5.Równaniaró»niczkowezwyczajne

pierwszegorz¦du

5.1.Wst¦p.

Denicja5.1.

3

NiechVRb¦dzieobszaremorazF:V!R.Równaniemró»niczkowymzwyczaj-

nymrz¦dupierwszegonazywamyrównaniepostaci

0

F(x;y;y)=0:

Równanieró»niczkowepostaci

0

y=f(x;y);()

2

gdziefjestfunkcj¡okre±lon¡napewnymobszarzeDR,nazywamyrównaniemró»-

niczkowymrz¦dupierwszegowpostacinormalnej.

Denicja5.2.

Rozwi¡zaniemszczególnym(caªk¡szczególn¡lubkrótkorozwi¡zaniem)równania

()nazywamyka»d¡funkcj¦':I!Rokre±lon¡napewnymprzedzialeotwartymItak¡,

»e

V

0

'(x)=f(x;'(x)):

x2I

Wykresfunkcji'nazywamykrzyw¡caªkow¡równania().

Rozwi¡zaniemogólnymrównania()nazywamyrodzin¦wszystkichrozwi¡za«równania

():

Denicja5.3.Niech(x0;y0)2D:ZagadnieniemCauchy'ego(zagadnieniempocz¡tko-

wym)nazywamyzadaniepolegaj¡cenaznalezieniurozwi¡zania'równania(),którespeªnia

tzw.warunekpocz¡tkowy'(x0)=y0:

Istnienieijednoznaczno±¢rozwi¡zaniarównania():

2

Twierdzenie5.4(Peano).NiechDRb¦dzieobszaremorazf:D!R.Je±lifunkcjaf

jestci¡gªa,todladowolnegopunktu(x0;y0)2Distniejerozwi¡zanie'równania()speªniaj¡ce

warunek'(x0)=y0(tzn.przezka»dypunktobszaruDprzechodziprzynajmniejjednakrzywa

caªkowarównania()):

2

Twierdzenie5.5(Cauchy'ego-Piccard).NiechDRb¦dzieobszaremorazf:D!R.

0

Je±lifunkcjefifs¡ci¡gªenaD,todladowolnegopunktu(x0;y0)2Distniejedokªadniejedn

oy

rozwi¡zanie'równania()speªniaj¡cewarunek'(x0)=y0:

24

5.RÓWNANIARÓ›NICZKOWEZWYCZAJNEPIERWSZEGORZ†DU25

Uwaga5.6.Jednoznaczno±¢istnieniarozwi¡zaniazagadnieniaCauchy'egorozumiemynast¦-

puj¡co:je±lifunkcje':I!Roraz :J!R(gdzieI;Js¡przedziaªamiotwartymitakimi,

»ex02I\J)s¡rozwi¡zaniamirównania()speªniaj¡cymiwarunek'(x0)= (x0)=y0,to

V

'(x)= (x):

x2I\J

Interpretacjagemetrycznarównania():

5.2.Równanieozmiennychrozdzielonychirów-

naniejednorodnewzgl¦demxiy.

Denicja5.7.Równaniemozmiennychrozdzielonychnazywamyrównaniepostaci

0

y=h(x)g(y);(ZR)

gdzieh:(a;b)!Rorazg:(c;d)!R.

Lemat5.8.Je±liy02(c;d)orazg(y0)=0;tofunkcjastaªa':(a;b)!Rokre±lonawzorem

'(x)=y0dlax2(a;b),

jestrozwi¡zaniemrównania(ZR).Je±lih(x)=60dlapewnegox2(a;b),tozachodzirównie»

stwierdzenieodwrotne.

Twierdzenie5.9.Je»elih:(a;b)!R,g:(c;d)!Rs¡funkcjamici¡gªymiorazg(y)=60

dlaka»degoy2(c;d),todladowolnegopunktu(x0;y0)2(a;b)(c;d)istniejedokªadniejedno

rozwi¡zanie'równania(ZR)speªniaj¡cewarunek'(x0)=y0:Rozwi¡zanietookre±lonejest

wzorem

1

'(x)=G(H(x)H(x0)+G(y0))dlax2I(a;b);

1

gdzieHiGs¡dowolnieustalonymifunkcjamipierwotnymiodpowiedniofunkcjihi:

g

Denicja5.10.Równaniemjednorodnymwzgl¦demxiynazywamyrównaniepostaci

y0

y=f();(J)

x

gdzief:(c;d)!R.

