Metoda prądów oczkowych

Metoda prądów oczkowych, zwana też metodą prądów cyklicznych, polega na tym, że zamiast prądów w gałęziach wyznacza się na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa tzw. prądy oczkowe zamykające się w oczkach.

Liczba równań, którą należy napisać dla prądów oczkowych zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, równa jest liczbie oczek niezależnych, tzn. dla schematu elektrycznego o liczbie węzłów równej q i liczbie gałęzi równej p zadanie znajdowania prądów oczkowych sprowadza się do rozwiązania układu p - q + 1 równań.

Suma impedancji zespolonych wchodzących do oczka to impedancja własna oczka, a impedancja zespolona wchodząca jednocześnie do dwu oczek - impedancja wzajemna tych oczek.

Kierunki dodatnie prądów oczkowych są przyjmowane dowolnie.

Jeżeli dany schemat obwodu elektrycznego ma n oczek niezależnych, to na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa otrzymuje się układ n równań

E₁= z₁₁I₁ + z₁₂I₂+ ... + z_1nI_n

E₂= z₂₁I₁ + z₂₂I₂+ ... + z_2nI_n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E_n= z_n1I₁ + z_n2I₂+ ... + z_nnI_n

W równaniach tych: E_i - SEM oczkowa w oczku i, tzn. suma geometryczna SEM działających w danym oczku; SEM skierowane zgodnie z kierunkiem obiegu oczka przyjmuje się ze znakiem plus, skierowane zaś przeciwnie - ze znakiem minus; Z_ij - impedancja własna oczka i; Z_ik — impedancja wzajemna oczek i i k.

Jeżeli w obwodzie elektrycznym istnieją źródła prądu, to mogą one być zastąpione równoważnymi źródłami napięcia. Jeżeli jednak źródła prądu nie mają admitancji, to w tym przypadku bardziej celowe jest przyjąć dane prądy jako prądy oczkowe; liczba niewiadomych prądów oczkowych i odpowiednio liczba równań zmniejsza się wtedy o liczbę danych prądów.

Równania można zapisać w postaci macierzowej i rozwiązać metodą wyznacznikową. Prądy i napięcia przelicza się z postaci czasowej do postaci zespolonej.

Impedancje: z_R=R, z_L=jwL, z_C=1/jwC.

Dopasowanie na maksymalną moc czynną

Należy tak dobrać impedancję odbiornika, aby przy danej impedancji wewnętrznej źródła odbiornik pobierał największą moc czynną. Impedancja źródła Z₀=R₀+jX₀ a impedancja obciążenia: Z = R + jX.

Moc czynna pobierana przez odbiornik:

Jeżeli będziemy zmieniać reaktancję X, to dla dowolnej wartości R zarówno prąd, jak i moc czynna będą miały największą wartość przy X = -X₀. Przyjmując, że R jest wielkością zmienną warunek, przy którym funkcja osiągnie maksimum to: dP/dR=0. Z tego wynika: R=R₀. Inaczej: Z=Z₀*. Wtedy odbiornik pobiera moc: P_max=E²/4R₀.

Jeżeli impedancja źródła zawiera rezystancję i indukcyjność, to impedancja odbiornika powinna zawierać rezystancję i pojemność.

Parametry robocze czwórnika:

Impedancja wejściowa jest impedancją zastępczą dwójnika o zaciskach zewnętrznych 1-1’, zawierającego czwórnik i obciążenie z2. Zwe=(A11Z2+A12)/(A22Z2+A22). Pozwala ona zastąpić pierwotny obwód czwórnika obwodem pojedynczym.

Impedancja wewnętrzna źródła zastępczego (tw.Thevenina) części układu na lewo od zacisków 2-2’ czwórnika. Zwy=(A22Z1+A12)/(A21Z1+A11). Pozwala ona zastąpić pierwotny obwód czwórnika obwodem pojedynczym.

