ROZDZIAŁ VI

Drgania i fale

Oscylator harmoniczny (klasyczny, jednowymiarowy)

Jednym z 2 przykładów pola sił centralnych jest pole siły sprężystej.

Definicja I:

Siła sprężysta zdefiniowana równaniem:

f =   − kx, gdzie:

k – stała zwana stałą siłową

x – wychylenie z położenia równowagi

Definicja II:

Jeżeli na dowolne ciało (punkt materialny) działa siła sprężysta (elastyczna lub harmoniczna) to ciało takie nosi nazwę oscylatora harmonicznego a ruch wykonywany przez to ciało nazywa się ruchem harmonicznym lub drgającym prostym.

$\overrightarrow{\text{F\ }} = f\ \frac{\overrightarrow{\text{ϰ\ }}}{}$

$F = \left| \overrightarrow{\text{F\ }} \right| = \ f$

Ω – jest podzbiorem przestrzeni E³ →  Ω  ∈  E³

$\overrightarrow{\text{F\ }}\left( \Omega \right)$ - pole sił sprężystych.

Oscylator harmoniczny, reakcja na rozciąganie sprężyny.

Problem:

W jaki sposób możemy opisać ruch oscylatora harmonicznego. Chodzi tutaj o napisanie równania ruchu i rozwiązania tego równania.

F =   − kx;    F = ma

ma =   − kx   → II zasada dynamiki Newtona

Chcemy z tego wyznaczyć x = f(t)?

$$a = \ \frac{d^{2}x}{dt^{2}};\ \ \ \ x = f\left( t \right) = \ b\ \left( t \right);\ \ \ \ \ \frac{d}{\text{dt}} = " \circledast "$$

$$\text{m\ }\frac{d^{2}f\left( t \right)}{dt^{2}} = \ - k\ x\left( t \right)$$

$$\frac{d^{2}x\left( t \right)}{dt^{2}} = \ - \ \frac{k}{m}\text{\ \ x}\left( t \right)$$

$$\frac{k}{m} = \ \omega^{2}\ \ \ \ (stala)$$

Dlaczego stosunek dwóch stałych oznacza się jako stałą?

$\frac{d^{2}x\left( t \right)}{dt^{2}} = \ - \ \omega^{2}\text{\ x}\left( t \right)\ \ \ \ \ \rightarrow x(t)$ - operatorowa postać równania ruchu oscylatora harmonicznego.

Rozwiązaniem tego równania różniczkowego może być napisane w jednej z następujących postaci:

1. x = x(t) =  A₁sin(ωt+ φ₁)

2. x = x(t) =  A₂cos(ωt+ φ₂)

3. x = x(t) =  C₁sinωt +  C₂ cosωt

4. x = x(t)= ℛe[ A e^iφ • e^iωt] 

$$\omega^{2} = \ \frac{k}{m};\ \ \ \ \ \ \ \omega = \ \sqrt{\frac{k}{m}}\ ;\ $$

x = x(t) =  Asin(ωt+ φ)

$$x \ \frac{\text{dx}}{\text{dt}} = \ \frac{d}{\text{dt}}\ \left\lbrack \text{\ A}\sin\left( \omega t + \ \varphi \right) \right\rbrack = \left\lbrack A\cos\left( \omega t + \ \varphi \right) \right\rbrack\omega = \ \omega Acos\left( \omega t + \ \varphi \right)$$

$$v = \ \frac{\text{dr}}{\text{dt}} = \ \omega\ A\ cos(\omega + \ \varphi)$$

$$a = \ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = \ \frac{d}{\text{dt}}\ \left( \frac{\text{dx}}{\text{dt}} \right) = \ \frac{d}{\text{dt}}\ \lbrack\omega\ A\cos{(\omega t + \ \varphi)\rbrack = \ - \lbrack\omega\ A\ sin(\omega t + \ \varphi)\rbrack}$$

ω =   −  ω² Asin(ωt+φ) =   − ω²  x(t)

Wniosek: Widzimy więc, że funkcja:

x = x(t) = f(t) = Asin(ωt+φ) = T

jest rozwiązaniem równania ruchu oscylatora harmonicznego (T).

Interpretacja stałych A, φ, ω, T.