Uwaga5.11.Równaniejednorodne(J)poprzezzamian¦zmiennych

y=xt;

sprowadzamydorównaniaozmiennychrozdzielonych

f(t)t

0

t=:

x

5.RÓWNANIARÓ›NICZKOWEZWYCZAJNEPIERWSZEGORZ†DU26

5.3.RównanielinioweirównanieBernoulie-

go.

Denicja5.12.Niechp;q:(a;b)!R.

Równaniepostaci

0

y+p(x)y=q(x)(L)

nazywamyrównaniemrównaniemliniowympierwszegorz¦du.

Je±liq(x)=0dlax2(a;b),torównanie(L)przyjmujeposta¢

0

y+p(x)y=0:(LJ)

Równanie(LJ)nazywamyrównaniemliniowymjednorodnym.

Równanieliniowe,któreniejestrównaniemjednorodnymnazywamyrównaniemlinio-

wymniejednorodnym.

Twierdzenie5.13.Je±lip;q:(a;b)!Rs¡funkcjamici¡gªymioraz(x0;y0)2(a;b)R,to

istniejedokªadniejednorozwi¡zanie'równania(L)okre±lonenaprzedziale(a;b)ispeªniaj¡ce

warunekpocz¡tkowy'(x0)=y0.

Lemat5.14.Rozwi¡zanieogólnerównania(LJ)tworz¡funkcjepostaci

P(x)

'(x)=Ce;C2R;

gdziePjestdowolnieustalon¡funkcj¡pierwotn¡funkcjip.

Twierdzenie5.15.Niechp;q:(a;b)!Rb¦d¡funkcjamici¡gªymiorazniech'sb¦dzie

rozwi¡zaniemszczególnymrównanialiniowego(L).Wówczas'jestrozwi¡zaniemrównania

liniowego(L),istniejerozwi¡zanie'0równaniajednorodnego(LJ)takie,»e'='0+'s.

Metodywyznaczaniarozwi¡zaniaszczególnegorównanialiniowego(L):

metodauzmiennianiastaªej(woparciuotwierdzenie5.16),

metodaprzewidywania(woparciuotwierdzenia5.17i5.18).

Twierdzenie5.16.Niechp;q:(a;b)!Rb¦d¡funkcjamici¡gªymi.Je±liPiCs¡dowolnie

P

ustalonymifunkcjamipierwotnymi,odpowiedniofunkcjipiqe,tofunkcjapostaci

P(x)

's(x)=C(x)e

jestrozwi¡zaniemszczególnymrównanialiniowego(L).

5.RÓWNANIARÓ›NICZKOWEZWYCZAJNEPIERWSZEGORZ†DU27

Twierdzenie5.17.Je±liWn;Vms¡wielomianami,odpowiedniostopnianim;za±a;;2R,

torównanieliniowe

0x

y+ay=[Wn(x)cosx+Vm(x)sinx]e(LS)

marozwi¡zanieszczególnepostaci

kx

's(x)=x[Pl(x)cosx+Ql(x)sinx]e;

gdziePl;Qls¡wielomianamistopnial=maxfn;mgoraz

(

1;gdy=ai=0;

k=

0wprzeciwnymwypadku.

Twierdzenie5.18.Niechq1;q2:(a;b)!Roraza2R.Je±li'1jestrozwi¡zaniemszczegól-

nymrównania

0

y+ay=q1(x);

za±'2jestrozwi¡zaniemszczególnymrównania

0

y+ay=q2(x);

tofunkcja'1+'2jestrozwi¡zaniemszczególnymrównania

0

y+ay=q1(x)+q2(x):

Denicja5.19.Niechp;q:(a;b)!Roraz2Rnf0;1g.Równaniepostaci

0

y+p(x)y=q(x)y(B)

nazywamyrównaniemBernouliego.

Uwaga5.20.

1.Gdywrównaniu(B)2f0;1g,tootrzymujemyrównanieliniowe.