Z

we=U₁/I₁; z_wy=U₂/I₂; Y_we=1/z_we; Y_wy=1/z_wy;

Transmitancja napięciowa: ku=U₂/U₁=1/A11= -Y21/(Y22+Y0)=z21z0/(detz+z11z0)

T

ransmitancja prądowa: ki=I₂/I₁= -z21/(z22+z0)= -Y21Y0/(detY+Y11)

Transmitancja prądowo-napięciowa: U2/I1=1/A21=-Y21/detY=z21

Transmitancja napięciowo-prądowa: I2/U1=-1/A12=Y21= -z21/detZ

Skuteczne wzmocnienia (mają sens tylko dla określonych układów):

k_us=U₂/E_g=kuU1/E_g, k_is=I₂/I_g=kiI1/I_g

k_p=P₀/P_we=Re[-U₂I₂*]/Re[U₁I₁*]

k_psk= P₀/P_gdys=Re[-U₂I₂*]/Eg²/4Rez_g

Dysponowane wzmocnienie mocy jest największe.

kp[Np]=1/2ln(P2/P1)

kp[dB]=10lg(P2/P1)

1Np=8,686dB=20lge

1dB=0,115Np=(1/20)ln10

Ku[Np]=ln(U2/U1)

ku[dB]=20lg(U2/U1)

Przekształcenie Laplace’a

Metoda operatorowa polega na przeniesieniu rozwiązywania z obszaru funkcji zmiennej rzeczywistej w obszar funkcji zmiennej zespolonej, gdzie działania przyjmują prostszą postać. Po wykonaniu działań nad funkcjami zmiennej zespolonej dokonuje się przejścia powrotnego do obszaru funkcji zmiennej rzeczywistej.

Oryginał i transformata przedstawiają parę funkcji zmiennej rzeczywistej t i zmiennej zespolonej s związanych przekształceniem Laplace’a.

Transformata Laplace’a ma szerokie zastosowanie do rozwiązywania równań różniczkowo-całkowych obwodów elektrycznych. Zamiast skomplikowanych równań różniczkowych mamy układ równań algebraicznych.

Przekształcenie (jednostronne) Laplace’a jest określone zależnością: F(s)=L[f(t)]=e^-stf(t)dt, przy czym s=+j zmienna zespolona. Jeżeli funkcja f(t) jest rozwiązaniem równania całkowego Laplace’a, to zależność f(t)=L^-1[F(s)] nazywamy odwrotnym przekształceniem Laplace’a, a funkcję f(t) nazywamy oryginałem.

Podstawowe własności przekształcenia Laplace’a:

Liniowość (L=L),(Lcf=cLf), jednoznaczność, transformata całki, transformata pochodnej, zmiana skali, przesunięcie w dziedzinie zespolonej, przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej, splot. Własności przekształceń Laplace’a i Fouriera są podobne.

Metoda napięć węzłowych

Metoda napięć węzłowych polega na tym, że na podstawie pierwszego-prawa Kirchhoffa zostają wyznaczone napięcia między węzłami obwodu elektrycznego a pewnym węzłem odniesienia. Te szukane napięcia są zwane napięciami węzłowymi.

Napięcie na zaciskach dowolnej gałęzi jest równe różnicy napięć węzłowych węzłów danej gałęzi, iloczyn zaś tego napięcia i admitancji danej gałęzi jest równy prądowi tej gałęzi.

Potencjał węzła odniesienia przyjmuje się równy zeru.

W ogólnym przypadku, jeżeli schemat obwodu elektrycznego ma q węzłów, to na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa otrzymuje się układ q -1 równań (węzeł q jest przyjęty jako węzeł odniesienia)

I₁= Y₁₁V₁ + Y₁₂V₂+ ... + Y_1,q-1V_q-1

I₂= Y₂₁V₁ + Y₂₂V₂+ ... + Y_2,q-1V_q-1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I_q-1= Y_q-1,1V₁ + Y_q-1,2V₂+ ... + Y_q-1,q-1V_q-1

Prąd dopływający do węzła przyjmuje się ze znakiem plus, prąd odpływający od węzła ze znakiem minus;

Y_ii - admitancja własna węzła i będąca sumą admitancji zespolonych wszystkich gałęzi zbiegających się w danym węźle;

Y_ik - admitancja wzajemna węzłów i oraz k, mająca znak minus.

Równania można zapisać w postaci macierzowej i rozwiązać metodą wyznacznikową.

Prądy i napięcia przelicza się z postaci czasowej do postaci zespolonej. Admitancje: Y_R=1/R, Y_L=1/jwL, Y_C=jwC.

Jeżeli w obwodzie elektrycznym istnieją źródła napięcia, mogą one być zastąpione równoważnymi źródłami prądu. W przypadku gdy dowolna gałąź zawiera tylko SEM, tzn. impedancja gałęzi jest równa zeru, a zatem napięcie między dwoma węzłami jest dane, celowe jest, żeby jeden węzeł z tej gałęzi przyjąć jako węzeł odniesienia. Wtedy liczba niewiadomych napięć węzłowych i odpowiednia liczba równań zmniejszy się o jedno.