1. Problem I:

Zbadamy własności funkcji: x(t) =  Asin(ωt+φ)

Definicja I:

Okresem dowolnej funkcji x(t) = f(t) nazywamy liczbę T spełniającą równość definicyjną:

$$\begin{matrix} \bigwedge \\ t \\ \end{matrix}\text{\ x}\left( t + T \right) = \ x(t)$$

Jeśli zachodzi ta równość, funkcję T nazywamy okresem.

Twierdzenie I:

Okresem funkcji x(t) będącej rozwiązaniem równania ruchu oscylatora harmonicznego jest liczba:

$$T = \ \frac{2\ \pi}{\omega}$$

Dowód:

x(t) =  Asin(ωt+ φ)

$$x\left( t + T \right) = \ A\sin\left\lbrack \omega\left( t + T \right) + \ \varphi \right\rbrack = A\sin\left\lbrack \omega t + \ \omega T + \ \varphi \right\rbrack = A\sin{\left\lbrack \omega t + \ \frac{2\pi\omega}{\omega} + \varphi \right\rbrack = A\sin\left\lbrack \omega t + \ \varphi + 2\pi \right\rbrack = A\sin{\left\lbrack \omega t + \ \varphi \right\rbrack = x(t)}}$$

Wykorzystaliśmy równość definicyjną pokazując, że: $x\left( t + T \right) = x\left( t \right)\ \ przy\ \ T = \ \frac{2\pi}{\omega}$.

Wnioski:

1. Ruch oscylatora harmonicznego jest więc ruchem okresowym o okresie $T = \ \frac{2\pi}{\omega}$.

2. Ponieważ $\omega^{2} = \ \frac{k}{m}\ $, to $T = \ \frac{2\pi}{\omega} = \ \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} = 2\pi\ \sqrt{\frac{m}{k}}$

3. Aby więc wyznaczyć okres drgań dowolnego oscylatora harmonicznego wystarczy znać stałą k lub stałą ω i podstawić do wzoru z pkt. 2.

1. Interpretacja stałej A.

x = x(t) =  Asin(ωt+ φ)

Ale: sin(ωt+ φ) ∈ [−1, +1]

x  ∈ A [−1, +1]         x  ∈ [−A, +A]

A =  x_max   bo   x = x_max = A

A – maksymalne wychylenie z położenia równowagi; maksymalne wychylenie x_max oscylatora harmonicznego z położenia równowagi oznaczamy A i nazywamy amplitudą ruchu oscylatora harmonicznego.

1. Interpretacja stałej ω

$$\frac{F = \ - kx}{F = ma}\ \ = > \ \ F = F$$

ma =   − kx

$$a = \ - \ \frac{k}{m}x\ = \ - \omega^{2}x\ \ \ \ \ bo:\ \ \omega^{2} = \ \frac{k}{m}$$

Ale: $T = \ \frac{2\pi}{\omega} = > \ \omega = \ \frac{2\pi}{T}\ = 2\pi\ \bullet \ T^{- 1} = 2\pi\ \gamma = 2\pi\ f$

γ =  f =  T⁻¹

$$\omega = \ \left\{ \begin{matrix} czestosc \\ czestotliwosc \\ \end{matrix}\ \left( katowa \right)\text{puliacja} \right.\ $$

T – okres drgań, czas potrzebny na to aby wykonać jedno pełne drganie tzn. zmienna położenia musi się zmienić; ten czas, w którym to się stanie, nosi nazwę … z – xmax do t – xmax.

1. Interpretacja wyrażenia (ωt +  φ) czyli argumentów funkcji sinus.

x(t) =  Asin(ωt+ φ)

$\left( \omega t + \ \varphi \right) = \left( \frac{2\pi}{T}\ t + \ \varphi \right)$ – (kąt zmieniający się w czasie), faza drgania harmonicznego ≡ FAZA.

Uwaga:

Faza drgania harmonicznego jest funkcją czasu w ruchu harmonicznym, tzn. faza zmienia się w czasie.

(ωt+ φ) faza; niech t = 0 = >(ωt+ φ) =  φ

φ – faza początkowa drgania harmonicznego.

Wniosek:

Faza początkowa φ to faza jaką miał oscylator harmoniczny w momencie, kiedy zaczęliśmy liczyć czas, czyli jest to faza w chwili t=0.

Energia w ruchu harmonicznym.

