III OBLICZENIA:
Posługując się wzorem: $\ \ I = \frac{\text{mgRr}}{4\pi^{2}L}T^{2}$ wyznaczam momenty bezwładności:
-tarczy
m=0,1625kg
g=9,8$\frac{m}{s^{2}}$
R=0,15 m
r=0,065 m
L=0,577m
T=1,719 s
$$I_{t} = \frac{0,1625*9,8*0,15*0,065}{4*{3,14}^{2}*0,577}*{1,719}^{2}$$
$$I_{t} = \frac{0,046}{22,76}$$
It = 0, 00202 [kg * m2]
It = 2, 02 * 10−3 [kg * m2]
-tarczy i krążka aluminiowego umieszczonego na środku tarczy
m=0,3693 kg
g=9,8$\frac{m}{s^{2}}$
R=0,15 m
r=0,065 m
L=0,577m
T=1,235 s
$$I = \frac{0,3693*9,8*0,15*0,065}{4*{3,14}^{2}*0,577}*{1,235}^{2}\backslash n$$
$$I = \frac{0,054}{22,76}$$
I = 0, 00237 [kg * m2]
I = 2, 37 * 10−3 [kg * m2]
-walca aluminiowego względem osi środkowej
IAl = I − It
IAl = 2, 37 * 10−3 − 2, 02 * 10−3
IAl = 0, 35 * 10−3 [kg * m2]
-tarczy i krążka żelaznego umieszczonego na środku tarczy
m=0,24066kg
g=9,8$\frac{m}{s^{2}}$
R=0,15 m
r=0,065 m
L=0,577m
T=1,432 s
$$I = \frac{0,24066*9,8*0,15*0,065}{4*{3,14}^{2}*0,577}*{1,432}^{2}\text{\ \ \ }$$
$$I = \frac{0,0472}{22,76}\text{\ \ }$$
I = 0, 00207 [kg * m2]
I = 2, 07 * 103 [kg * m2]
-żelaznego krążka względem osi środkowej
IFe = I − It
IFe = 2, 07 * 103 − 2, 02 * 10−3 [kg * m2]
IFe = 0, 05 * 10−3 [kg * m2]
-tarcza z dwoma odważnikami żelaznymi po bokach
$$I = \frac{0,31882*9,8*0,15*0,065}{4*3,14*0,577}*1,5389^{2}$$
$$I = \frac{0,072}{22,76}$$
I = 0, 0032 [kg * m2]
-moment bezwładności walca przesuniętego względem osi środkowej:
$$I_{c} = \frac{I - I_{t}}{2}$$
I = I0 + ma2
$$I = \frac{0,00202 + 0,0032}{2} + 0,07816*0,0785^{2}$$
I = 0, 00309 [kg * m2]
$$I_{c} = \frac{0,00309 - 0,00202\ }{2} = 0,000535 = 5,35*10^{- 4}\ \ \ \lbrack kg*m^{2}\rbrack$$
-Porównanie otrzymanych wartości z wartościami teoretycznymi
$$I_{0} = \frac{mr^{2}}{2}$$
-dla tarczy
Otrzymana wartość: 0, 00202 [kg * m2]
$$I_{0} = \frac{0,1625*0,15^{2}}{2}$$
I0 = 0, 0018 [kg * m2]
Względna niepewność pomiaru:
$$\delta = \frac{(\left| 0,00202 \right.\ - \left. \ 0,0018 \right|)}{0,0018} = 0,12$$
-tarza z odważnikiem aluminiowym
Otrzymana wartość: 0, 00237 [kg * m2]
$$I_{0} = \frac{0,3693*{0,15}^{2}}{2}$$
I0 = 0, 0042 [kg * m2]
Względna niepewność pomiaru:
$$\delta = \frac{(\left| 0,00237 \right.\ - \left. \ 0,0042 \right|)}{0,0042} = 0,44$$
-tarcza z odważnikiem żelaznym
Otrzymana wartość: 0, 00207 [kg * m2]
$$I_{0} = \frac{0,24066*0,15^{2}}{2}$$
I0 = 0, 0027 [kg * m2]
Względna niepewność pomiaru:
$$\backslash n{\delta = \frac{(\left| 0,00207 \right.\ - \left. \ 0,0027 \right|)}{0,0027} = 0,23}$$
-tarcza z dwoma odważnikami żelaznymi
Otrzymana wartość: 0, 0032 [kg * m2]
$$I_{0} = \frac{0,31882*0,15^{2}}{2}$$
I0 = 0, 0036 [kg * m2]
Względna niepewność pomiaru:
$$\backslash n{\delta = \frac{(\left| 0,0032 \right.\ - \left. \ 0,0036 \right|)}{0,0036} = 0,1}$$
Niepewność pomiarowa zgodnie z regułami dla pomiarów pośrednich nieskorelowanych funkcji wielu zmiennych:
$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{y} \right)\mathbf{=}\sqrt{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{k}}{\left( \frac{\mathbf{\partial}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{\partial}_{\mathbf{x}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}} \right)\mathbf{+}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{k}}{\sum_{\mathbf{j = i + 1}}^{\mathbf{k}}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\left\lbrack \frac{\mathbf{\partial}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}}{\mathbf{\partial}_{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}\mathbf{\partial}_{\mathbf{x}_{\mathbf{j}}}} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\partial}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{\partial}_{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}}\frac{\mathbf{\partial}^{\mathbf{3}}\mathbf{y}}{\mathbf{\partial}_{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}\mathbf{\partial}_{\mathbf{x}_{\mathbf{j}}^{\mathbf{2}}}} \right)}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}} \right)\mathbf{u}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{j}} \right)}$
Podstawiając do wzoru:
$$\sqrt{\left( \mathbf{\ }\frac{\mathbf{g*R*r*}\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*L}}\mathbf{\ } \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{*u}\left( \mathbf{m} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{\ }\frac{\mathbf{m*g*r*}\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*L}}\mathbf{\ } \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{*u}\left( \mathbf{R} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{\ }\frac{\mathbf{m*g*R*}\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*L}}\mathbf{\ } \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{*u}\left( \mathbf{r} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{\ }\frac{\mathbf{m*g*R*r*2}\mathbf{T}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*L}}\mathbf{\ } \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{*u}\left( \mathbf{T} \right)^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{\ }\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{L - 4}\mathbf{\pi}\left( \mathbf{m*g*R*r*}\mathbf{T}^{\mathbf{2}} \right)}{\left( \mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*L} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ } \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{*u}\left( \mathbf{L} \right)^{\mathbf{2}}}$$
$$u\left( I_{t} \right) = \sqrt{\left( \frac{9,8*0,15*0,065*1,719^{2}}{22,76} \right)^{2}*\left( 0,1 \right)^{2} + \left( \frac{0,1625*9,8*0,065*{1,719}^{2}}{22,76} \right)^{2}*\left( 0,001 \right)^{2}} +$$
$$+ \sqrt{\left( \frac{0,1625*9,8*0,065*{1,719}^{2}}{22,76} \right)^{2}*\left( 0,001 \right)^{2} + \left( \frac{0,1625*9,8*0,15*0,065*2*1,719}{22,76} \right)^{2}*\left( 0,1 \right)^{2}} +$$
$$+ \sqrt{\left( \frac{4*{3,14}^{2}*0,577 - 4*3,14(0,1625*9,8*0,15*0,065*{1,719}^{2})}{\left( 4*3,14*0,577 \right)^{2}} \right)^{2}*{(0,001)}^{2}} = 0,00156$$
IV WNIOSKI
Wykonanie ćwiczenia miało za zadanie sprawdzenia prawa Steinera. Korzystając z prawa Steinera można obliczyć moment bezwzględności względem dowolnej osi, odsuniętej od osi środkowej.
Biorąc pod uwagę doświadczalną wartość momentu bezwładności walca żelaznego przesuniętego względem osi środkowej, jest porównywalna z wartością teoretyczną tej wielkości, możemy to wywnioskować z wyżej dokonanych obliczeń.
Niepewność jaka nam wyszła jest spowodowana różnego rodzaju błędów tj. niedokładność ludzkiego ona czy niepewność przyrządów pomiarowych.