Jeżeli dany obwód elektryczny ma q węzłów i p gałęzi, to w związku z powyższym metoda napięć węzłowych ma przewagę, gdy 2(q - 1)<p.

Twierdzenie o źródle zastępczym

Na podstawie twierdzenia o źródle zastępczym można złożony obwód elektryczny o dowolnej liczbie źródeł energii elektrycznej sprowadzić do schematu o jednym źródle.

Twierdzenie o zastępczym źródle napięcia-Tw.Thevenina

Prąd w dowolnej gałęzi mn obwodu elektrycznego liniowego nie zmieni się, jeżeli obwód elektryczny, do którego jest przyłączona dana gałąź, przedstawić w postaci zastępczego źródła napięcia. SEM tego źródła jest równa napięciu na rozwartych zaciskach gałęzi mn, a impedancja wewnętrzna źródła musi być równa impedancji zastępczej obwodu elektrycznego pasywnego (bezźródłowego), otrzymanego w wyniku zastąpienia wszystkich niezależnych źródeł napięciowych zwarciami i wszystkich niezależnych źródeł rozwarciami.

Twierdzenie o zastępczym źródle prądu-Tw. Nortona

Prąd w dowolnej gałęzi mn obwodu elektrycznego liniowego nie zmieni się, jeżeli obwód elektryczny, do którego jest przyłączona dana gałąź, przedstawić w postaci zastępczego źródła prądu. Prąd tego źródła musi być równy prądowi przepływającemu między zaciskami m i n w przypadku ich zwarcia, a admitancja wewnętrzna źródła musi być równa admitancji zastępczej obwodu elektrycznego pasywnego(bezźródłowego), otrzymanego w wyniku zastąpienia wszystkich niezależnych źródeł napięciowych zwarciami i wszystkich niezależnych źródeł rozwarciami.

Twierdzenie to wynika z warunku równoważności źródła napięcia i prądu, a mianowicie: źródło napięcia, którego SEM E_mn jest równa napięciu w stanie jałowym U_mn, impedancja wewnętrzna wynosi Z₀, może być zastąpione źródłem prądu I_mn=Y₀E_mn.

Moc w obwodzie prądu sinusoidalnie zmiennego

Jeżeli napięcie i prąd są sinusoidalne, czyli: u=U_msint, i=I_msin(t-), to moc chwilowa: p=UI[cos-cos(2t-)].

Moc chwilowa ma dwie składowe: składową stałą Ul cos i składową sinusoidalną - Ul cos (2 t - ) o podwójnej częstotliwości w stosunku do częstotliwości napięcia i prądu. Tak więc szybkość, z jaką energia jest dostarczana do obwodu prądu sinusoidalnie zmiennego, nie jest stała.

Moc średnia za okres, zwana mocą czynną, równa jest składowej stałej, gdyż wartość średnia składowej sinusoidalnej wykonującej dwa cykle w okresie T jest równa zeru, tzn.

Jednostką mocy czynnej jest wat (W). Czynnik cos nosi nazwę współczynnika mocy. Cos odbiornika energii elektrycznej zależy od argumentu impedancji tego odbiornika; im kąt jest bliższy zeru tym cos jest bliższy jedności i tym większa wobec tego jest moc czynna przekazywana odbiornikowi przez źródło przy danych wartościach U i I.

Przypadki charakterystyczne:

1) Obwód z rezystancją ( = 0)

D la cos = 1 p= UI [1 -cos2t]

tzn. moc chwilowa oscyluje z podwójną częstotliwością (2) wokół wartości średniej P = Ul

Moc chwilowa jest stale dodatnia: energia przekazywana jest ze źródła do odbiornika, natomiast powrót energii do źródła nie zachodzi. Cała energia, doprowadzana do odbiornika przekształca się w ciepło.

2)Obwód z reaktancją ( = /2)

Dla cos = 0 p = UIsin2t

Górny, znak dotyczy przypadku obwodu indukcyjnego ( = /2), a dolny znak - przypadku obwodu pojemnościowego ( = -/2). Co ćwierć okresu znak mocy chwilowej zmienia się: odbiornik bądź to gromadzi energię (p>0), bądź też ją wydatkuje przekazując do źródła (p <0).

