Rok akademicki 2009/10

Kuźniar Mateusz

Gr. L5

Sprawozdanie z laboratorium

Fizyka

Nr ćwiczenia 8

Pomiar momentu bezwładności koła Maxwella

Zagadnienia do samodzielnego opracowania.

1. Pojęcie punktu materialnego.

Punkt materialny (masa punktowa) – ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające nieskończenie małe rozmiary (będące punktem).

Punkt materialny nie jest obiektem istniejącym w rzeczywistości. Jego stosowanie jest przybliżeniem i upraszcza znacząco opis ruchu danego ciała.

Zastosowania

Przybliżenie masy punktowej stosuje się w sytuacjach, w których rozmiary ciała można pominąć, ponieważ są dużo mniejsze od rozmiarów innych elementów badanego układu, np. pokonywanej drogi, promieniem krzywizny toru itd. Przybliżenie tego można użyć również, gdy rozmiary ciała i jego kształt nie są istotne dla analizowanego zagadnienia. Wtedy można przyjąć, że cała masa układu jest skupiona w środku masy układu.

W przypadku jednorodnego ciała kulistego, jeżeli nie obraca się ono, masa punktowa jest nie tylko idealizacją, ponieważ takie ciało zachowuje się tak jak masa punktowa.

Pojęcia punkt materialny używa się również w kinematyce w przypadku ciała o dowolnym kształcie, jeżeli jest bryłą sztywną i nie wykonuje obrotów. Wygodnie jest wówczas analizować np. ruch dowolnego wyróżnionego punktu tego ciała, któremu przypisujemy całą jego masę, niż opisywać ruch ciała jako całości. Podobnie w dynamice, gdy rozpatruje się siły, które powodują tylko przesunięcie (nie obracają ciałem), można bryłę sztywną zredukować do punktu. Punktem tym jest środkiem masy danej bryły.

Przykłady

W zależności od problemu, jako punkt materialny można traktować np.:

• kamieÅ„ rzucony pod pewnym kÄ…tem do powierzchni Ziemi – jego rozmiary sÄ… nieistotne w porównaniu z odlegÅ‚oÅ›ciÄ… jakÄ… przebÄ™dzie i dokÅ‚adnoÅ›ciÄ… pomiarów,

• Ziemia poruszajÄ…ca siÄ™ po orbicie wokół SÅ‚oÅ„ca – jej wymiary sÄ… nieistotne w porównaniu z promieniem orbity,

• elektron krążący po orbicie wokół jÄ…dra

• ciężarek wahadÅ‚a, jeżeli jego rozmiary sÄ… znikomo maÅ‚e w porównaniu z dÅ‚ugoÅ›ciÄ… nici, na jakiej jest zawieszony (wahadÅ‚o matematyczne).

1. Model bryły sztywnej.

Bryła sztywna (inaczej: ciało sztywne, ciało rozciągłe) - pojęcie używane w fizyce oznaczające ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych. Bryła sztywna w ogólnym przypadku posiada sześć stopni swobody.

Pojęcie punktu materialnego jest uproszczeniem bryły sztywnej, zakładającym, że ruch obrotowy ciała z pewnych względów nie jest istotny. Pewną ilustracją zachowania się ciała, które jest w dobrym przybliżeniu bryłą sztywną lub nią nie jest jest próba wprawienia w ruch obrotowy jajka. Jajo gotowane jest bryłą sztywną i długo obraca się po pokręceniu. Jajko surowe jest wypełnione cieczą i dlatego nie jest bryłą sztywną. Po lekkim pokręceniu jego wnętrze pozostaje nieruchome, czyli jako całość ma średnio bardzo niewielką prędkość obrotową, dlatego po ustaniu pokręcania dość szybko wytraca prędkość.

1. Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej.

Ruch postępowy bryły sztywnej jest to taki ruch, w którym każdy z punktów bryły porusza się po takim samym torze w tym samym czasie. Tor ten może mieć dowolny kształt (nie musi być prostoliniowy). W ruchu postępowym wszystkie punkty bryły poruszają się w danym momencie z jednakowymi prędkościami i przyspieszeniami. Tory ruchu dla wszystkich punktów są w tym ruchu takie same (czerwone linie na animacji). Rezultatem ruchu postępowego bryły sztywnej po dowolnym ustalonym czasie t jest przesunięcie równoległe bryły (translacja), co oznacza, że po tym czasie każdy punkt bryły zostaje przesunięty o ten sam wektor (niebieskie wektory na animacji). Poza ruchem postępowym bryła może wykonywać ruch obrotowy wokół osi stałej lub chwilowej. Dowolny ruch bryły sztywnej jest można opisać jako złożenie (superpozycję) ruchu postępowego i obrotowego.

Ruch obrotowy to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły sztywnej poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Np. ruch Ziemi wokół własnej osi. Jest to ruch złożony z ruchu postępowego środka masy danego ciała oraz ruchu obrotowego względem pewnej osi. Środek masy ciała można uważać za punkt materialny. Do opisania ruchu obrotowego używa się odmiennych pojęć od używanych do opisania ruchu postępowego.

4. Moment bezwładności bryły sztywnej.

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar . Zwykle mierzy się go w kg·m².

Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

gdzie:

- masa punktu;

- odległość punktu od osi obrotu.