2.Je±li>0,tofunkcja

'(x)=0dlax2(a;b);

jestrozwi¡zaniemszczególnymrównania(B).

3.RównanieBernouliego(B)sprowadzamydorównanialiniowegostosuj¡cpodstawienie

1

t=y:

6.RÓWNANIARÓ›NICZKOWEZWYCZAJNEn-TEGORZ†DU.28

6.Równaniaró»niczkowezwyczajne

n-tegorz¦du.

6.1.Wst¦p

Denicja6.1.

n+2

Niechn2N;VRb¦dzieobszaremorazF:V!R.Równaniemró»niczkowym

zwyczajnymn-tegorz¦dunazywamyrównaniepostaci

000(n)

F(x;y;y;y;:::;y)=0:

Równanieró»niczkowepostaci

(n)000(n1)

y=f(x;y;y;y;:::;y);(n)

n+1

gdziefjestfunkcj¡okre±lon¡napewnymobszarzeDR,nazywamyrównaniem

ró»niczkowymzwyczajnymn-tegorz¦duwpostacinormalnej.

Denicja6.2.

Rozwi¡zaniemszczególnym(caªk¡szczególn¡lubkrótkorozwi¡zaniem)równania

(n)nazywamyka»d¡funkcj¦':I!Rokre±lon¡napewnymprzedzialeotwartymItak¡,

»e

V

(n)000(n1)

'(x)=f(x;'(x);'(x);'(x);:::;'(x)):

x2I

Rozwi¡zaniemogólnymrównania(n)nazywamyrodzin¦wszystkichrozwi¡za«równa-

nia(n):

Denicja6.3.Niech(x0;y0;y1;:::;yn1)2D:ZagadnieniemCauchy'ego(zagadnieniem

pocz¡tkowym)nazywamyzadaniepolegaj¡cenaznalezieniurozwi¡zania'równania(n),

którespeªniatzw.warunkipocz¡tkowe:

0(n1)

'(x0)=y0;'(x0)=y1;:::;'(x0)=yn1:

Denicja6.4.Zagadnieniembrzegowymnazywamyzadaniepolegaj¡cenaznalezieniu

rozwi¡zania'równania

000

y=f(x;y;y);(2)

którespeªniatzw.warunkibrzegowe:'(x1)=y1;'(x2)=y2;x1=6x2:

6.RÓWNANIARÓ›NICZKOWEZWYCZAJNEn-TEGORZ†DU.29

6.2.Równaniarz¦dudrugiegosprowadzalne

dorówna«rz¦dupierwszego.

Pewnetypyrówna«rz¦dudrugiegomo»nasprowadzi¢dorówna«rz¦dupierwszegostosuj¡c

odpowiedniepodstawienia:

r.r.rz¦du2podstawienier.r.rz¦du1

00000

F(x;y;y)=

0y=u(x)F(x;u;u)=0

0000du

F(y;y;y)=

0y=u(y)F(y;u;u)=0

dy

6.3.Równanieliniowen-tegorz¦du.

Denicja6.5.Niechpn1;pn2;:::;p1;p0;q:(a;b)!R.

Równaniepostaci

(n)(n1)(n2)0

y+pn1(x)y+pn2(x)y+:::+p1(x)y+p0(x)y=q(x)(Ln)

nazywamyrównaniemrównaniemliniowymn-tegorz¦du:

Je±liq(x)=0dlax2(a;b),torównanie(Ln)przyjmujeposta¢

(n)(n1)(n2)0

y+pn1(x)y+pn2(x)y+:::+p1(x)y+p0(x)y=0:(LJn)

Równanie(LJn)nazywamyrównaniemliniowymjednorodnymn-tegorz¦du.

Twierdzenie6.6.Je±lipn1;pn2;:::;p1;p0;q:(a;b)!Rs¡funkcjamici¡gªymioraz

n

(x0;y0;y1;:::;yn1)2(a;b)R,toistniejedokªadniejednorozwi¡zanie'(okre±lonena

(a;b))równanialiniowego(Ln)takie,»e

0(n1)

'(x0)=y0;'(x0)=y1;:::;'(x0)=yn1:

Dalejzakªadamy,»efunkcjepn1;pn2;:::;p1;p0orazqs¡ci¡gªena(a;b).

