0. Kolejność wykonywania Zadania

- Określ ciało i więzy

- Siły czynne działające na ciało (Tarcie jest siłą bierną!)

- Siły bierne jako reakcje na działające siły

- Wzór na warunek równowagi układu

- Narysuj układ współrzędnych i odniesienia

- Zapisz układ równowagi w układzie odniesienia

- Narysuj i napisz równania dla każdej osi współrzędnych osobno

- Rozwiąż równiania

1. Statyka

Ogólne wzory, pojęcia i założenia

Warunek równowagi

$$\sum_{}^{}\overrightarrow{Sil} = \overrightarrow{0}$$

$$\sum_{}^{}\overrightarrow{momentow} + \sum_{}^{}{(\overrightarrow{sily} \times \overrightarrow{odleglosc\ od\ wiezow})} = \overrightarrow{0}$$

$$\overrightarrow{0} = {0\overrightarrow{e}}_{1} + {0\overrightarrow{e}}_{2} + {0\overrightarrow{e}}_{3}$$

Przyspieszenie ziemskie g ≈ 9, 81

Ciężar właściwy:

$\overrightarrow{_{}^{B}\gamma} = \overrightarrow{e_{n}}\left( os \right) \bullet g\left( \text{przysp.ziemskie} \right) \bullet_{}^{B}\rho(gestosc$)

Ciężar G definuje się: <G,M> w pkt. B:

$$\overrightarrow{G}\ = \int_{\text{Bϵ}\Omega}^{}{_{}^{B}\rho}\text{gdV}\left( B \right)\overrightarrow{e}$$

$$\overrightarrow{M} = \int_{\text{Bϵ}\Omega}^{}{\overrightarrow{\text{AB}} \times_{}^{B}\overrightarrow{\gamma}dV(B)}$$

Metoda indiańska obliczania wektorów:

Np:

$$\overrightarrow{e_{1}} \times \overrightarrow{e_{2}} = \overrightarrow{e_{3}}$$

$$\overrightarrow{e_{2}} \times \overrightarrow{e_{1}} = \overrightarrow{{- e}_{3}}$$

Siły można przedstawiać jako położenie:

$\overrightarrow{F} = {\overrightarrow{e}}_{n}F_{n}$ (jednowymiarowe)

$\overrightarrow{F}\ = ({\overrightarrow{e}}_{i}sin\ \alpha + {\overrightarrow{e}}_{j}cos\ \alpha)F$ (dwuwymiarowe)

$\overrightarrow{F} = F\frac{\overrightarrow{\text{AB}}}{\left| \text{AB} \right|}$ (trójwymiarowe)

Wyrażamy je w [N]

Obliczanie długości wektora:

$$\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2}}$$

Dla $\overrightarrow{a} = (a_{1},a_{2},a_{3})$

NIE ISTNIEJĄ WEKTORY UJEMNE, MINUS OZNACZA PRZECIWNY ZWROT WEKTORA

Gdzie i, n, j są dowolnymi numerami osi współrzędnych

_{numer osi wspolrzednych}^{punkt zaczepienia}<Sila, Moment obrotu>_{sensor i skladowa}^potega

Mówimy: Siła/moment numer ... do potęgi ... na osi ... jest zaczepiona/y w punkcie ...

Moment siły w punkcie B od siły F w punkcie A to iloczyn wektorowy

$\overrightarrow{\text{BA}} \times \overrightarrow{_{}^{A}F} = \overrightarrow{_{}^{B}M}$

Wyrażamy je w[ J]

Więzy są tam, gdzie styka się ciało z podłożem.

Ciałem nazywamy cały obiekt, który badamy.

Otoczenie ciała powoduje obciążenie czynne, niezależne od ciała.

Na brzegu ciała pojawiają się więzy ograniczające jego ruch. Więzy są w danej części brzegu ciała i powodują obciążenia bierne (tzw. nieistniejące np. tarcie).

