Funkcja kwadratowa (zakres rozszerzony)

Zad 1 (3p) Tabela przedstawia wartości funkcji kwadratowej dla kilku argumentów.

x	-2	0	1	2
f(x)	16	2	-2	-4

1. Wyznacz wzór funkcji f

2. Rozwiąż nierówność f(x)+2>0

Zad 2 (5p) Narysuj wykres funkcji $f\left( x \right) = \left( x - 2 \right)*\ \sqrt{x^{2} - 6x + 9}$. Wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m

Zad 3 (4p) Funkcje f i q dane są wzorami: $f\left( x \right) = x - m + 1,\ \ q\left( x \right) = \frac{m - 2}{x}$. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wykresy funkcji f i q nie mają punktów wspólnych.

Zad 4 (6p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej a liczbę pierwiastków równania 2ax² − 2x − 1 = 0.

1. Określ funkcję f wzorem

2. Narysuj wykres funkcji f

3. Podaj miejsce zerowe funkcji f.

Zad 5 (6p) Wyznacz równanie prostej l stycznej do wykresu funkcji y = x² + 2 poprowadzonej w punkcie o odciętej równej 2.

Zad 6 (6p) Funkcja f dana jest wzorem $f\left( x \right) = \frac{x^{4} - 9x^{2} + 20}{\sqrt{\left| x \right| - 2}*\sqrt{4 - |x - 1|}}$. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.

Zad 7 (4p) Uzasadnij, że funkcja $f\left( x \right) = - \sqrt{3}x^{2} - 5x - \sqrt{2} + 1$ ma dwa ujemne miejsca zerowe.

Zad 8 (6p) Funkcja f dana jest wzorem f(x) = −x² + 4. Jedna ze stycznych do wykresu funkcji f jest nachylona do osi OX pod kątem, którego cosinus jest równy $- \frac{\sqrt{3}}{2}$. Wyznacz równanie tej stycznej.

Zad 9 (4p) Wzór funkcji f ma postać f(x) = x² + bx + 3. Wiedząc, że wartość bezwzględna różnicy miejsc zerowych tej funkcji jest równa 2, wyznacz wartości współczynnika b.

Zad 10 (4p) Funkcja kwadratowa ma dwa różne miejsca zerowe. Każda z prostych o równaniu y = 2(m−1)x − m², gdzie m ∈ R, jest styczna do wykresu tej funkcji. Wyznacz zbiór wartości funkcji f.

Zad 11 (4p) Wykaż, że jeśli dwie liczby, z których jedna jest odwrotnością drugiej, są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f(x) = x² + bx + c, to punkt P(0,1) należy do wykresu funkcji f.

Zad 12 (4p) Wykaż, że jeśli a ≠ 0  ∧ b ≠ 0, to co najmniej jedno z równań $ax^{2} + ax + b = 0,\ bx^{2} + bx - \frac{1}{2}a = 0$ posiada rozwiązanie.

Zad 13 (6p) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiór tych wszystkich punktów o współrzędnych (b,c), dla których różne pierwiastki x₁, x₂ równania x² − bx − 2c = 0 spełniają warunek (x₁ + x₂)³ < x₁³ + x₂³ = 6

Zad 14 (3p) Liczby x_1,x₂ są takimi rozwiązaniami równania x² + bx + c = 0 (b² − 4c > 0), że x₁x₂ = 3 i (x₁ − x₂)² = 4. Oblicz b i c.

Zad 15 (5p) Dla jakich wartości parametru m każdy z dwóch różnych pierwiastków równania x² + mx + 4 = 0 jest mniejszy od 4.

Zad 16 (4p) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których dziedziną funkcji $f\left( x \right) = \frac{x}{mx^{2} - 4x + m}$ jest zbiór licz rzeczywistych.

Zad 17 (4p) Dana jest funkcja f(x) − (m³−8)x² + (m²−4)x + 1

1. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f osiąga wartość najmniejszą

2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których osią symetrii wykresu jest oś OY

Zad 18 (6p) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f(x) = (m−1)x² + 2mx − m ma dokładnie 2 miejsca zerowe jednakowych znaków.

Zad 19 (4p) Na podstawie wykresu odpowiedniej funkcji podaj liczbę rozwiązań równania |x²−6x| = m w zależności od parametru m.

Zad 20 (4p) Dana jest funkcja f(x) = (|m|−5)x² + (m−4)x + 1

1. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f jest liniowa

2. Wyznacz te wartości parametru m dla których do wykresu należy punkt A(1.1)

Zad 21(5p) Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których funkcja f(x)mx² + 2mx − 3 przyjmuje tylko wartości ujemne

Zad 22 (5p) Wiedząc, że x, y są liczbami naturalnymi, wyznacz wszystkie pary (x,y), które spełniają równanie (x+x²)(y−1) = 10

Zad 23 (6p) Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań $\left\{ \begin{matrix} y = x^{2} - 4 \\ y = 4x - 7 \\ \end{matrix} \right.\ $.

