Politechnika Świętokrzyska w Kielcach Wydział Zarządzania i Modelowania Komputerowego
Projekt Zagadnienia Optymalizacji
Nr ćwiczenia: 5
Imię i nazwisko Banak Rafał Kowalczyk Łukasz

Opis sytuacji:

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie optymalnych pól przekroju prętów kratownicy płaskiej, żeby tego dokonać należy przeprowadzić minimalizację objętości materiału kratownicy.

Kratownica

Warunki ograniczające:

1. |σ_i|≤σ_max i=1,2,3,4

gdzie σ_i - naprężenie w i-tym pręcie,

σ_max - naprężenie dopuszczalne.

1. |_B|≤_max

gdzie _B - pionowe przemieszczenie punktu B,

_max – dopuszczalne pionowe przemieszczenie punktu B.

Zadanie będzie rozwiązywane w dwóch przypadkach:

Przypadek 1: pręty 1, 2, 3 wykonane są z takich samych profili o polu przekroju poprzecznego A₁, zaś pręt 4 jest wykonany z profilu o polu przekroju poprzecznego A₄.

Dane:

Funkcja celu przybiera postać:

Następnie należy rozłożyć siły działające na kratownicę w punkcie B i w miejscu przyłożenia siły P. Po rozłożeniu sił na składowe otrzymujemy równania:

Za pomocą polecenia Find wyliczmy wartości sił N_i działających w układzie:

Siły w prętach kratownicy wywołane przez obciążenia zewnętrzne.

Analogicznie postępujemy wyznaczając siły w prętach kratownicy w punkcie B.

Siły w prętach kratownicy, obciążonej siłą jednostkowa w węźle B.

Przypisanie otrzymanych wyników do odpowiednich zmiennych:

Zapisanie warunków naprężeniowych:

Obliczanie przemieszczenia pionowego węzła B przy użyciu całki Mohra:

Minimalizacja funkcji celu :

mm³

Wnioski:

Przy zadanych warunkach wytrzymałościowych i określonych w zadaniu kształtach prętów minimalny rozmiar kratownicy wyniesie 2.239*10⁵ mm³. Optymalne pole przekroju, przy których będzie można uzyskać ten wymiar wynosi dla prętów 1, 2, 3 - 47.358 mm² zaś dla prętu 4 47.255 mm².

Przypadek 2: każdy z prętów jest wykonany z innego profilu o polach przekrojów poprzecznych odpowiednio A₁, A₂, A₃, A₄.

Funkcja celu:

Zapisujemy warunki naprężeniowe:

Obliczamy przemieszczenie pionowe węzła B przy użyciu całki Mohra:

Minimalizujemy funkcję celu:

mm³

Wnioski:

Przy zadanych warunkach wytrzymałościowych i określonych w zadaniu kształtach prętów minimalny rozmiar kratownicy wyniesie 1,832*10⁵ mm³. Optymalne pole przekroju, przy których będzie można uzyskać ten wymiar wynosi dla pręta 1to 53.904 mm², 2 – 8.696 mm², 3 – 48.327 mm² zaś dla prętu 4 41.7455 mm².

Minimalizację objętości materiału można wykonywać z dwóch powodów. Pierwszym z nich jest niewątpliwie kwestia finansowa. Mniejsze zużycie materiału ogranicza koszty produkcji. Pomimo oszczędności mamy jednak pewność, że kratownica spełni wymogi wytrzymałościowe zadane w warunkach ograniczających. Drugim powodem jest zmniejszenie ciężaru własnego konstrukcji co jest szczególne przydatne w przypadku, kiedy wagi nie da się zmniejszyć np. przez zastosowanie innych materiałów.

W rozważanych wypadkach należy zwrócić uwagę na dużą redukcję rozmiarów kratownicy przy dopuszczeniu wariantu czterech różnych pól przekroju prętów. Warto zauważyć, że pręt 2, na który działają najmniejsze siły ma odpowiednio zredukowane pole przekroju. Logicznym jest więc, że pręty, w których występują duże naprężenia zbudowane są z odpowiednio większej ilości materiału.