Odległość miejsc w ciele między wybranymi punktami A i B wynosi d(A,B) lub $\overrightarrow{\text{AB}}$.

Jeśli w każdym miejscu ciała d(A,B) jest stały to ciało jest sztywne tzw. Warunek sztywności.

Ciało może poruszać się ruchem postępowym (translacja) i obrotowym (rotacja). Obciążenie musi być tak sformuowane, aby powodowało translację ciała (za pomocą siły) i rotację ciała (za pomocą momentu)

Przenoszenie z puntu A (gdzie brak momentu) do punktu B odległych od siebie o $\overrightarrow{h}$

<F,0> w pkt. A = <F,M> w pkt. B

$$h = \frac{M}{F}$$

Środek Ciężkości C to miejsce geometryczne punktu zaczepienia siły ciężkości jako wypadkowej, bezmomentowej

Tarcia są nierównościami, efekt jego wprowadzenia daje wynik rozmyty, w przedziałach

4 rodzaje definicji obciążeń:

- Ogólne obciążenie 0 to obciążenie zaczepione w jakimś punkcie o sile i momencie równym 0

<0,0>

- Para to obciążenie, w którym siła jest zerowa

<0,M> M - moment siły

- Wypadkową w miejscu jest, gdy mamy dowolne obciążenie takie, że przy <F,M> w pkt. C, ich iloczyn skalarny równy jest $\overrightarrow{F} \circ \overrightarrow{M} = \overrightarrow{0}$, czyli moment i siła są do siebie prostopadłe

- Skrętnik to obciążenie, które mówi, że w jakimś miejscu jest siła równoległa do momentu

<F || M>, czyli $\overrightarrow{F} \times \overrightarrow{M} = \overrightarrow{0}$.

1.1 Zagadnienia Statycznie niewyznaczalne

Myślimy co by było, gdyby nie było, bo tak musi być

J. Jankowski

1.1.1 Metoda kinematyczna

Analizujemy kawałem w pobliżu więzów:

Jeśli $\overrightarrow{_{}^{A}v_{n}}$ ≠ 0 to $\overrightarrow{_{}^{A}R_{n}}$ = 0 (np. oparcie o ścianę itp.)

Jeśli $\overrightarrow{_{}^{A}\omega_{n}}$≠ 0 to $\overrightarrow{_{}^{A}M_{n}}$ = 0 (np. przegub obrotowy itp.)

Sprawdzamy, czy w danym miejscu po odcięciu reszty ciała nasz kawałek się rusza/obraca i dostosowujemy go do warunków.

1.1.2 Metoda wielu ciał

Dzielimy dane ciało na dwa ciała np. zespół kulek na pojedyńcze kulki, z których każdą rozpatrujemy osobno

1.1.3 Metoda źródeł

Niewiadome danego równiania = wiadome liczby (źródła)

Zawsze dążymy, aby po lewej stronie były niewiadome, a po prawej liczby (tzw. Źródła)

Gdy źródło wynosi 0 np: z + k = 0 to wtedy zarówno:

z = 0 i k = 0

mówimy wtedy, że nie ma źródła.

1.1.4 Metoda Redukcji reakcji

Redukujemy liczbę miejsc, gdzie są reakcje. Zamiast paru więzów (np. kilka zawiasów w drzwiach) możemy zastosować jeden więz (np. kilka zawiasów potraktować jako 1 miejsce i tam umieścić jedną siłę R i moment M)

1.1.5 Tarcie

Więzy idealne są bez tarcia. Tarcie jest sposobem zapisania wektorów.