E_C =  E_K +  E_P

$$\left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) = \left| \overrightarrow{\text{F\ }} \right| = \ - kx \\ x = x\left( t \right) = A\sin\left( \omega t + \ \varphi \right) \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$E_{K} = \ \frac{1}{2}\text{\ m\ }v^{2};\ \ \ v = \ \frac{\text{dx}}{\text{dt}} = \ \omega\ A\cos\left( \omega t + \ \varphi \right) = T$$

$$E_{K} = \ \frac{1}{2}\text{\ m\ }{\lbrack\omega\ A\cos{(\omega t + \ \varphi)\rbrack}}^{2} = \ \frac{1}{2}\ m\ \lbrack\omega^{2}\ A^{2}\ \cos^{2}\ \left( \omega t + \ \varphi \right)\rbrack$$

$$\omega^{2} = \ \frac{k}{m}$$

$$E_{K} = \ \frac{1}{2}\text{\ m\ }\frac{k}{m}\ A^{2}\ \cos^{2}\left( \omega t + \ \varphi \right) = \ \frac{1}{2}\text{\ k}A^{2}\ \cos^{2}\ \left( \omega t + \ \varphi \right)$$

$$E_{P} = K = \ - \ \int_{}^{}{f\left( x \right)dx = \ - \ \int_{}^{}{\left( - kx \right)dx = k\int_{}^{}{xdx = \ \frac{1}{2}\text{\ k}x^{2} + \ c}}}$$

Wyliczmy energię potencjalną w taki sposób, że dla x=0 en. potencjalna: Ep(0) = 0 => c=0

Uwaga:

W ten sposób cechowania energii potencjalnej oscylatora harmonicznego informuje nas o tym, że energię potencjalną cechujemy względem środka (centrum) siły sprężystej.

$$E_{P} = \ \frac{1}{2}\text{\ k}x^{2} = \ \frac{1}{2}\text{\ k\ }{\lbrack A\sin{(\omega t + \ \varphi)\rbrack}}^{2} = \ \frac{1}{2}\text{\ k}A^{2}\ \sin^{2}\left( \omega t + \ \varphi \right) = \ //ale:\ k\ = \omega^{2}m//\ = \ \frac{1}{2}\text{\ m\ }\omega^{2}\ A^{2}\ \sin^{2}\ (\omega t + \ \varphi)$$

$$E_{\text{C\ }} = \ E_{K} + \ E_{P} = \ \frac{1}{2}\text{\ k\ }A^{2}\ \cos^{2}\ \left( \omega t + \ \varphi \right) + \ \frac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}\left( \omega t + \varphi \right) = \ \frac{1}{2}\text{\ k}A^{2}\ \left\lbrack \ \cos^{2}\left( \omega t + \varphi \right) + \ \sin^{2}\left( \omega t + \ \varphi \right) \right\rbrack = \ \frac{1}{2}\text{\ k}A^{2}$$

$$E_{C} = \ \frac{1}{2}\text{\ m\ }\omega^{2}\ A^{2}$$

Wniosek:

Energia całkowita oscylatora harmonicznego jest wprost proporcjonalna do kwadratu tego ruchu. Widać więc od razu, że jeżeli amplituda strojeń oscylatora harmonicznego zmienia się w sposób ciągły to energia całkowita tego oscylatora też zmienia się w sposób ciągły. Jest to najważniejsza cecha oscylatora harmonicznego (dokładniej – klasycznego oscylatora harmonicznego).

Związek pomiędzy ruchem harmonicznym a ruchem po okręgu.

1. ruch po okręgu

v = const; v − predkosc liniowa

ω₁ = const;   − predkosc katowa

r = |OA^′| −  promien okregu

$$sin\varphi = \ \frac{y}{r} = > y = rsin\varphi$$

$$cos\varphi = \ \frac{x}{r}\ = > x = r\text{cosφ}$$

$$\omega_{1} = \ \frac{\text{dφ}}{\text{dt}}$$

x = rcosφ = rcosω₁t = Acos ωt  < = > A = r   ω₁ =  ω

Wnioski:

1. jeżeli punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu r ze stałą prędkością kątową ω to rzut tego punktu na dowolną prostą porusza się ruchem harmoniczną.

2. prędkość kątowa punktu m poruszającego się po okręgu w tym wypadku równa stałej ω występującej w równaniu ruchu oscylatora harmonicznego.