Rozwi¡zanieogólnerównanialiniowegojednorodnego(LJn):

NiechV0oznaczarodzin¦wszystkichfunkcjiokre±lonychnaprzedziale(a;b)ib¦d¡cychroz-

wi¡zaniamirównania(LJn).Wówczas

(n)

1.V0=6;iV0C(a;b);

VV

2.k'2V0;

'2V0k2R

V

3.'+ 2V0;

'; 2V0

6.RÓWNANIARÓ›NICZKOWEZWYCZAJNEn-TEGORZ†DU.30

(n)

cooznacza,»eV0jestpodprzestrzeni¡liniow¡przestrzeniC(a;b):

Niechk2R.Przypomnijmy,»eukªad('1;'2;:::;'k)elementówprzestrzeniliniowejjest

liniowoniezale»ny,gdy

V

[(1'1+2'2+


+k'k=0))1=2=:::=k=0]:

1;2;:::;k2R

(n)

Denicja6.7.Niech'1;'2;:::;'k2C(a;b)orazx2(a;b):Wyznacznik



'1(x)'2(x):::'

k(x)



000def

'(x)'(x):::'(x)12k

W'(x)=1;'2;:::;'k::::::::::::



(n1)(n1)(n1)

'1(x)'2(x):::'(x)k

nazywamywyznacznikiemWro«skiego(wro«skianem)ukªadufunkcji('1;'2;:::;'k)w

punkciex:

Twierdzenie6.8.Niech'1;'2;:::;'k2V0:Ukªad('1;'2;:::;'k)jestliniowoniezale»ny

,istniejex02(a;b)taki,»eW'1;'2;:::;'(xk0)=60:

Twierdzenie6.9.dimV0=n.

Denicja6.10.Ka»d¡baz¦przestrzeniV0nazywamyfundamentalnymukªademrozwi¡-

za«równania(LJn).

Twierdzenie6.11.Je±lifunkcje'1;'2;:::;'nstanowi¡fundamentalnyukªadrozwi¡za«rów-

nania(LJn),torozwi¡zanieogólnerównania(LJn)tworz¡funkcjepostaci

'(x)=C1'1(x)+C2'2(x)+


+Cn'n(x);C1;C2;:::;Cn2R:

Twierdzenie6.12.Je±li'1:I!Rjestrozwi¡zaniemrównania(LJ2)takim,»e'1(x)=60

dlax2I,za±P1jestdowoln¡funkcj¡pierwotn¡funkcjip1,tofunkcjaokre±lonawzorem

ZP1(x)

e

'2(x)='1(x)dx

2

'1(x)

jestrównie»rozwi¡zaniemrównania(LJ2).Ponadtofunkcje'1;'2s¡liniowoniezale»ne.

Rozwi¡zanieogólnerównanialiniowego(Ln):

Twierdzenie6.13.Niech'sb¦dzierozwi¡zaniemszczególnymrównania(Ln).Wówczas'

jestrozwi¡zaniemrównanialiniowego(Ln),istniejerozwi¡zanie'0równania(LJn)takie,»e

'='0+'s:

Wniosek6.14.Je±lifunkcje'1;'2;:::;'nstanowi¡fundamentalnyukªadrozwi¡za«równania

(LJn)oraz'sjestrozwi¡zaniemszczególnymrównania(Ln),torozwi¡zanieogólnerównania

(Ln)tworz¡funkcjepostaci

'(x)=C1'1(x)+C2'2(x)+


+Cn'n(x)+'s(x);C1;C2;:::;Cn2R:

6.RÓWNANIARÓ›NICZKOWEZWYCZAJNEn-TEGORZ†DU.31

Rozwi¡zanieszczególnerównanialiniowego(Ln):

Twierdzenie6.15.Zaªó»my,»efunkcje'1;'2;:::;'nstanowi¡fundamentalnyukªadrozwi¡-

za«równania(LJn).Wówczasfunkcjapostaci

's(x)=C1(x)'1(x)+C2(x)'2(x)+


+Cn(x)'n(x)

jestrozwi¡zaniemszczególnymrównanialiniowego(Ln),gdyfunkcjeC1;C2;:::;Cn:(a;b)!R

s¡rozwi¡zaniamiukªadurówna«

8

000

>C1'1+C'2+


+C'n=0;>2n

>

>000000

>

>C1'+C'+


+C'=0;

<122nn

:::

>

>0(n2)0(n2)0(n2)

>

>C1'+C'+


+C'=0;

>122nn

>

:0(n1)0(n1)0(n1)

C1'1+C'2+


+C'=q:2nn

6.4.Równanieliniowen-tegorz¦duostaªych

wspóªczynnikach.