W przypadku reakcji R i momentu M w danym punkcie:

<R,U>

$$\overrightarrow{\text{R\ }} = \ \overrightarrow{T}\ + \overrightarrow{\text{N\ }} = \ (T_{1},T_{2},T)$$

$$\overrightarrow{M}\ = \ \overrightarrow{V}\ + \ \overrightarrow{W} = (V_{1},V_{2},W)$$

N – siła normalna o kierunku wektora normalnego n (jest on prostopadły do powierzchni na której jest umieszczone ciało)

T – tarcie ślizgowe (czy się ślizga) : $\overrightarrow{T} \leq \mu \bullet \overrightarrow{N}$

V – tarcie toczne (czy się toczy): $\overrightarrow{V}\ \leq f \bullet \overrightarrow{N}$

W – tarcie wirowe (czy wiruje): $\overrightarrow{W} \leq \vartheta \bullet \overrightarrow{N}$

1.2 Obciążenia rozłożone (nie znaczy, że ciągłe!)

siła H i moment W

q0

b

h

(siły R, F i momenty U, M)

S – najmniejszy prostokąt stanowiący zmienną w całce i pochodnej dla funkcji q(S) na długości h

V – najmniejszy prostokąt stanowiący zmienną w całce i pochodnej dla funkcji q(V) na długości b

W mechanice inżynierskiej całka ma zawsze granicę od położenia punktu początkowego do położenia punktu końcowego (u nas np. A = (0,0) = 0 i B = (0,h) = h)

$$\overrightarrow{_{}^{A}F} = \overrightarrow{e_{3}}\int_{0}^{h}{q\left( S \right)\text{dS}}$$

$$\overrightarrow{_{}^{A}M} = {- e}_{1}\int_{0}^{h}{S^{2}\frac{q_{0}}{h}\text{dS}}$$

$$\overrightarrow{_{}^{B}H} = \ \overrightarrow{0}$$

$$\overrightarrow{_{}^{B}W} = \overrightarrow{- e_{3}}\int_{0}^{b}{q\left( V \right)\text{dV}}$$

2. Kinematyka

2.1 Podstawowe pojęcia

Wyróżniamy:

Siły i momenty: <F,M>

Lokalizacja: <r, φ>(t)

Prędkości: <v (liniowa),ω (kątowa)>(t)

Przyspieszenia: <a,ε>(t)

ω(t) v(t)

r(t)

φ(t)

0

Ruch bezwzględny – zakładamy, że układ nie rusza się, ani nie obraca się. Wszystko dzieje się względem punktu 0

Czas to przedział otwarty, po lewej stronie jest chwila początkowa, po prawej stronie chwila końcowa

t ϵ (0 ,  τ)

Zakładamy, że:

$$\overrightarrow{r}\left( t \right) = (x_{1},x_{2},x_{3})$$

$$\overrightarrow{\varphi}\left( t \right) = (\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})$$

$$\overrightarrow{v} = \frac{d}{\text{dt}}\overrightarrow{r}\left( t \right)\text{\ lub\ oznaczany\ }\dot{r}(t)$$

$$\overrightarrow{\omega} = \frac{d}{\text{dt}}\overrightarrow{\varphi}\left( t \right)\text{\ lub\ oznaczany\ }\dot{\varphi}(t)$$

Równanie kinematyczne ruchu:

x1 = f(t) x2 = g(t) x3 = h(t)	φ1 = α(t) φ2 = β(t) φ3 = γ(t)

Dla t  ∈ (0 ,  τ )

Tor wyznaczamy eliminując czas z kinematycznych równań ruchu przestrzennego do postaci: t = ...

Dla r na miejscu osi e od której odbija kąt mamy cos, zaś na osi w którą stronę kąt zmierza mamy sin. Trzecia oś najczęściej wynosi 0. Wszystko to mnożymy razy długość.

Dla φ oznaczamy jako różne od 0 te osie e, wokół których obraca się przedmiot.