Zad 24 (6p) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie $mx^{2} - \left( m + 4 \right)x + \frac{1}{4}m + \frac{1}{4} = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że iloraz ich sumy przez iloczyn jest liczbą mniejszą od 2.

Zad 25 (5p) Dane jest równanie x² − (m−2)x + m + 1 = 0. Narysuj wykres funkcji f(m) = x₁² + x₂², gdzie x₁ i x₂ są różnymi pierwiastkami danego równania.

Zad 26 (4p) W tabeli pokazano przebieg zmienności trójmianu kwadratowego: y = ax² + bx + c.

x	( − ∞,   − 3)	−3	( − x,  ∞)
f(x)	−∞↗5	5	5 ↘ ∞

1. Jaki jest znak wyróżnika?

2. Podaj największą wartość funkcji

3. Wyznacz równanie prostej, która jest osią symetrii wykresu

4. Wiedząc, że x = −7 jest miejscem zerowym znajdź drugie miejsce zerowe trójmianu kwadratowego.

Zad 27 (4p) Wykresy funkcji kwadratowych f(x) − x² + bx − a oraz g(x) = x² − ax + b, gdzie a ≠ b przecinają się w punkcie leżącym na osi OX. Wiedząc, że osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta x + 1 = 0 oblicz a i b.

Zad 28 (5p) Dla jakich wartości parametru r ∈ R nierówność $\frac{4x^{2} + \ \left( m + 2 \right)x + 7}{x^{2} + x + 1} > 3$jest prawdziwa dla każdego x ∈ R

Zad 29 (6p) Wykaż, że funkcja f(x) = −x² + 4x jest rosnąca w zbiorze ( − ∞, 2)

Zad 30 (4p) Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = mx² + (|m|−3)x − 1 jest parzysta i osiąga wartość największą?

Zad 32 (5p) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = (x − |x|)² − 2|x| i podaj jej miejsca zerowe.

Zad 33 (6p) Wykaż, że nie istnieje taka wartość parametru m, dla której funkcja określona wzorem f(x) = (4−3m−m²)x² − (m−2)x + 3 jest funkcją malejącą.

Zad 34 (7p) Dla jakich wartości parametru k wykresy funkcji f(x) = 2x² + k + 5 i y = 4x + 3k + 2 mają dokładnie jeden punkt wspólny. Wykaż, że ten jedyny punkt wspólny wykresów należy do okręgu o środku $S(1,\frac{1}{2})$ i promieniu r = 7.

Zad 35 (7p) Naszkicuj wykres funkcji, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania (m²−1)x² + (2−2m)x + 1 = 0.

Zad 36 (5p) Liczby x₁, x₂ są różnymi pierwiastkami trójmianu y = mx² − (2m+4)x − 4. Naszkicuj wykres funkcji $f\left( m \right) = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ i podaj jej zbiór wartości.

Zad 37 (5p) Funkcja f(x) = (m−1)x² − (2m+4)x − 7 jest rosnąca w zbiorze ( − ∞, 4) i malejąca w zbiorze (4, ∞). Wyznacz parametr m.

Zad 38 (4p) Wyznacz współczynniki funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + 5 wiedząc, że f(x+2) − f(x+1) = 5x − 4

Zad 39 (7p) Dziedzinę funkcji $f\left( x \right) = \sqrt{\left( x^{2} - 2bx + 9 \right)(b - x)}$ jest zbiór ( − ∞,  2> Wyznacz parametr b.

Zad 40 (3p) Rozwiązaniem nierówności −4x² − bx + c ≥ 0 jest zbiór < − 5, 1>. Wyznacz b i c.

Zad 41 (8p) Dla jakich x wartości funkcji $f\left( x \right) = \left| \frac{x^{2} - 6x + 7}{x^{2} - 1} \right|$ są nie większe od 1².

Zad 42 (8p) Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ $\left\{ \begin{matrix} y = x^{2} - 4\left| x \right| - 5 \\ y = x - 5 \\ \end{matrix} \right.\ $.

Zad 43 (5p) Dla jakich wartości parametru m prosta y = −x + m i hiperbola $y = \frac{1 + 2x}{x}$ mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Zad 44 (7p) Liczby x₁, x₂ są różnymi pierwiastkami trójmianu y = mx² = 2mx + 4. Naszkicuj wykres funkcji f(m) = x₁x₂ i podaj jej zbiór wartości.

Zad 45 (6p) Dana jest funkcja f(x) = min(3, x² − 5x + 7) gdzie min(a, b) oznacza nie większa z liczb a, b.