3. oba te wnioski leżą u podstaw metody zobrazowania ruchu harmonicznego przy pomocy tzw. wirującego wektora amplitudy względem tego modelu; ruch harmoniczny opisany stałymi k, ω, A, x, F=-kx, φ, modelowany jest następująco:

$$\left| \overrightarrow{\text{A\ }} \right| = \ A = r$$

F =   − kx < = > (A,  φ)

Równanie fali płaskiej. FALE.

Definicja I:

Fala jest to zaburzenie rozchodzące się w ośrodku ( w przestrzeni) i przenosząca energię.

Wniosek I:

Podstawową cechą wszystkich fal jest to, że:

- przenoszą one energię

- nie przenoszą masy.

Uwaga:

Transport masy może mieć miejsce jako zjawisko uboczne.

Definicja II:

Fale sprężyste są to fale powstające w ośrodkach sprężystych i polegają one na propagacji deformacji ośrodka.

Jeżeli w dowolnym miejscu ośrodka sprężystego pobudzimy cząstki do drgań, to w wyniku oddziaływania między cząstkami drgania te będą przekazywane sąsiednim cząstkom – drgania te będą rozchodzić się (propagować) w ośrodku.

U(x=0,t) =  A sin(ωt)

1. $U\left( x,t \right) = \ Asin\ \omega\ \left( t - T \right);\ \ T = \ \frac{x}{v}\ $

2. $U\left( x,t \right) = \ A\sin{\text{ω\ }\left( t - \ \frac{x}{v} \right)}$ – fala propaguje w kierunku prawym, x rosnących

$U\left( x,t \right) = \ A\sin{\text{ω\ }\left( t + \ \frac{x}{v} \right)}$ – fala propaguje w kierunku lewym, x malejących

Dygresja I:

Fala poprzeczna – drgania cząstek są ⊥ do kierunku propagacji fali; większość fal to fale poprzeczne.

Fala podłużna – kierunek drgań cząstek i kierunek propagacji fali pokrywa się.

Czoło fali – miejsce geometryczne punktów do których dochodzi zaburzenie w chwili t.

Powierzchnia falowa – m.g.p. drgających w zgodnej fazie mających tę samą fazę.

Równanie fali sprężystej – jest to wyrażenie opisujące większość zależności wychylenia z położenia równowagi cząstek ośrodka od współrzędnych i czasu.

$$\xi = \ \xi\ \left( \overrightarrow{\text{r\ }},\ t \right) = \ U\left( \overrightarrow{\text{r\ }},t \right)$$

Funkcja $U\left( \overrightarrow{\text{r\ }},\ t \right)\ $musi być okresowa w przestrzeni i czasie:

- okresowość czasowa (T)

- okresowość przestrzenna (λ)

Definicja III:

Fala płaska – jest to fala, której powierzchnie falową tworzą układ równoległych płaszczyzn.

Albo:

Amplituda fali nie zmienia się z odległością od źródła. !!!

W tej sytuacji:

$$U\left( \overrightarrow{\text{r\ }},t \right) = > U(x,t)$$

λ – odległość pomiędzy dwoma punktami, których fazy różnią się o 2π.

Definicja IV:

Długością fali sinusoidalnej nazywamy odległość między punktami ośrodka drgającymi z różnicą faz równą 2π. !!!

Komentarz:

$$U\left( x_{1},t \right) = \ A\sin\left( \omega t - \ \omega\frac{x_{1}}{v_{1}} \right) = \ U_{1}$$

$$U\left( x_{2},\ t \right) = \ A\sin{\left( \omega t - \ \omega\frac{x_{2}}{v_{2}} \right) = U_{2}}$$

Faza w punkcie 1 $\left( \omega t - \ \omega\frac{x_{1}}{v_{1}} \right) = \ \Psi_{1}$

Faza w punkcie 2 $\left( \omega t - \ \omega\frac{x_{2}}{v_{2}} \right) = \ \Psi_{2}$

Definicja:

d(x₁, x₂) =  λ  < = >  Ψ = 2π !!! ∗

Ψ =  Ψ₁ −  Ψ₂ = 2π ∗∗

$$\Psi = \left( \omega t - \ \omega\frac{x_{1}}{v} \right) - \ \left( \omega t - \ \omega\ \frac{x_{2}}{v} \right)$$

$$\Psi = \left( \omega t - \ \omega\frac{x_{1}}{v} - \ \omega t + \ \omega\frac{x_{2}}{v} \right)$$

$$\Psi = \ \frac{\omega}{v}\ \left( x_{2} - \ x_{1} \right)$$

Gdy Ψ = 2π  to d(x₁, x₂) = (x₂, x₁) =  λ

$$\frac{\omega}{v}\ \bullet \left( x_{2} - \ x_{1} \right) = \ \frac{\omega}{v}\ \bullet \ \lambda = 2\pi$$