Dla drogi:

s(t)=∫₀^tv(t)dt + s₀

Dla przyspieszenia a:

$$\overrightarrow{a} = \left( \frac{d}{\text{dt}}v\left( t \right)\ ,\ \frac{v^{2}}{\rho}\ ,\ 0 \right) = (a_{s}\ ,\ a_{n}\ ,\ a_{b})$$

Gdzie ρ jest promieniem krzywizny toru (czyli od danego punktu na krzywej w punkcie podanym można wpisać okrąg o promieniu ρ)

Płaszczyzny w naturalnym układzie współrzędnych e_s,  e_n, e_b

e_s i e_n - płaszczyzna ściśle styczna

e_n i e_b - płaszczyzna normalna

e_s i e_b - płaszczyzna prostująca

Rodzaje przyspieszeń:

a_s- ma ten sam kierunek i zwrot co prędkość

a_n- kierunek i zwrot do wnętrza toru, okręgu itp.

a_b- jest prostopadły do dwóch pozostałych (zwykle równy 0)

Luk  =  promien  •  kat

Gdzie kąt jest z plusem, gdy porusza się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Droga s zmienia się w czasie

2.2 Plany prędkości i przyspieszeń

Każdy ruch obserwujemy w układzie odniesienia, gdzie jest ruch bezwzględny i dotyczy sztywnego ciała. Cechą ruchu jest lokalność (określamy pkt. A.

Skalar to iloczyn skalarny o sensie fizycznym np. temperatura.

Wzór kinematyczny przekształcenia prędkości i przyspieszenia w danych punktach:

$$_{}^{A}v =_{}^{B}v +_{}^{B}\omega \times \overrightarrow{\text{BA}}$$

$$_{}^{A}a =_{}^{B}a +_{}^{B}\varepsilon \times \overrightarrow{\text{BA}} +_{}^{B}\omega \times (_{}^{B}\omega \times \overrightarrow{\text{BA}})$$

Czasem wygodniej zastosować wzór w celu ułatwienia:

$$_{}^{A}\omega \times \left(_{}^{A}\omega \times \overrightarrow{\text{AB}} \right) = \overrightarrow{\text{BA}}(_{}^{A}\omega \circ_{}^{A}\omega)$$

Lub

$$_{}^{A}\omega \times \left(_{}^{A}\omega \times \overrightarrow{\text{AB}} \right) = \overrightarrow{\text{BA}} \times {_{}^{A}\omega}^{2}$$

Jeśli musimy to odwracamy pochodną w punkcie środka masy:

$$_{}^{C}\omega(t) = \int_{o}^{t}{_{}^{C}\varepsilon\left( t \right)du +_{}^{C}\omega(0)}$$

2.3 Zastosowanie planów do teorii mechanizmów

Mechanizm składa się z członów. Człon, który przyjmujemy za nieruchomy nazywamy bazą.

i = 0, 1, 2, ... , k

stosujemy te same wzory co dla równania kinematycznego ruchu

Każdy punkt stykający się z nieruchomą bazą, gdy brak poślizgu i tarcia to prędkość tego punktu wynosi 0

Gdy dwa punkty są sobie równe $(_{i}^{b}v =_{i}^{c}v)$ to prędkość kątowa ω w całym członie wynosi 0

Sztywność ciała narzuca zwroty i długości prędkości tak dobrane, żeby ich rzuty na prostą łączącą punkty AB były jednakowymi wektorami

Np. miotła oparta o ścianę

K1 Vy

Vx φ

K2

Stąd rzuty K1 i K2 mogą z trygonometrii służyć do obleczenia predkości poruszania się wzdłuż ściany

2.4 Ruch względny

Ruch względny jest to ruch względem czegoś, co jest nieruchome

Ruch unoszenia [u] – ruch bezwzględny obserwatora

Ruch względny [w] – różnica ruchów bezwzględnych ciała i ruchów obserwatora

$$\overrightarrow{_{}^{A}v} = \overrightarrow{_{u}^{A}v} + \overrightarrow{_{w}^{A}v}$$

$$\overrightarrow{_{}^{A}\omega} = \overrightarrow{_{u}^{A}\omega} + \overrightarrow{_{w}^{A}\omega}$$

$$\overrightarrow{_{}^{A}a} = \overrightarrow{_{u}^{A}a} + \overrightarrow{_{w}^{A}a} + \overrightarrow{_{C}^{A}a}$$

$$\overrightarrow{_{u}^{A}a} = \overrightarrow{_{u}^{B}a} + \overrightarrow{_{u}^{B}\varepsilon} \times \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{_{u}^{B}\omega} \times (_{u}^{B}\omega \times \overrightarrow{\text{BA}})$$