1. Oblicz wartość funkcji f dla argumentów 0, 2, 4.

2. Wyznacz zbiór wartości funkcji f.

3. Dla x ∈ < − 2, 5> naszkicuj wykres funkcji f.

Zad 46 (6p) Punkty A(−2,6) B(8, 16) należą do wykresu funkcji f(x) = ax² + bx + c. Funkcja f ma dwa miejsca zerowe, a wierzchołek paraboli należy do prostej y = −2x + 2. Znajdź wzór tej funkcji.

Zad 47 (6p) Funkcja f określona jest wzorem $f\left( x \right) = \left( 3m - 5 \right)x^{2} - \left( 2m - 1 \right)x + \frac{1}{4}(3m - 5)$. Wyznacz te wartości parametru m ∈ R, dla których najmniejsza wartość funkcji m jest liczbą dodatnią.

Zad 48 (5p) Rozwiąż równanie |x²−4x| = 6 − |x|.

Zad 49 (6p) Dla jakich wartości parametru m równanie |x²−9| + |x²−16| = m ma dokładnie dwa różne pierwiastki?

Zad 50 (6p) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c równanie x² + (a+b)x + ab − c² = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie. Kiedo to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Zad 51( 5p) Nie obliczając pierwiastków równania x² − 5x − 3 = 0 oblicz sumę odwrotności czwartych potęg jego pierwiastków.

Zad 52 (6p) Dla jakich wartości parametru a równanie 2ax² − (a+2)x + 1 = 0 ma dwa pierwiastki, których suma jest liczbą z przedziału < − 1, 1>

Zad 53 (6p) Punkt (p,q) należy do zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy równanie x² − 2px + q = 0 ma dwa różne rozwiązania x₁, x₂ takie że x₁² + x₂² = 2. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór A.

Zad 54 (6p) Dla jakich wartości parametru m równanie mx² − (m−3)x + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek |x₁| + |x₂| < 1

Zad 55 (6p) Dla jakich wartości parametru p równanie x² + (2−3p)x + 2p² − 5p − 3 = 0 ma dwa dodatnie pierwiastki?

Zad 56 (6p) Dane są funkcje f(x) = 2x² + x − m i q(x) = mx² − 2mx + 3. Dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji f i q przecinają się w dwóch punktach, których odcięte maja różne znaki?

Zad 57 (6p) Dla jakich wartości parametru a prosta y = ax + b przechodzi przez punkt P(3.0) i przecina parabolę y = −x² + x + 2 w dwóch punktach o dodatnich odciętych.

Zad 58 (6p) Wyznacz te wartości parametru m, dla których nierówność m² + 5m − 6)x² − 2(m−1)x + 3 > 0 jest prawdziwa dla każdego x ∈ R.

Zad 59 (6p) Wyznacz te wartości parametru p, dla których nierówność (p−2)x² + (p−2)x + p − 1 < 0 nie ma rozwiązań.

Zad 60 (6p) Znajdź tę wartość parametru m, dla której iloczyn pierwiastków równania x² − 2mx + m² − 4m + 1 = 0 jest najmniejszy?

Zad 61 (6p) Wyznacz dopełnienie zbioru A rozwiązań nierówności $\left| \frac{2x^{2}}{x^{2} - 5x + 4} \right| > 2$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Odpowiedzi

1. 1. y = x² − 5x + 2

   2. x ∈ ( − ∞, 1 >   ∪   < 4, ∞)

2. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 5x + 6\ dla\ x \geq 3 \\ - x^{2} + 5x - 6\ dla\ x < 3 \\ \end{matrix} \right.\ \ \begin{matrix} Jedno\ rozwiazanie\ dla\ m \in \left( - \infty,0 \right) \cup \left( \frac{1}{4},\infty \right) \\ Dwa\ rozwiazania\ dla\ m \in \left\{ 0,\frac{1}{4} \right\} \\ Trzy\ rozwiazania\ dla\ m \in \left( 0,\frac{1}{4} \right) \\ \end{matrix}$

3. $D_{g} = R - \left\{ 0 \right\},\ m \in ( - 1 - 2\sqrt{2}, - 1 + 2\sqrt{2})$

4. 1. $f\left( a \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ dla\ a \in \left( - \infty, - \frac{1}{2} \right) \\ 1\ dla\ a \in \left\{ - \frac{1}{2},0 \right\} \\ 2\ dla\ a \in \left( - \frac{1}{2},\infty \right) - \{ 0\} \\ \end{matrix} \right.\ $

   3. $x \in \left( - \infty, - \frac{1}{2} \right)$

5. y = 4x − 2

6. $x_{1} = 2,\ \ x_{2} = - \sqrt{5}$

8. $y = \frac{- \sqrt{3}}{3}x + 4\frac{1}{12}$

9. b = 4 lub b = −4

10. Z_w = < − 1, ∞)

13. $c > - \frac{1}{8}b^{2} \land cb > 1$

14. $\left\{ \begin{matrix} b = - 4 \\ c = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \vee \left\{ \begin{matrix} b = 4 \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ $

15. m ∈ (−5,−4) ∪ (4, ∞)

16. m ∈ (−∞,−2) ∪ (2,∞)

17. 1. m ∈ (2, ∞)

    2. m = 2 ∨ m = −2

17. $m \in \left( \frac{1}{2},1 \right)$

18. Równanie nie ma rozwiązania dla m ∈ ( − ∞, 0), ma dwa rozwiązania dla m ∈ (9,∞) ∪ {0}, ma trzy rozwiązania dla m = 9, ma cztery rozwiązania dla m ∈ (0, 9)

19. 1. m = 5 ∨ m = −5

    2. m = 4, 5

20. m ∈ ( − 3, 0>

21. $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 6 \\ \end{matrix} \right.\ $

22. $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \vee \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 5 \\ \end{matrix} \right.\ $

23. $m \in \left( - \frac{16}{7},1 \right)$

24. f(m) = m² − 6m + 2 dla m ∈ (−∞,0) ∪ (8, ∞)

25.  

    1. >0

    2. y_max(−3) = 5

    3. x = −3

    4. x₂ = 1

26. a = 3 ∧ b = 2

27. m ∈ (−3,5)

30. m = −3

31. $a = \frac{16}{3}$, $b = \frac{16}{3}$, $c = \frac{4}{3}$

32. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} - 2x\ dla\ x \in < 0,\infty) \\ 4x^{2} + 2x\ dla\ x \in ( - \infty,0) \\ \end{matrix} \right.\ $ $x_{1} = - \frac{1}{2},\ x_{2} = 0$

34. $k = \frac{1}{2}$, $P\left( 1,\frac{15}{7} \right)$

35. $f\left( m \right) = \left\{ \begin{matrix} 2\ dla\ m \in \left( - \infty,1 \right) - \{ - 1\} \\ 1\ dla\ m = - 1 \\ 0\ dla\ m \in (1,\infty) \\ \end{matrix} \right.\ $

36. $f\left( m \right) = - \frac{1}{2}m - 1,\ m \in \left( - \infty,\ - 4 - 2\sqrt{3} \right) \cup \left( - 4 + 2\sqrt{3},0 \right) \cup (0,\infty)$ $Z_{w} = \left( - \infty, - 1 \right) \cup ( - 1,1 - \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} + 1,\infty)$

37. m = 2

38. $a = 2\frac{1}{2},\ b = - 11\frac{1}{2}$

39. $\left\{ \begin{matrix} < 0 \\ b = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \vee \left\{ \begin{matrix} = 0 \\ x_{w} \leq 2 \\ b = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Longleftrightarrow b = 2$

40. b = 16,  c = 20

41. $x \in \left\langle \left. \ \frac{4}{3},\infty \right) \right.\ $

42. $\left\{ \begin{matrix} x = 5 \\ y = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \vee \left\{ \begin{matrix} x = 5 \\ y = 0 \\ \end{matrix}\ \vee \left\{ \begin{matrix} x = - 3 \\ x = - 8 \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ $

43. m = 0 ∨ m = 4

44. $f\left( m \right) = \frac{4}{m} \land m \in \left( - \infty,0 \right) \cup \left( 4,\infty \right),\ Z_{w} = \left( - \infty,0 \right) \cup (0,1)$

45.  

    1. f(0) = 3,  f(2) = 1,  f(4) = 3

    2. $\left\langle \frac{3}{4},3 \right\rangle$

46. $y = \frac{1}{2}x^{2} - 2x$

47. m ∈ <4, ∞)

48. $x = - 1 \vee x = 2 \vee x = 3 \vee x = \frac{1}{2}(3 + \sqrt{33})$

49. m ∈ (25, ∞)

50. Równanie ma jedno rozwiązanie gdy a = b ∧ c = 0

51. $11\frac{52}{81}$

52. $a \in \left. \ \left( - \infty, - \frac{2}{3} \right.\ \right\rangle \cup (2,\infty)$

53. A = {(p,q),   p ∈ ( − 1, 1)∧q = 2p² − 1}

54. m ∈ (9, ∞)

55. p ∈ (3, ∞)

56. m ∈ ( − 3, 2)

57. $a \in \left( - \infty, - 9 \right) \cup \left( - 1, - \frac{2}{3} \right)$

59. p ∈ ⟨ 2,∞) 

60. m = 2

61. $A^{'} = \left( \left. \ - \infty,\frac{4}{5} \right\rangle \cup \{ 1,4\} \right.\ $