$\lambda = \ \frac{2\pi}{\omega}\ \bullet v$ ale: 2π T

→      λ = v  •  T ∗∗∗

Uwaga:

1. Równanie ∗ jest równaniem definicyjnym długości fali

2. Równanie ∗∗∗ wynika z tego równania, jest jego bezpośrednią konsekwencją.

Podsumowanie:

Różne postaci równania fali:

1. U(x,t) =  Asinω(t − T)

$$ale:\ \ \ T = \ \frac{x}{v}$$

1. $U\left( x,t \right) = \ Asin\omega\left( t - \ \frac{x}{v} \right)$

$ale:\ \ v \bullet T = \ \lambda\ \ \ \rightarrow \ \ \ v = \frac{\lambda}{T}$

1. $U\left( x,t \right) = \ Asin\omega\left( t - x\frac{T}{\lambda} \right)$

$$ale:\ \ \ T = \ \frac{2\pi}{\omega}\ \ \rightarrow \ \ \omega = \ \frac{2\pi}{T}$$

1. $U\left( x,t \right) = \ A\ sin\left( \omega t - \ \omega x \bullet \ \frac{T}{\lambda} \right)$

czyli:

1. $U\left( x,t \right) = \ A\sin\left( \omega t - x\ \frac{2\pi}{T}\ \frac{T}{\lambda} \right)$

czyli:

1. $U\left( x,t \right) = \ Asin\ \left( \omega t - x\ \frac{2\pi}{\lambda} \right)$

$$ale:\ \ \ \frac{2\pi}{\lambda} k\ (liczba\ falowa)$$

1. U(x,t) =  Asin(ωt−kx)

ale :     kx = qx  (kat fazowy)

1. U(x,t) =  Asin(ωt − qx)

Uwagi:

1. Do równania fali musi wyjść współrzędna przestrzenna x.

2. Fala opisywana jest przez funkcję dwóch zmiennych U=U(x,t)

3. Funkcja U(x,t) musi być funkcją okresową w czasie i przestrzeni.

4. Często zamiast funkcji U(x,t) charakteryzującej wychylenie cząstki z położenia równowagi posługujemy się wielkością Ψ (x,t) stanowiącą miarę zaburzenia. Unikamy w ten sposób konieczności precyzowania charakteru zaburzenia. Mówiąc inaczej interesuje nas co faluje. Funkcję Ψ (x,t) nazywamy po prostu funkcją falową.

5. Faza fali jest to wartość argumentu pod funkcją sinus Ψ =  (ωt  kx).

1. Będziemy mówili, że fazy w tych punktach są zgodne.

2. Często mówi się, że fazy w takich punktach są równe. Jest to niezgodne z przyjętą przez nas funkcję definicję

1. W różnych podr. we wzorze na funkcję falową U(x,t) jest inna kolejność zmiennych (kx – ωt) zamiast (ωt – kx).

1. Jeżeli używamy f. cos nie ma to znaczenia.

2. Jeżeli używa się f. sin lub e^iα trzeba jednak uważać na znaki.

1. Nazwa równania fali dla związków 1-8 nie jest najlepsza, bo związki te nie są równaniami, ale wyrażeniami na funkcję 2 zmiennych.

Równania falowe:

Definicja I:

Równania fali (1-8) są rozwiązaniem równania różniczkowego zwanego równaniem falowym lub równaniem Helmholtza lub d’Alamberta lub klasycznym równaniem falowym. Równanie to znajdziemy na podstawie znajomości wyrażeń na falę płaską.

Problem:

Jakie równanie różniczkowe musi spełniać równość opisująca propagację fali płaskiej w jednorodnym ośrodku.