Jeżeli prędkość jest stała i prostoliniowa to przyspieszenie unoszenia $\overrightarrow{_{u}^{B}a}$ wynosi 0

Mamy też do czynienia z przyspieszeniami Coriolisa:

$$\overrightarrow{_{C}^{A}a} = 2(\overrightarrow{_{u}^{A}\omega} \times \overrightarrow{_{w}^{A}\omega})$$

$$\overrightarrow{_{C}^{A}\varepsilon} = \overrightarrow{_{u}^{A}\omega} \times \overrightarrow{_{w}^{A}\omega}$$

3. Bilans Energii i Pracy dla punktu materialnego

Funkcja musi zawsze mieć swoją postać opisującą ruch i swój przedział.

Dla pędu:

$$\frac{d\overrightarrow{p}(t)}{\text{dt}} = \sum_{}^{}\overrightarrow{sil}$$

p(0) = p_pocz.

Dla krętu, ponieważ punkt materialny się nie obraca:

$$\frac{d\overrightarrow{K(t)}}{\text{dt}} = 0$$

Stąd jego bilans energii wychodzi:

E(t) = E(0) + L(0, t)

E – energia

L – praca w przedziale czasu (0,t)

$$L(0,t) = \int_{0}^{t}\overrightarrow{_{g}^{C}W} \circ \overrightarrow{_{}^{c}v}\text{dt}$$

_g^CW – suma wszystkich wektorów względem środka masy

$$E(t) = \frac{mv^{2}(t)}{2}$$

Pamiętaj, że przypadek dowolnego $\overrightarrow{k} \circ \overrightarrow{\text{dk}}\ = \ kdk$

Siła oporu z

$$\overrightarrow{z} = \lambda \bullet \overrightarrow{- v}$$

Zaś gdy mamy do czynienia z tarciem, obrotem lub wirowaniem:

T – tarcie ślizgowe (czy się ślizga) : $\overrightarrow{T} = \mu \bullet \overrightarrow{N}$

V – tarcie toczne (czy się toczy): $\overrightarrow{V}\ = f \bullet \overrightarrow{N}$

W – tarcie wirowe (czy wiruje): $\overrightarrow{W} = \vartheta \bullet \overrightarrow{N}$

W przypadku Ziemii i wystrzelonego punktu z powierzchni Ziemii do wysokości h:

$$P = \frac{\text{kMm}}{r^{2}}\ \frac{\overrightarrow{- r}}{r}$$

$$G = \frac{\text{kMm}}{b^{2}}$$

r(0) = b           r(τ) = b + h

Gdzie

b – promień Ziemii

r – odległość punktu od środka ziemii

4. Dynamika

Dynamika dotyczy praw fizyki, której istotnymi pojęciami są pęd i moment pędu (inaczej kręt)

Chwila początkowa to warunki początkowe

Chwila aktualna to rozwiązywanie zadania

Chwila końcowa to rozwiązanie zadania

Także:

dV(B)=dx₁dx₂dx₃

Ciało jednorodne jest dla warunku dowolnie dobranego A i B:

$$_{}^{B}\rho =_{}^{A}\rho$$

4.1 Dynamika punktu materialnego

Punkt jest to ciało sztywne o określonych rozmiarach, które nie wykonuje żadnych obrotów w czasie, czyli ma ω = 0.

Zachodzi tu równość dla pędu:

$$\frac{d\overrightarrow{p}(t)}{\text{dt}}\ = \sum_{}^{}{sil\ dzialajacych\ na\ punkt} = m \bullet \overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{p(0)} = C_{1}$$

Zaś kręt wynosi 0.