Moment bezwładności ciała składającego się z punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach , oraz niech oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała.

Za pomocą momentu bezwładności bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną tej bryły

II. Wykonanie ćwiczenia:

1. Włączyć przyrząd do sieci.

2. Na krążek wahadła nałożyć dowolnie wybrany pierścień dociskając go do oporu.

3. Skręcić na osi wahadła nić zawieszenia i unieruchomić je przy pomocy elektromagnesu.

4. Sprawdzić czy dolna część pierścienia pokrywa się z zerem na skali naniesionej na kolumnę. W przypadku nie spełnienia powyższego warunku odkręcić wspornik górny i wyregulować wysokość ustawienia.

5. Nacisnąć przeÅ‚Ä…cznik W₁ w celu wyzerowania przyrzÄ…du i wcisnąć przeÅ‚Ä…cznik W₂.

6. Odczytać zmierzoną wartość czasu spadania wahadła.

7. Powtórzyć pomiar dziesięć razy, w celu wyznaczenia wartości średniej.

8. Pomiary powtórzyć dla innego pierścienia.

III. Tabela pomiarowa.

mo	mk	mp	d	ro	rk	rp	r	h	t	I	It
[g]	[g]	[g]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[s]	[kg m^2]	[kg m^2]
32,5	124	258,8	11	5	43	52,5	5,25	410	2,23	Â	       0, 00071     Â
Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	2,279
Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	2,243
Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	2,275
Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	2,21
Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	2,234
Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	2,239
Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	2,24
Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	2,24
Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	2,252
32,5	124	389,1	11	5	43	52,5	5,25	410	2,297		0, 00101
									2,288
									2,292
									2,281
									2,281
									2,278
									2,300
									2,323
									2,287
									2,291
32,5	124	517	11	5	43	52,5	5,25	410	2,326		0, 00131Â
									2,365
									2,329
									2,335
									2,381
									2,338
									2,370
									2,400
									2,338
									2,366

IV. Obliczenia

1. Obliczam niepewności standardowe r_o, r_k, r_p, d

r_o = 0, 1 mm

$$u\left( r_{o} \right) = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,06\ \lbrack mm\rbrack$$

$$u\left( r_{k} \right) = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,06\ \lbrack mm\rbrack$$

$$u\left( r_{p} \right) = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,06\ \lbrack mm\rbrack$$

d = 0, 1 mm

$$u\left( d \right) = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,06\ \lbrack mm\rbrack$$

h = 1 mm

$$u\left( d \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,6\ \lbrack mm\rbrack$$

1. Obliczam niepewność standardową wielkości złożonej r:

2. Obliczam niepewności standardowe wielkości t:

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$$

$\overset{\overline{}}{t_{1}} =$2,244 [s]

$\overset{\overline{}}{t_{2}} =$2,292 [s]

$\overset{\overline{}}{t_{3}} =$2,355 [s]

$$u\left( t \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{{(t}_{i} - \overset{\overline{}}{t})}^{2}}{n(n - 1)}}$$

$u\left( \overset{\overline{}}{t_{1}} \right) =$0,006 [s]

$u\left( \overset{\overline{}}{t_{2}} \right) =$0,004 [s]

$u\left( \overset{\overline{}}{t_{3}} \right) =$0,008 [s]

1. Obliczam niepewność standardową wielkości I:

$$u\left( I \right) = \sqrt{\left| \frac{\partial I}{\partial r}u(r) \right|^{2} + \left| \frac{\partial I}{\partial t}u(t) \right|^{2} + \left| \frac{\partial I}{\partial h}u(h) \right|^{2}}$$

u(I₁) = 0, 000017[kgm²]

u(I₂) = 0, 000022[kgm²]

u(I₃) = 0, 000032[kgm²]

1. Obliczam niepewność standardową I_t

$$u\left( I_{t} \right) = \sqrt{\left| \frac{\partial I_{t}}{\partial r_{o}}u(r_{o}) \right|^{2} + \left| \frac{\partial I_{t}}{\partial r_{p}}u(r_{p}) \right|^{2} + \left| \frac{\partial I_{t}}{\partial r_{k}}u(r_{k}) \right|^{2}}$$

u(I_t1) = 0, 0000013[kgm²]

u(I_t2) = 0.0000018[kgm²]

u(I_t3) = 0, 0000023[kgm²]

$$I_{t} = \frac{1}{2}m_{o}r_{o}^{2} + \frac{1}{2}m_{k}\left( r_{k}^{2} + r_{0}^{2} \right) + \frac{1}{2}m_{p}(r_{p}^{2} + r_{k}^{2})$$

I_t1 = 0, 00071 [kgm²]

I_t2 = 0, 00101 [kgm²] 

I_t3 = 0, 00131 [kgm²] 

Doświadczalny moment bezwładności:

Teoretyczny moment bezwładności:

I_{t 1} = (0,71±0,0013)×10^−3

I_{t 2} = (1,01±0.0018)×10^−3

I_{t 3} = (1,31±0,0023)×10^−3

V. Wnioski

Przy pomocy koła Maxwella jesteśmy w stanie wyznaczyć moment bezwładności koła w zależności od nałożonych na niego pierścieni. Wartość momentu bezwładności zależy od masy nałożonego pierścienia.