Niech: U(x,t) =  A sin(ωt − kx)

Znajdując I i II pochodne po czasie t i współrzędnej x.

$$\frac{\text{dU}}{\text{dx}} = \ \frac{d}{\text{dx}}\ \left\lbrack \text{Asin}\left( \omega t - kx \right) \right\rbrack = \ - kAcos(\omega t - kx)$$

$$\frac{d^{2}U}{dx^{2}} = \ - \ k^{2}\text{\ Asin}\left( \omega t - kx \right)\ \ \ *$$

$$\frac{\text{dU}}{\text{dt}} = \ \omega\ A\cos\left( \omega t - kx \right)$$

$$\frac{d^{2}U}{dt^{2}} = \ - \ \omega^{2}\text{\ A}\sin\left( \omega t - kx \right)\ \ \ **$$

Porównujemy drugie pochodne:

$$A\sin\left( \omega t - kx \right) = \ - \ \frac{1}{k^{2}}\text{\ \ }\frac{d^{2}U}{dx^{2}}$$

$$\text{Asin}\left( \omega t - kx \right) = \ - \frac{1}{\omega^{2}}\ \frac{d^{2}U}{dt^{2}}$$

$$\frac{1}{\omega^{2}}\ \frac{d^{2}U}{dt^{2}} = \ \frac{1}{k^{2}}\ \frac{d^{2}U}{dx^{2}}$$

$$\frac{d^{2}U}{dx^{2}} = \ \frac{k^{2}}{\omega^{2}}\text{\ \ }\frac{d^{2}U}{dt^{2}}$$

Ale:

$$\frac{k^{2}}{\omega^{2}} = {(\frac{2\pi/\lambda}{2\pi/T})}^{2} = \left( \frac{2\pi}{\lambda}\ \frac{T}{2\pi} \right)^{2} = \left( \frac{T}{\lambda} \right)^{2} = \left( \frac{T}{\text{v\ T}} \right)^{2} = \ \frac{1}{v^{2}}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ g\ \lambda = v\ T\ $$

Ostatecznie mamy:

$$\frac{d^{2}U(x,t)}{dx^{2}} = \ \frac{1}{v^{2}}\text{\ \ }\frac{d^{2}U(x,t)}{dt^{2}}\ \ **$$

U(x,t) =  Asin(ωt−kx)  *

Definicja II:

Równanie ** nosi nazwę jednowymiarowego równania falowego lub jednowymiarowego równania d’Alamberta.

Rozwiązanie można uogólnić na przypadek trójwymiarowy.

Twierdzenie I:

Zasada superpozycji stwierdza, że każda z fal rozchodzi się tak jakby nie było pozostałych fal. Superpozycja – nakładanie się.

1. Oznacza to, że po przecięciu się promieni fali z innym promieniem, każda z fal rozchodzi się dalej tak, jakby pozostałe nie istniały.

2. Dlatego możemy przyjąć, że zaburzenie wypadać będzie w każdym punkcie przestrzeni sumą zaburzeń jakie do tego punktu dotarły.

3. Równanie falowe:

▫U = 0

$$\frac{d^{2}U}{dx^{2}} + \ \frac{d^{2}U}{dy^{2}} + \ \frac{d^{2}U}{dz^{2}} = \ \frac{1}{v^{2}}\ \frac{d^{2}U}{dt^{2}}$$

Interpretacja dwóch fal.

Zasada superpozycji.

Załóżmy, że w danym obszarze przestrzeni rozchodzi się jednocześnie kilka zaburzeń falowych. Zasada superpozycji stwierdza, że:

Każda z fal rozchodzi się tak, jakby nie było pozostałych fal.

Zajmijmy się sytuacją, w której możemy do wystąpienia z superpozycją dwóch fal harmonicznych rozchodzących się w jakimś ośrodku sprężystym z dwóch różnych źródeł z₁,  z₂.

U₁ =  A₁sinωt

U₂ =  A₂sinωt

Założenia:

1. Jednakowe okresy interferujących fal (ω₁ =  ω₂ =  ω)

2. Jednakowe długości fal (λ₁ = λ₂ = λ), (k₁ = k₂ = k).

3. Jednakowe prędkości superpozycji (v₁ = v₂ = v).

4. Jednakowe fazy początkowe.

5. Różne drogi przebyte.

Fale stojące.

Wniosek:

Odbicie fali od środka o większej bezwładności przesuwa fazę o II wyliczenia wychylenia na przeciwne.