Jednak w sytuacji podbramkowej oblicza się prędkość na odcinku okręgu z zależności:

l

α

s

l • α = s

$$l \bullet \dot{\alpha} = \dot{s} = v$$

Mając do czynienia z środkiem masy w pkt. C:

$$\overrightarrow{_{}^{C}a} \bullet m = \sum_{}^{}{sil}$$

$$\overrightarrow{_{}^{C}a} = \overrightarrow{_{}^{B}a}$$

Gdy mamy tylko promień r(t):

$$m \bullet \frac{d^{2}}{dt^{2}}\overrightarrow{r(t)} = \sum_{}^{}{sil}$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\overrightarrow{r(0)} = \overrightarrow{b}$$

$$\overrightarrow{r(0)} = \overrightarrow{c}$$

4.2 Dynamika bryły sztywnej

^Aρ_m −  gestosc masy w danym miejscu A

Impet jest to $_{}^{A}{< \overrightarrow{p}\ \ ,\ \overrightarrow{K} >}$ i mu odpowiada $_{}^{A}{< \overrightarrow{F}\ \ ,\ \overrightarrow{M} >}$

$$_{}^{0}\overrightarrow{p} = \int_{\Omega}^{}{_{}^{B}\rho \bullet \overrightarrow{_{}^{B}v}} \bullet dV(B)$$

$$_{}^{0}\overrightarrow{K} = \int_{\Omega}^{}{_{}^{B}\rho \bullet \overrightarrow{_{}^{B}v}} \bullet dV(B) \times \overrightarrow{\text{OB}}$$

Stąd zasadą pędu i krętu jest:

$$\frac{d}{\text{dt}}\overrightarrow{p(t)} = \sum_{}^{}{dzialajacych\ sil};\ \ \ \ \ \ \ p(0) = m \bullet \overrightarrow{v_{0}}$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\overrightarrow{K(t)} = \sum_{}^{}{dzialajacych\ momentow\ sil};\ \ \ K(0) = \tilde{I} \bullet \overrightarrow{\omega_{0}}$$

Gdzie

$\overrightarrow{v_{0}}$- prędkość liniowa początkowa

$\overrightarrow{\omega_{0}}$- prędkość kątowa początkowa

Podstawową zasadą mechaniki jest rozpatrywanie tylko jednego z podanych ciał sztywnych. Gdy jedno ciało jest brane od uwagę to pozostałe są jego otoczeniem, które może działać na niego z pewnymi, znanymi siłami.

Punkt A jest w obszarze kinematycznym, gdy:

$$_{}^{A}v =_{}^{B}v +_{}^{B}\omega \times \overrightarrow{\text{BA}}$$

Wiedząc, że masa wynosi:

m = ∫_Ω^Bρ • dV(B)

Moment statyczny – gdy ciało ma inną gęstość porusza się inaczej pod wpływem tych samych sił. Mamy momenty masy rzędów: 0 (masa); 1 (moment statyczny) i 2 (moment bezwładności). Moment statyczny jest momentem masy.

$$\overrightarrow{_{}^{A}S} = \int_{\Omega}^{}{\overrightarrow{\text{AB}}_{}^{B}\rho \bullet dV\left( B \right)}$$

Stąd dla pędu mamy:

$$_{}^{A}\overrightarrow{p} = \overrightarrow{_{}^{A}v} \bullet m + \overrightarrow{_{}^{A}\omega} \times \overrightarrow{_{}^{A}S}$$

Zaś dla krętu:

$$_{}^{A}\overrightarrow{K} = \overrightarrow{_{}^{A}v} \times \overrightarrow{_{}^{A}S} + \tilde{_{}^{A}I} \circ \overrightarrow{_{}^{A}\omega}$$

Gdzie $\overset{\check{}}{_{}^{A}I}$ jest momentem bezwładności (macierzą).