Denicja6.16.Równaniepostaci

(n)(n1)(n2)0

y+an1y+an2y+


+a1y+a0y=q(x);(LSn)

gdziean1;an2;:::;a1;a02R;q:(a;b)!R;nazywamyrównaniemrównaniemliniowym

n-tegorz¦duostaªychwspóªczynnikach:

Rozwi¡zanieogólnerównanialiniowegojednorodnego(LJSn):

Denicja6.17.Równanie

nn1n2

r+an1r+an2r+


+a1r+a0=0

nazywamyrównaniemcharakterystycznymrównanialiniowegojednorodnegoostaªychwspóª-

czynnikach

(n)(n1)(n2)0

y+an1y+an2y+


+a1y+a0y=0:(LJSn)

Fundamentalnyukªadrozwi¡za«równania(LJSn)mo»nawyznaczy¢przypomocypier-

wiastkówrównaniacharakterystycznego,korzystaj¡cznast¦puj¡cegofaktu:

Twierdzenie6.18.Niechrb¦dzierozwi¡zaniemrównaniacharakterystycznegorównania(LJSn).

Wówczas

1.je±lirjestpierwiastkiemrzeczywistymokrotno±cik,toka»dazfunkcji:

rxrx2rxk1rx

e;xe;xe;xe;

jestrozwi¡zaniemrównania(LJSn);

6.RÓWNANIARÓ›NICZKOWEZWYCZAJNEn-TEGORZ†DU.32

2.je±lir=+ijestpierwiastkiemzespolonymokrotno±cik,toka»dazfunkcji:

xx2xk1x

ecosx;xecosx;xecosx;xecosx;

xx2xk1x

esinx;xesinx;xesinx;xesinx;

jestrozwi¡zaniemrównania(LJSn).

Ponadtofunkcjewybranewtensposóbdlawszystkichpierwiastkówrównaniacharakterystycz-

negorównania(LJSn)stanowi¡ukªadliniowoniezale»ny.

Rozwi¡zanieszczególnerównanialiniowego(LSn):

Twierdzenie6.19.Je±liWn;Vms¡wielomianamistopnia,odpowiednionim;oraz

an1;an2;:::;a1;a0;;2R,torównanieliniowe

(n)(n1)(n2)0x

y+an1y+an2y+


+a1y+a0y=[Wn(x)cosx+Vm(x)sinx]e

marozwi¡zanieszczególnepostaci

kx

's(x)=x[Pl(x)cosx+Ql(x)sinx]e;

gdziePl;Qls¡wielomianamistopnial=maxfn;mgoraz

(

kr;gdyr=+ijestpierwiastkiemrównaniacharakterystycznegookrotno±cikr;

k=

0wprzeciwnymwypadku.

Uwaga6.20.Staª¡+inazywamystaª¡kontroln¡równaniarozwa»anegowtw.6.19.

Twierdzenie6.21.Niechq1;q2:(a;b)!Rb¦d¡funkcjamici¡gªymiorazan1;an2;:::;

a1;a02R.Je±li'sjestrozwi¡zaniemrównania1

(n)(n1)(n2)0

y+an1y+an2y+


+a1y+a0y=q1(x);

za±'s2jestrozwi¡zaniemrównania

(n)(n1)(n2)0

y+an1y+an2y+


+a1y+a0y=q2(x);

tofunkcja's+'sjestrozwi¡zaniemszczególnymrównania12

(n)(n1)(n2)0

y+an1y+an2y+


+a1y+a0y=q1(x)+q2(x):

7.ELEMENTYRACHUNKUOPERATOROWEGO33

7.Elementyrachunku

operatorowego

7.1.TransformataLaplace'a.

