Wprowadzenie

Wahadło fizyczne, w przeciwieństwie do matematycznego (punkt materialny zawieszony na nieważkiej nici), to bryła sztywna obracająca się wokół określonej osi obrotu niebędącej środkiem masy bryły. Ruchem wahadłowym nazywamy ruch takiego układu, odchylonego od osi o pewien kąt, a następnie puszczonego.

Wahadło fizyczne opisuje się za pomocą zasad dynamiki zarówno dla ruchu postępowego, jak i obrotowego. Moment siły w wahadle powstaje pod wpływem siły ciężkości. Dla dowolnego wychylenia θ jest równy M = mgasinθ, gdzie a, to odległości środka masy od osi obrotu. Dodatkowo $M = I_{0}\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}$, tak więc dalej przekształcając wzór otrzymujemy:

$$I_{0}\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} = - mgasin\theta$$

Znak „−” we wzorze oznacza, że moment siły ma kierunek przeciwny do kierunku wychylenia.

Przy bardzo małych wychyleniach (rzędu kilku stopni) sinθ = θ w mierze łukowej, tak więc powyższy wzór możemy zapisać w postaci:

$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2}\theta_{\left( t \right)} = 0$,

gdzie $\omega_{0}^{2} = \frac{\text{mga}}{I_{0}}$.

Ze wzoru na prędkość kątową wiemy, że $\omega_{0} = \frac{2\pi}{T}$, czyli okres drgań wahadła fizycznego możemy opisać wzorem:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_{0}}{\text{mga}}}$,

Co umożliwia nam doświadczalne zmierzenie momentu bezwładności na podstawie okresu drgań wahadła. Aby obliczyć moment bezwładności bryły obrotowej względem osi przechodzącej przez środek masy, a nie osi obrotu, możemy posłużyć się twierdzeniem Steinera:

I₀ = I_S + ma²

Wynika z tego, że wzór, z którego można doświadczalnie obliczyć I_S ma postać:

$$I_{S} = \frac{T^{2}}{4\pi^{2}}mga - ma^{2}$$

Wartość I_S można też policzyć w inny sposób; traktując bryłę sztywną jako ciągły zbiór punktów materialnych, oblicza się sumę ich momentów bezwładności ze wzoru:

I = ∫_mr²dm

Analityczne obliczenia są możliwe dla jednorodnych brył o prostych kształtach.

W czasie wykonywania ćwiczenia będziemy empirycznie wyznaczać I_S i porównywać z wartością obliczoną ze wzoru analitycznego.