7
Moduł Younga wyznaczony z wykresu- Egraf[N/m^2]	6913(215)*10^7	11591(341)*10^7	20290(380)*10^7

Na podstawie tablic określam rodzaj materiału z którego zostały wykonane pręty:

Nr pręta	Rodzaj materiału	Wartości tablicowe
1	Duraluminium	E= 6800-7350 *10^7[N/m^2]
2	Miedź	E= 7800-12700 *10^7[N/m^2]
3	Stal	E= 18140-2300 *10^7[N/m^2]

Uwagi:

Porównanie wyliczonych wartości modułu Younga z wartościami tablicowymi wykazały ,że pręt nr I został wykonany z duraluminium, pręt nr II z miedzi, a pręt nr III ze stali. Wyniki obliczone mieszczą się w granicach wartości podanych w tablicach a więc uważam, że zadanie zostało wykonane poprawnie.