Przy przekazywaniu energii ze źródła do odbiornika zostaje ona czasowo gromadzona w polu magnetycznym lub elektrycznym, następnie zaś wraca do źródła przy jednoczesnym zanikaniu pola

O
scylacje mocy w obwodzie pojemnościowym

O
scylacje mocy w obwodzie indukcyjnym

W przypadku obwodu indukcyjnego energia pola magnetycznego osiąga wartość szczytową w chwili, gdy prąd w elemencie indukcyjnym przechodzi przez maksimum; następnie wartość energii w polu zmniejsza się i staje się równa zeru przy prądzie równym zeru. Podobnie, w przypadku obwodu pojemnościowego energia poła elektrycznego osiąga wartość szczytową, gdy napięcie na elemencie pojemnościowym ma wartość równą amplitudzie; następnie wartość energii zmniejsza się i przy napięciu równym zeru staje się równa zeru.

Tak więc zachodzi zjawisko oscylacji energii między źródłem a odbiornikiem, przy czym energia elektromagnetyczna nie przekształca się w inne rodzaje energii, np. w cieplną, i moc czynna jest równa zeru (P = 0).

W obwodzie indukcyjnym, moc chwilowa równa się szybkości zmiany energii pola magnetycznego, w obwodzie pojemnościowym zaś, równa się szybkości zmiany energii pola elektrycznego.

3)Obwód mieszany (0< </2)

p = UI cos - Ul cos (2 t -)

przy czym 0<cos <1

M

oc chwilowa oscyluje z podwójną częstotliwością względem osi przesuniętej o P = UI cos względem osi odciętych.

W większej części okresu moc chwilowa jest dodatnia i odpowiednio dodatnie pole powierzchni ograniczonej krzywą p jest większe od pola ujemnego. Ostatecznie, wartość średnia mocy za okres, tzn. moc czynna, jest większa od zera (P > 0).

Amplituda składowej sinusoidalnej mocy chwilowej jest równa iloczynowi wartości skutecznych napięcia i prądu: S=UI

Wielkość ta nosi nazwę mocy pozornej i mierzona jest w woltoamperach (VA).

Współczynnik mocy jest równy stosunkowi mocy czynnej do mocy pozornej: cos=P/S.

Moc bierna:

[var]. Stąd: sin=Q/S

Moc bierna jest dodatnia przy prądzie opóźniającym się (obciążenie indukcyjne) i ujemna przy prądzie wyprzedzającym napięcie (obciążenie pojemnościowe).

Moc pozorną można wyrazić w postaci zespolonej.

S=UIcos+jUIsin=P+jQ

Wielkość zespolona S ma część rzeczywistą równą mocy czynnej i część urojoną równą mocy biernej. P=ReS, Q=ImS.

Pasywność dwójnika

Dwójnik SLS jest pasywny, jeżeli moc czynna >=0 przy pobudzeniu sinusoidalnym dla dowolnej pulsacji w. Jeśli tak nie jest, to dwójnik jest aktywny. Jeżeli brak napięcia na otwartych zaciskach i brak zależnych źródeł to dwójnik jest pasywny.

Opis macierzowy czwórnika

Macierze charakterystyczne (parami odwrotne).

[Y]: I1,I2 zależą od U1,U2, równania admitancyjne, odwrotne do impedancyjnych

[Z]: U1,U2 zależą od I1,I2, równania impedancyjne

[A]: U1,I1 zależą od U2,I2, równania łańcuchowe

[B]=[A]^-1: U2,I2 zależą od U1,I1, równania łańcuchowe odwrotne

[H]: U1,I2 zależą od I1,U2, równania hybrydowe

[G]=[H]^-1: I1,U2 zależą od U1,I2, równania hybrydowe odwrotne

Czwórnik, który ma wszystkie macierze charakterystyczne nazywany jest prawidłowym. (nieprawidłowy=zdegenerowany). Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia wszystkich macierzy jest nieosobliwość jednej macierzy oraz nierówność zeru jej elementów.

Czwórniki odwracalne:

Y12=Y21: (Y=Y^T)

Z12=Z21: (Z=Z^T)

detA=1, detB=1

H12= -H21, G12= -G21

Niezależnie mogą być wyznaczone 3 elementy.

Czwórniki symetryczne (czwórniki odwracalne, w których napięcia i prądy zaciskowe nie ulegają zmianie przy zamianie miejscami wejścia i wyjścia czwórnika np. przez obrót czwórnika wokół hipotetycznej pionowej osi symetrii). Dodatkowe warunki: (Y,A,Z,B)11=(Y,A,Z,B)22, |H|=1, |G|=1. Niezależnie mogą być wyznaczone 2 elementy.

