f(x) = $x^{2} \bullet \ e^{{- x}^{2}} = \ \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}$

1. Dziedzina

x  ∈ R

1. Dla x = 0 f(x) = 0

2. Dla y = 0 x = 0

3. Pochodna

$$\left( \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} \right)^{'} = \ \frac{2x(1 - x^{2})}{e^{x^{2}}}$$

$\frac{2x(1 - x^{2})}{e^{x^{2}}}$ = 0

X= {−1,0,1}

Monotoniczność

$\frac{2x(1 - x^{2})}{e^{x^{2}}} > 0$ ,gdy x∈ (−∞,−1) ∪ (0,1)

$\frac{2x(1 - x^{2})}{e^{x^{2}}} < 0$ ,gdy x∈(−1,0) ∪ (1, +∞)

1. Druga pochodna

$$\left( \frac{2x\left( 1 - x^{2} \right)}{e^{x^{2}}} \right)^{'} = 4x^{4}\ - 10x^{2} + 2$$

4x⁴  − 10x² + 2 = 0

Rozwiazaniem sa 4 pierwiastki:

X$\in \left\{ \frac{\sqrt{5 + \sqrt{17}}}{2},\frac{\sqrt{5 - \sqrt{17}}}{2}, - \frac{\sqrt{5 + \sqrt{17}}}{2}, - \frac{\sqrt{5 - \sqrt{17}}}{2} \right\}$ i są to punkty przegięcia.

1. Granica funkcji:

$$\operatorname{}{\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} = \ \frac{\infty}{\infty}} = \lim_{x\ \rightarrow \ \infty}\ \frac{2x}{2x \bullet e^{x^{2}}} = \lim_{x\ \rightarrow \ \infty}\ \frac{1}{e^{x^{2}}} = \lim_{x\ \rightarrow \ \infty}\frac{1}{\infty} = 0$$

Asymptota:

$$a = \lim_{x\ \rightarrow \ \infty}\frac{f(x)}{x} = \ldots = 0$$

b = lim_{x  →  ∞}{f(x)−ax} = … = 0

y = 0

Wykres:

2 zadanie:

lim_{x  →  ∞}sin^xx ( nie wiem czy było że dąży do 0 czy do ∞ )

Skorzystaj ze wzoru: a^b = b

Wtedy mamy : e^lnsinxx =  e^xlnsinx

Jeśli będziemy mieli ze granica dązy do 0 to wynikiem będzie 1, a jeśli dazy do nieskończoności to wynikiem będzie chyba nieskończoność, nie wiem dokladnie.