Denicja7.1.

Transformat¡Laplace'afunkcjif:[0;+1)!Rnazywamyfunkcj¦Fzmiennejrzeczy-

wistejsokre±lon¡wzorem

+Z1

defst

F(s)=f(t)edt:

0

Funkcj¦Fnazywamyobrazemfunkcjif:

NiechXoznaczarodzin¦funkcjiposiadaj¡cychtransformat¦Laplace'a.Przeksztaªcenie

L:X3f!7F

nazywamyprzeksztaªceniemalbotransformacj¡Laplace'a.

Obrazfunkcjifmo»emywówczasoznaczy¢przezLffglubLff(t)g:

Uwaga7.2.Analogiczniedeniujemytransformat¦Laplace'ajakofunkcj¦zmiennejzespolonejs.

Twierdzenie7.3(warunkiwystarczaj¡ceistnieniatransformatyLaplace'a).

Je±lifunkcjaf:[0;+1)!Rspeªniawarunki:

(1)naka»dymprzedzialepostaci[0;T],gdzieT>0,maconajwy»ejsko«czon¡liczb¦punktów

nieci¡gªo±cipierwszegorodzaju;

WWV

Ct

(2)jf(t)j¬Me;

C2RM>0t­0

tojejtransformataLaplace'aistniejedlas>C:

Funkcj¦speªniaj¡c¡zaªo»eniapowy»szegotwierdzenianazywamyoryginaªem.

Wniosek7.4.Je±lifunkcjaf:[0;+1)!Rspeªniawarunek(1)(wszczególno±cijestci¡gªa)

ijestograniczona,tomatransformat¦Laplace'aokre±lon¡dlas>0:

7.ELEMENTYRACHUNKUOPERATOROWEGO34

Transformatywybranychfunkcji:

FunkcjaTransformataLaplace'a

1

1

s

n!

n

t

n+1

s

1



t

e

s



sin

t

22

s+

s

cos

t

22

s+

7.2.Wªasno±ciprzeksztaªceniaLaplace'a.

(W1)(liniowo±¢)Je±lifunkcjef;g:[0;+1)!Rmaj¡transformatyLffgiLfgg;to

a)istniejetransformataLff+ggizachodzirówno±¢

Lff+gg=Lffg+Lfgg;

b)dlaka»degoc2RistniejetransformataLfcfgoraz

Lfcfg=cLffg:

(W2)Je±lifunkcjef;g:[0;+1)!Rs¡ci¡gªeiLffg=Lfgg;tof=g:

W(W3)(W6)i(W8)zakªadamy,»efunkcjaf:[0;+1)!Rjestoryginaªem.

(W3)Je±liF=Lffgia>0,toprawdziwajestrówno±¢

1s

Lff(at)g=F():

aa

(W4)Je±liF=Lffgi2R;to

t

Lfef(t)g=F(s):

(W5)(ró»niczkowanietransformaty)Je±liF=Lffgin2N,to

nn(n)

Lftf(t)g=(1)F(s):

(W6)(caªkowanietransformaty)

Z1

f(t

)

Lfg=Lffgds:

t

s

7.ELEMENTYRACHUNKUOPERATOROWEGO35

(n)

(W7)(n-krotneró»niczkowanieoryginaªu)Je±lifjestoryginaªem,toistniejeLffgoraz

(n)nn1+n20+(n2)+(n1)+

Lffg=sLffgsf(0)sf(0)


sf(0)f(0);

(k)+(k)

gdzief(0)=limf(t);k2f0;1;2;:::;n1g:Wszczególno±ci

t!0+

0+

Lffg=sLffgf(0);

002+0+

Lffg=sLffgsf(0)f(0):

(W8)(caªkowanieoryginaªu)

Zt

Lff

g

Lff(x)dxg=:

s

0

7.3.ZastosowaniaprzeksztaªaceniaLaplace'a.

Rozwi¡zywanierówna«ró»niczkowychliniowychn-tegorz¦duostaªychwspóªczynnikach

tzw.metod¡operatorow¡.

Obliczaniepewnychtypówcaªekniewªa±ciwych.

Analizaiprojektowanieukªadówsterowania.