Łączenie czwórników:

Czwórniki muszą być połączone regularnie- na wejściu i odpowiednio na wyjściu każdego czwórnika składowego prądy w górnym i dolnym zacisku są równe co do wartości, a przeciwne co do kierunku. Połączenie łańcuchowe jest zawsze regularne.

kaskadowe(łańcuchowe) [A]=[A’]*[A’’], [B]=[B’]*[B’’]

szeregowe [Z]=[Z’]+[Z’’]

równoległe [Y]=[Y’]+[Y’’]

mieszane (szer.-równ.) [H]=[H’]+[H’’]

mieszane (równ.-szer.) [G]=[G’]+[G’’]

Operatorowe schematy zastępcze

rezystor:

u(t)=Ri(t)

U(s)=RI(s)

I(s)=GU(s)

kondensator:

i(t)=cdu(t)/dt

I(s)=sC U(s)-CU(0-)

u(t)=1/ci()d + U(0-)

u(s)=1/sc I(s)+1/s U(0-)

cewka:

U(t)=Ldi(t)/dt

i(t)=1/L U()d+i(0-)

U(s)=sL I(s)-Li(0-)

I(s)=1/sL U(s)+1/s i(0-)

Własności SLS

Układ jest liniowy, jeśli operator jest liniowy: jeżeli pobudzeniem jest suma pobudzeń, to reakcja jest sumą reakcji od każdego z pobudzeń.

Układ liniowy jest przyczynowy, jeżeli z warunku p(t)=0 dla t<t0 T[p(t)]=0 dla t<t0: reakcja nie może pojawić się wcześniej niż sygnał na wejściu.

Układ jest stacjonarny, jeżeli operator układu jest stacjonarny, tzn występuje takie samo opóźnienie: jeżeli r(t)=T[p(t)] to T[p(tt0)]=r(tt0).

Warunek quasi-stacjonarny: l_max<<

Układ jest stabilny, jeśli z warunku |p(t)|< |T(p(t)]|< , tzn. ograniczonemu pobudzeniu towarzyszy ograniczona reakcja.

rezystor: U(t)=Ri(t)

kondensator: C=q(t)/u(t); u=1/c i()d (-,t)

cewka: u(t)=L di(t)/dt

dwie cewki: U1=L1di1(t)/dt Mdi2(t)/dt; U2=Mdi1(t)/dt+L2di2(t)/dt;

Warunek rozwiązalności sieci SLS

Warunkiem koniecznym jest istnienie w tej sieci drzewa T, którego gałęziami są m.in. wszystkie źródła napięciowe sterowane i autonomiczne, natomiast niektórymi jego dopełnieniami są wszystkie źródła prądowe sterowane i autonomiczne. Jest to warunek dostateczny i konieczny.

Wykresy wskazowe

Wszystkie wektory mają taką samą prędkość kątową. Wystarczy narysować wykres dla jednej wartości t.

rezystor: U i I zgodne w fazie

cewka: U wyprzedza I w fazie o /2

kondensator: I wyprzedza U w fazie o /2

Metoda symboliczna

Dla bardziej złożonych schematów trudno jest wykonywać obliczenia korzystając ze wzorów trygonometrycznych czy wykresów wektorowych. Stosuje się wtedy liczby zespolone i wykonuje obliczenia algebraiczne. Różna forma zapisu liczb zespolonych ułatwia poszczególne operacje.

z=R+jX, rezystancja:R=Rez, reaktancja: X=Imz, X>0-charakter indukcyjny, X<0-charakter pojemnościowy; Y=G+jB, konduktancja:G=ReY, susteptancja:B=ImY; R=G/(G²+B²); X=-B/(G²+B²)

I prawo Kirchoffa: Ik=0;

II prawo Kirchoffa: Uk=0;

Prawo Ohma: U=zI; I=YU;

dwie cewki: U1=z1I1jwMI2; U2=jwMI1+z2I2

Prawo Ohma w postaci symbolicznej

W układzie RLC II prawo Kirchoffa: u=Ri+Ldi/dt+1/cidt. Po przekształceniu równania do postaci zespolonej: z=R+jwL+1/jwC. Stąd prawo Ohma: U=zI.

Metoda superpozycji

Dotyczy stanu ustalonego wywołanego przez wymuszenia o różnych pulsacjach.