Równanie $A^{'} = \ 2\ A\cos{\text{π\ }\left( \frac{x_{2}}{x} + \ \frac{\alpha}{2} \right)}$ - przybliżona postać:

$$A^{'} = \ \ 2\ A\cos{2\pi\ \left( \frac{x_{2}}{\lambda} + \frac{1}{4} \right)\ \ \ *}$$

1. Poszukamy punktów dla których amplituda A’=0, tzn. w których nie ma żadnych wychyleń. Punkty te nazywamy węzłami fali stojącej. W tym celu w równaniu * podstawiamy A’=0.

$$\cos{2\pi\ (\frac{x_{2}}{\lambda}}\ + \ \frac{1}{4}) = 0\ \ = > \ \ 2\pi\ \left( \frac{x_{1}}{\lambda} + \frac{1}{4} \right) = \left( 2n + 1 \right)\frac{\pi}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ n = 0,1,2,\ldots$$

Upraszczamy otrzymane wyrażenie:

$$2\left( \frac{x_{2}}{\lambda} + \ \frac{1}{4} \right) = (2n + 1)\frac{1}{2}$$

$$\frac{2x_{2}}{x} + \frac{1}{2} = n + \frac{1}{2}$$

$$\frac{2\ x_{2}}{x} = n$$

$$x_{2} = n\ \frac{x}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n = 0,1,2,\ldots$$

Wynika stąd, że co $\frac{x}{2}$ występuje węzeł, jak wskazuje poniższa tabela:

n	0	1	2	3	4
x2	0	$$\frac{x}{2}$$	$$2\frac{x}{2}$$	$$3\frac{x}{2}$$	$$4\frac{x}{2}$$

1. Poszukujemy teraz punktów na odcinku x₀, dla których A^′ = max.

Punkty te nazywamy strzałkami. Żeby je obliczyć (znaleźć) szukamy miejsc, w których amplituda A’ osiąga maksimum.

$$A^{'} = \ 2A\ cos2\pi\ \left( \frac{x_{2}}{x} + \ \frac{1}{4} \right)$$

Wynika, że będzie to dla takich wartości x₂, dla których:

$$cos2\pi\ \left( \frac{x_{2}}{2} + \ \frac{1}{4} \right) = \ \pm 1$$

stąd: $2\pi\ \left( \frac{x_{2}}{\lambda} + \ \frac{1}{4} \right) = n\ \bullet \ T$

$$2\ \frac{x_{2}}{x} = n\ \frac{1}{2}$$

$$x_{2}\ \ \frac{x}{4}\ \left( 2n - 1 \right)\ \ \ \ \ \ \ n = 1,2,3,\ldots$$

n	1	2	3	4
x2	$$\frac{\lambda}{2}$$	$$3\ \frac{\lambda}{2}$$	$$5\ \frac{\lambda}{2}$$	$$7\frac{\lambda}{2}$$

Z powyższej tabeli wynika, że strzałki przypadają po środku między węzłami.

Rozwiązanie węzłów i strzałek fali stojącej:

Rozpatrywaliśmy układ obustronnie zamknięty. Typowym przykładem jest pręt obustronnie zamocowany. Rysunek pokazuje rozkład amplitud dla trzech pierwszych harmonicznych.

Rozkład amplitud fali stojącej dla trzech pierwszych harmonicznych dla układu obustronnie zamkniętego.

Wartość „n” nazywamy rzędem fali harmonicznej a częstości odpowiadające różnym wartościom „n” nazywamy częstościami harmonicznymi lub częstościami rezonansowymi lub cz. własnymi.

Podsumowanie:

Warunkiem powstania w układzie fali stojącej jest, aby w długości układu mieściła się całkowita wielokrotność połowy długości fali.

x_L −  x₀ = 1

$$L = u\ \frac{x}{2}\ \ \ \ czyli\ \ \ \ \lambda = \ \frac{2\ l}{4}$$

Oznacza to, że suma o długości L to fala stojąca może być utworzona przez fale o długości równej jednej następujących wartości:

$$\lambda = \ \frac{2\ l}{n}$$

Wartości rezonansowe odpowiadające tym długościom fali (zgodnie z λ x = v) wynoszą:

$$\gamma = f = \frac{v}{\lambda} = n\ \frac{v}{2l}$$

γ – prędkość fali stojącej w strunie.

1. gdy n=1 $\gamma_{1} = \ \frac{v}{2l}$ - pierwsze drganie własne.

2. druga harmoniczna to drgań przy n=2

3. trzecia harmoniczna to drgań przy n=3.

4. zbiór wszystkich możliwych drgań własnych.

(γ₁, γ₂, γ₃) nazywamy szeregiem harmonicznym.