Należy pamiętać, że wektor zapisać możemy także jako macierz:

$$\omega = \begin{bmatrix} \omega_{1} \\ \omega_{2} \\ \omega_{3} \\ \end{bmatrix}$$

Gdy mamy do czynienia ze znanym środkiem masy C

$$\overrightarrow{_{}^{A}S} = \overrightarrow{\text{AC}} \bullet m$$

$$\overrightarrow{_{}^{A}p} = \overrightarrow{_{}^{C}v} \bullet m$$

$$\overrightarrow{_{}^{A}K} = \tilde{_{}^{A}I} \circ \overrightarrow{_{}^{A}\omega}$$

Do obliczeń za punkt A obieraj:

- środek masy C, który wyznaczany jest z $\overrightarrow{S}$

$$\overrightarrow{_{}^{c}p} = m \bullet \overrightarrow{_{}^{c}v}$$

$$\overrightarrow{_{}^{c}K} = \tilde{_{}^{C}I} \bullet \overrightarrow{_{}^{c}\omega}$$

- miejsce, gdzie prędkość liniowa $\overrightarrow{_{}^{A}v}$ wynosi 0

$$\overrightarrow{_{}^{A}p} = m \bullet \overrightarrow{_{}^{A}v}$$

$$\overrightarrow{_{}^{A}K} = \tilde{_{}^{A}I} \bullet \overrightarrow{_{}^{A}\omega}$$

Pojawia się tutaj czasem tarcie a z nim:

μ_s – współczynnik statyczny

μ_k – współczynnik kinematyczny wynoszący 0,8μ_s

Zapisując macierz jako:

$$\tilde{_{}^{A}I} =_{}^{A}\begin{bmatrix} I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33} \\ \end{bmatrix}$$

Wychodzimy na wzór:

$$I_{\text{ij}} = - \int_{\Omega}^{}{_{}^{B}\rho}\left( \left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|^{2}\delta_{\text{ij}} - x_{i}x_{j} \right)dV(B)$$

$$\text{dla\ }\delta_{\text{ij}}\left\{ \begin{matrix} 0\ gdy\ i \neq j \\ 1\ gdy\ i = j \\ \end{matrix} \right.\ $$

Jeżeli istnieje płaszczyzna symetrii ciała w punkcie A to tam są 2 składowe momentu z lewego dolnego rogu macierzy równe 0

$$\text{dla\ }I_{\text{ij}}\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} gdy\ i = j\ to\ mowimy,\ ze\ moment\ \\ \ \ \ \ \ \ \ bezwladnosci\ wzgledem\ osi\ i \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} gdy\ i \neq j\ to\ mowimy,\ ze\ moment\ dewiacyjny\ \\ \ \ \ \ \ \ wzgledem\ dwoch\ plaszczyzn \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Gdy symetria jest do np. osi e_k (ciało ma 1 płaszczyznę symetrii) to

I_k2 = I_2k = I_k3 = I_3k = 0

Twierdzenie o obrocie:

$$\tilde{_{f}^{A}I} = \tilde{Q^{T}} \circ \tilde{_{e}^{A}I} \circ \tilde{Q}$$

Twierdzenie Steinera:

$$\tilde{_{e}^{C}I_{\text{ij}}} = \tilde{_{e}^{A}I_{\text{ij}}} - m\left( \left| \text{AC} \right|^{2}\delta_{\text{ij}} - y_{i}y_{j} \right)$$

$$\text{dla\ }\overrightarrow{\text{AC}} = (y_{1},y_{2},y_{3}) = \frac{\overrightarrow{_{}^{A}S}}{m}$$

Moment statyczny w punkcie środka masy wynosi 0

Ciekawostka zasłyszana u dr hab. J. Jankowskiego:

Jest równanie, które zawiera 5 najciekawszych liczb. Dodatkowo ono jest prawdziwe!

e^iπ + 1 = 0

Anegdotki z wykładów :)

- Matematyka jest lepsza niż kurwa, bo daje za darmo

- Dzieci chodzą do szkoły, żeby nie biegały po ulicy i wpadały pod samochody