W układzie liniowym, w którym działa n pobudzeń, prąd i (napięcie u) jest sumą prądów i^(k) (napięć u^(k)) wywołanych działaniem każdego z pobudzeń z osobna. Np. u⁽¹⁾, i⁽¹⁾ oznaczają składowe sum wywołane działaniem tylko źródła e1, tzn. przy pozostałych siłach elektromotorycznych i wydajnościach prądowych równych zeru (przy zwartych wrotach zasilanych napięciowo i rozwartych wrotach zasilanych prądowo).

Metodę superpozycji można również stosować, jeżeli w obwodzie elektrycznym liniowym są dane jednocześnie źródła napięcia i prądu.

Zasada superpozycji wynika wprost z właściwości addytywności rozwiązań równań różniczkowych (lub równań algebraicznych) liniowych względem wymuszeń, przy założeniu istnienia i jednoznaczności tych rozwiązań.

Pasywność czwórnika

Czwórnik jest pasywny, jeśli moc czynna dostarczana do czwórnika jest nieujemna dla dowolnej pulsacji w.

r110,r220; 4r11r22-(r12+r21)²-(x12-x21)²0

Metoda prądów oczkowych, zwana też metodą prądów cyklicznych, polega na tym, że zamiast prądów w gałęziach wyznacza się na podstawie II pr. Kirchhoffa tzw. prądy oczkowe zamykające się w oczkach.

Liczba równań, którą należy napisać dla prądów oczkowych, równa jest liczbie oczek niezależnych, tzn. dla schematu elektrycznego o liczbie węzłów równej q i liczbie gałęzi równej p zadanie znajdowania prądów oczkowych sprowadza się do rozwiązania układu p - q + 1 równań.

Suma impedancji zespolonych wchodzących do oczka to impedancja własna oczka, a impedancja zespolona wchodząca jednocześnie do dwu oczek - impedancja wzajemna tych oczek.

Kierunki dodatnie prądów oczkowych są przyjmowane dowolnie.

Jeżeli dany schemat obwodu elektrycznego ma n oczek niezależnych, to na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa otrzymuje się układ n równań: E_n= z_n1I₁ + z_n2I₂+ ... + z_nnI_n

Jeżeli w obwodzie elektrycznym istnieją źródła prądu, to mogą one być zastąpione równoważnymi źródłami napięcia. Jeżeli jednak źródła prądu nie mają Y, to w tym przypadku bardziej celowe jest przyjąć dane prądy jako prądy oczkowe; liczba niewiadomych prądów oczkowych i odpowiednio liczba równań zmniejsza się wtedy o liczbę danych prądów.

Równania można zapisać w postaci macierzowej i rozwiązać metodą wyznacznikową. Prądy i napięcia przelicza się z postaci czasowej do postaci zespolonej.

Impedancje: z_R=R, z_L=jwL, z_C=1/jwC.

Dopasowanie na maksymalną moc czynną Należy tak dobrać impedancję odbiornika, aby przy danej impedancji wewnętrznej źródła odbiornik pobierał największą moc czynną. Impedancja źródła Z₀=R₀+jX₀ a impedancja obciążenia: Z = R + jX.

Moc czynna pobierana przez odbiornik:

Jeżeli impedancja źródła zawiera rezystancję i indukcyjność, to impedancja odbiornika powinna zawierać rezystancję i pojemność.

Parametry robocze czwórnika:

Zwe=U₁/I₁; z_wy=U₂/I₂; Y_we=1/z_we; Y_wy=1/z_wy;

Transmitancja napięciowa: ku=U₂/U₁=1/A11= -Y21/(Y22+Y0)=z21z0/(detz+z11z0)

Transmitancja prądowa: ki=I₂/I₁= -z21/(z22+z0)= -Y21Y0/(detY+Y11)

Transmitancja prądowo-napięciowa: U2/I1=1/A21=-Y21/detY=z21

Transmitancja napięciowo-prądowa: I2/U1=-1/A12=Y21= -z21/detZ

Skuteczne wzmocnienia (mają sens tylko dla określonych układów):

k_us=U₂/E_g=kuU1/E_g, k_is=I₂/I_g=kiI1/I_g

k

_p=P₀/P_we=Re[-U₂I₂*]/Re[U₁I₁*]

k_psk= P₀/P_gdys=Re[-U₂I₂*]/Eg²/4Rez_g

Dysponowane wzmocnienie mocy jest największe.

kp[Np]=1/2ln(P2/P1); kp[dB]=10lg(P2/P1)

1Np=8,686dB=20lge; 1dB=0,115Np=(1/20)ln10

Ku[Np]=ln(U2/U1); ku[dB]=20lg(U2/U1)