Akademia Górniczo-Hutnicza im. St. Staszica

Projekt nr 1 z przedmiotu:

Automatyka i sterowanie w klimatyzacji

Temat: „Dobór nastaw regulatora PID”

Bartosz Zelek

WiKP III Niestacjonarne

Kraków, 2013

1. Cel projektu i założenia wstępne

Celem projektu jest dobór nastaw regulatora PID.

Założenia wstępne:

• stała:

-gęstość powietrza, (ρ = const.)

- natężenie przepływu, (Q = const.)

- wilgotność powietrza (x = const.),

- temperatura otoczenia,

• idealne, natychmiastowe mieszanie się powietrza w pomieszczeniu,

• temperatura zmienia się jednakowo w każdym punkcie pomieszczenia,

• ściany mają zerową pojemność cieplną.

1. Dane obliczeniowe

n = 2
Wzór
Parametry pomieszczenia
A
B
C
V
F
k
Parametry członów układu
kk
kc
Tk
Tc
Parametry powietrza
Q
x
cp
cps
cpw
p

3. Schemat układu regulacji

4.Wyznaczenie nastaw

1. Regulator typu PID (proporcjonalno – całkujący – różniczkujący):

$$G_{R}\left( s \right) = k_{R}\left( 1 + T_{d}s + \frac{1}{T_{i}s} \right)$$

gdzie:

k_R – współczynnik wzmocnienia regulatora [-],

T_d – czas wyprzedzenia [s],

T_i – czas zdwojenia [s],

s – zmienna zespolona.

$\left. \ \begin{matrix} k_{R2} = 0,6k_{\text{kr}} \\ T_{i} = 0,5T_{\text{kr}} \\ {\text{\ \ \ }T}_{d} = 0,125T_{\text{kr}} \\ \end{matrix}\text{\ \ } \right\}$ współczynniki dobrane metodą Zieglera – Nicholsa

gdzie:

k_kr – wartość krytyczna współczynnika wzmocnienia [-],

T_kr – wartość krytyczna okresu oscylacji [s].

1. Klimatyzator (człon proporcjonalny):

$$G_{K}\left( s \right) = \frac{k_{K}}{T_{K}s + 1}$$

gdzie:

k_K – współczynnik wzmocnienia klimatyzatora [kW/mV],

T_K – stała czasowa klimatyzatora [s].

s – zmienna zespolona.

1. Czujnik:

$$G_{C}\left( s \right) = \frac{k_{C}}{T_{C}s + 1}$$

gdzie:

k_C – współczynnik wzmocnienia czujnika [mV/K],

T_C – stała czasowa czujnika [s],

s – zmienna zespolona.

1. Obiekt:

$$G_{O}\left( s \right) = \frac{k_{O}}{T_{O}s + 1}$$

gdzie:

k_O – współczynnik wzmocnienia obiektu [K/W],

T_O – stała czasowa obiektu [s],

s – zmienna zespolona.

Transmitancja zastępcza:

K  =  k_R1k_Kk_O  =  1, 3157 • 6180 • 0, 0005172 = 4, 205 [K/mV]

$$= \frac{KT_{C}s + K}{T_{K}T_{O}T_{C}s^{3} + \left( T_{K}T_{O} + T_{K}T_{C} + T_{O}T_{C} \right)s^{2} + \left( T_{K} + T_{O} + T_{C} \right)s + 1 + Kk_{C}} =$$

$$= \frac{\frac{K}{T_{K}T_{C}}s + \frac{K}{T_{K}T_{O}T_{C}}}{s^{3} + \frac{{T_{K}T}_{O} + {T_{K}T}_{C} + T_{O}T_{C}}{T_{K}T_{O}T_{C}}s^{2} + \frac{T_{K} + T_{O} + T_{C}}{T_{K}T_{O}T_{C}}s + \frac{1 + Kk_{C}}{T_{K}T_{O}T_{C}}}$$

$$G_{1}\left( s \right) = \frac{\text{es} + f}{s^{3} + bs^{2} + \text{cs} + d} = \frac{\text{es} + f}{\left( s + b \right)(s^{2} + c)}$$

Stała czasowa obiektu:

Współczynnik wzmocnienia obiektu:

Wyznaczenie k_kr

d = bc

k_R1 = k_kr

$$k_{R1}k_{K}k_{O}k_{C} = \frac{{T_{K}T}_{O} + {T_{K}T}_{C} + T_{O}T_{C}}{T_{K}T_{O}T_{C}} \bullet \left( T_{K} + T_{O} + T_{C} \right) - 1\overset{\Rightarrow}{}k_{R1} \bullet 6120 \bullet 0,0005261 \bullet 19,8 =$$

$$= \frac{4,10 \bullet 63,40 + 4,10 \bullet 1,04 + 63,40 \bullet 1,04}{4,10 \bullet 63,40 \bullet 1,04} \bullet \left( 4,10 + 63,40 + 1,04 \right) - 1$$

$$\overset{\Rightarrow}{}k_{R1} = 1,2975\ \lbrack - \rbrack\ $$

$$e = \frac{K}{T_{K}T_{O}} = \frac{4,177}{4,10 \bullet 63,40} = 0,01607\text{\ \ }\left\lbrack \frac{K}{\text{mV}s^{2}} \right\rbrack$$

$$f = \frac{K}{T_{K}T_{O}T_{C}} = \frac{4,177}{4,10 \bullet 643,40 \bullet 1,04} = 0,01545\ \left\lbrack \frac{K}{\text{mV}s^{3}} \right\rbrack$$

$$b = \frac{{T_{K}T}_{O} + {T_{K}T}_{C} + T_{O}T_{C}}{T_{K}T_{O}T_{C}} = \frac{4,10 \bullet 63,40 + 4,10 \bullet 1,04 + 63,40 \bullet 1,04}{4,10 \bullet 63,40 \bullet 1,04} = 1,22121\ \left\lbrack \frac{1}{s}\ \right\rbrack\ $$

$$c = \frac{T_{K} + T_{O} + T_{C}}{T_{K}T_{O}T_{C}} = \frac{4,10 + 63,40 + 1,04}{4,10 \bullet 63,40 \bullet 1,04} = 0,25353\ \left\lbrack \frac{1}{s^{2}} \right\rbrack$$

$$d = \frac{1 + Kk_{C}}{T_{K}T_{O}T_{C}} = \frac{1 + 4,177 \bullet 19,8}{4,10 \bullet 63,40 \bullet 1,04} = 0,30962\ \left\lbrack \frac{1}{s^{3}} \right\rbrack$$

$$G_{1}\left( s \right) = \frac{0,01607s + 0,01545}{s^{3} + 1,22121s^{2} + 0,25353s + 0,30962}$$

$$\omega = 2\pi \bullet \frac{1}{T}\text{\ \ \ }\left\lbrack \ \frac{1}{s} \right\rbrack$$

$$T = \frac{2\pi}{\omega},\ \ \ c = \omega^{2}$$

$$T_{\text{kr}} = \frac{2\pi}{\sqrt{c}}\text{\ \ \ }\lbrack s\rbrack$$

$$T_{\text{kr}} = \frac{2\pi}{\sqrt{0,25353\ }} = 12,47\text{\ \ }\lbrack s\rbrack$$

k_R2 = 0, 6 • 1, 2975 = 0, 7785 [-]

T_i = 0, 5 • 12, 47 = 6, 3355 [s]

T_d = 0, 125 • 12, 47 = 1, 5590 [s]

Pierwiastki równania s³ + 1, 22121s² + 0, 25353s + 0, 30962 obliczone przy pomocy programu Mathcad:

s₁ = - 1,2212

s₂ = 1,8995·10^-6- 0,5035j

s₃ = 1,8995·10^-6 + 0,5035j

s³ + 1, 22121s² + 0, 25353s + 0, 30962=(s + 1, 22121)( s² −  0, 000003799s + 0, 253535)

Rozkład wielomianu:

$$\Theta_{1}\left( s \right) = \frac{A}{s + 1,22121} + \frac{\text{Bs} + C}{s^{2} - \ 0,000003799s + 0,253535}$$

Stałe A, B, C, obliczone przy pomocy programu Mathcad:

A = - 0,00239263

B = 0,00239263

C = 0,0131481

$$\Theta_{1}\left( s \right) = \frac{- \ 0,00239263}{s + 1,22121} + \frac{0,00239263s + 0,0131481}{s^{2} - \ 0,000003799s + 0,253535} =$$

$$- \frac{\ 0,00239263}{s + 1,22121} + \frac{0,00239263\left( s - 0,0000019 \right) + 0,0131481}{\left( s - 0,0000019 \right)^{2} + 0,25353} = - \frac{\ 0,00239263}{s + 1,22121}$$

$$+ \frac{0,00239263\left( s - 0,0000019 \right)}{\left( s - 0,0000019 \right)^{2} + 0,25353} + \frac{0,0131481}{\sqrt{0,25353}} \bullet \frac{\sqrt{0,25353}}{\left( s - 0,0000019 \right)^{2} + 0,25353} =$$

$$- \frac{\ 0,00239263}{s + 1,22121} + \frac{0,00239263\left( s - 0,0000019 \right)}{\left( s - 0,0000019 \right)^{2} + 0,25353} + 0,0261125 \bullet \frac{0,503518}{\left( s - 0,0000019 \right)^{2} + 0,25353}$$

Przekształcenie na postać czasową:

5. Sprawdzenie nastaw.

1. Regulator:

$$G_{R}\left( s \right) = k_{R2}\left( 1 + T_{d}s + \frac{1}{T_{i}s} \right)$$

Transmitancja zastępcza:

$$= \frac{k_{R2}k_{K}k_{O}\left( T_{d}T_{i}s^{2} + T_{i}s + 1 \right)(T_{C}s + 1)}{T_{i}s\left( T_{K}s + 1 \right)\left( T_{O}s + 1 \right)\left( T_{C}s + 1 \right) + k_{R2}k_{K}k_{O}k_{C}(T_{d}T_{i}s^{2} + T_{i}s + 1)} =$$

$$G_{2}\left( s \right) = \frac{\text{ps}^{3} + rs^{2} + \text{us} + w}{s^{4} + \text{bs}^{3} + gs^{2} + \text{hs} + l}$$

$$K^{'} = k_{R2}k_{K}k_{O} = 0,7785 \bullet 6120 \bullet 0,0005261 = 2,50626\ \left\lbrack \frac{K}{\text{mV}} \right\rbrack$$

$$p = \frac{K^{'}T_{d}}{T_{K}T_{O}} = \frac{2,50626 \bullet 1,5590}{4,10 \bullet 63,40} = 0,01503\ \ \left\lbrack \frac{K}{\text{mVs}} \right\rbrack$$

$$r = \frac{K^{'}T_{C} + K^{'}T_{d}}{T_{K}T_{O}T_{C}} = \frac{2,50626 \bullet 1,04 + 2,50626 \bullet 1,5590}{4,10 \bullet 63,40 \bullet 1,04} = 0,02409\ \ \left\lbrack \frac{K}{\text{mV}s^{2}} \right\rbrack$$

$$u = \frac{K^{'}T_{C} + K^{'}T_{i}}{T_{K}T_{O}T_{C}T_{i}} = \frac{2,50626 \bullet 1,04 + 2,50626 \bullet 6,2361}{4,10 \bullet 63,40 \bullet 1,04 \bullet 6,2361} = 0,01082\ \ \left\lbrack \frac{K}{\text{mV}s^{3}} \right\rbrack$$

$$w = \frac{K^{'}}{T_{K}T_{O}T_{C}T_{i}} = \frac{2,50626}{4,10 \bullet 63,40 \bullet 1,04 \bullet 6,2361} = 0,00149\ \ \left\lbrack \frac{K}{\text{mV}s^{4}} \right\rbrack$$

$$b = \frac{T_{K}T_{O} + T_{K}T_{C} + T_{O}T_{C}}{T_{K}T_{O}T_{C}} = \frac{4,10 \bullet 63,40 + 4,10 \bullet 1,04 + 63,40 \bullet 1,04}{4,10 \bullet 63,40 \bullet 1,04} = 1,22121\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

$$g = \frac{T_{K} + T_{O} + T_{C} + K^{'}k_{C}T_{d}}{T_{K}T_{O}T_{C}} = \frac{4,10 + 63,40 + 1,04 + 2,50626 \bullet 19,8 \bullet 1,5590}{4,10 \bullet 63,40 \bullet 1,04} = 0,53969\ \ \left\lbrack \frac{1}{s^{2}} \right\rbrack$$

$$h = \frac{1 + K^{'}k_{C}}{T_{K}T_{O}T_{C}} = \frac{1 + 2,50626 \bullet 19,8}{4,10 \bullet 63,40 \bullet 1,04} = 0,18725\ \left\lbrack \frac{1}{s^{3}} \right\rbrack$$

$$l = \frac{K^{'}k_{C}}{T_{K}T_{O}T_{C}T_{i}} = \frac{2,50626 \bullet 19,8}{4,10 \bullet 63,40 \bullet 1,04 \bullet 6,2361} = 0,02943\ \left\lbrack \frac{1}{s^{4}} \right\rbrack$$

$$G_{2}\left( s \right) = \frac{{0,01503s}^{3} + 0,02409s^{2} + 0,01082s + 0,00149}{s^{4} + {1,22121s}^{3} + 0,53969s^{2} + 0,18725s + 0,02943\ }$$

$$\Theta_{2}\left( s \right) = G_{2}\left( s \right) \bullet U_{z}\left( s \right) = \frac{{u_{z0}(\text{ps}}^{3} + rs^{2} + \text{us} + w)}{s^{4} + \text{bs}^{3} + gs^{2} + \text{hs} + l}$$

L[u_z(t)]=U_z(s)

u_z(t) = u_z0 • δ(t)

U_z(s) = u_z0

$$\Theta_{2}\left( s \right) = G_{2}\left( s \right) \bullet U_{z}\left( s \right) = \frac{103({0,01503s}^{3} + 0,02409s^{2} + 0,01082s + 0,00149)}{s^{4} + {1,22121s}^{3} + 0,53969s^{2} + 0,18725s + 0,02943\ \ }$$

$$\Theta_{2}\left( s \right) = G_{2}\left( s \right) \bullet U_{z}\left( s \right) = \frac{1,54816s^{3} + 2,48165s^{2} + 1,11408s + 0,15312)}{s^{4} + {1,22121s}^{3} + 0,53969s^{2} + 0,18725s + 0,02943\ \ }$$

Pierwiastki równania s⁴ + 1, 22121s³ + 0, 53969s² + 0, 18725s + 0, 02943 obliczone przy pomocy programu Mathcad:

s₁ = - 0,772533

s₂ = - 0,263974

s₃ = - 0,0924 – 0.3685j

s₄ = - 0,0924 + 0,3685j

Rozkład wielomianu dokonano przy pomocy programu Wolfram Mathematica 7.0:

A = 0,0441012

B = - 0,195837

C = 1,69983

D = 0,765041

Przekształcenie na postać czasową: