documentclass[leqno]{book}

\usepackage[cp1250]{inputenc}

\usepackage{amsmath}

\usepackage{amssymb}

\usepackage{multicol}

\usepackage{graphicx}

\usepackage{color}

\begin{document}

\begin{center}

IV. Calki podwojne

\end{center}

\indent Rozwiazanie. Zauwazymy, ze w podanych warunkach funkcja z przybiera wartosci tylko dodatnie. Wtedy poszukiwana objetosc V, zgodnie z interpretacja calki podwojnej jako objetosci, wynosi

\begin{center}

$$

V=

\int\!\!\!\int_{D} (6-x^2-y^2)

\, \mathrm{d} x\, \mathrm{d} y\

$$

\end{center}

Kolejnosc calkowania jest w tym zadaniu obojetna.\\

RYSUNEK\\

Calkujac najpierw wzgledem x, a potem wzgledem y, otrzymujemy\\

\begin{center}

$$

V=

\int\limits_{y=-2}^{y=2} (\int\limits_{x=-1}^{x=1} (6-x^2-y^2)dx)dy=\int\limits_{-2}^{2} [6x-\frac{1}{3}x^3-y^2x]dy=

=\int\limits_{-2}^{2}[(6-\frac{1}{3}-y^2)-(-6+\frac{1}{3}+y^2)]dy=

=\int\limits_{-2}^{2}(\frac{34}{3}-2y^2)dy=[\frac{34}{3}y-\frac{2}{3}y^3]=

=(\frac{68}{3}-\frac{16}{3})-(-\frac{68}{3}+\frac{16}{3})=\frac{104}{3}.

$$

\end{center}

\indent Poniewaz obszarem calkowania jest tutaj prostokat o bokach rownoleglych do osi wspolrzednych, wiec zmieniajac porzadek calkowania (tzn. calkujac najpierw wzgledem a, a potem wzgledem x) przestawimy jedynie granice calkowania.\\

\indent Objetosc V wyrazi sie teraz tak

\begin{center}

$$

V=

\int\limits_{-1}^{1}(\int\limits_{-2}{2}(6-x^2-y^2)dy)dx=\int\limits_{-1}^{1}[6y-x^2y-\frac{1}{3}y^3]dx=

=\int\limits_{-1}^{1}[(12-2x^2-\frac{8}{3})-(-12+2x^2+\frac{8}{3})]dx=\int\limits_{-1}^{1}(\frac{56}{3}-4x^2)dx=

[\frac{56}{3}x-\frac{4}{3}x^3]=\frac{104}{3}.

$$

\end{center}

Wynik w obu przypadkach otrzymalismy oczywiscie taki sam.

\begin{center}

PARAGRAF 4.6. Obliczanie calki podwojnej - Objetosc bryly

\end{center}

ZADANIE 4.2. Obliczyc calke podwojna

\begin{center}

$$

\int\!\!\!\int_{D} (2x+y-1)

\, \mathrm{d} o\ ,

$$

\end{center}

gdzie obszarem calkowania D jest obszar trojkata o wierzcholkach A(1,1), B(5,3), C(5,5).\\

\indent Rozwiazanie. Obszar calkowania jest trojkatem. Porzadek calkowania wzgledem zmiennej x i zmiennej y jest dowolny, musimy jednak pamietac, ze pierwsze calkowanie odbywa sie w granicach zmiennych, a drugie calkowanie odbywa sie w granicach stalych. Wyjasnimy to szczegolowo, rozwiazujac zadanie dwoma sposobami.\\

RYSUNEK\\

I sposob.Najpierw calkujemy wzgledem zmiennej y, a nastepnie wzgledem zmiennej x.\\AKAPIT.Chcac znalezc zmienne granice pierwszej calki i musimy znalezc rownania linii ograniczajacych obszar D (rys. 4.5). Rownanie prostej AB (jako prostej przechodzacej przez dwa dane punkty) jest $ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} $. Prosta BC ma rownanie x=5, a prosta CA ma rownanie y=x.\\

\indent Przy pierwszym calkowaniu wzgledem zmiennej y prosta rownolegla do osi Oy, przechodzaca przez obszar calkowania w kierunku dodatnim osi Oy, przecina zawsze najpierw prosta $ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} $, a potem prosta y=x. Granice zmienne calkowania przy pierwszym calkowaniu wzgledem zmiennej y wyraza sie wzorami:

\begin{center}

granica dolna: $ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} $, granica gorna: y=x. \\

\end{center}

\indent Granice drugiego calkowania wzgledem zmiennej x sa stale. Ustalamy je z latowscia, znajdujac odciete punktow: skrajnego lewego punktu obszaru D (jest nim punkt A o odcietej x=1) i skrajnego prawego punktu obszaru D (jest nim dowolny punkt odcinka BC o odcietej x=5). W ten sposob otrzymujemy

\begin{center}

$$

\int\!\!\!\int_{D} (2x+y+1)

\, \mathrm{d} o\,=\int\limits_{x=1}^{x=5}(\int\limits_{y=\frac{1}{2}(x+1)}^{y=x}(2x+y+1)dy)dx=\int\limits_{1}^{5}dx\int\limits_{\frac{1}{2}(x+1)}^{x}(2x+y+1)dy

$$

\end{center}

Obliczamy najpierw pierwsza calke: \\

$

\int\limits_{\frac{1}{2}(x+1)}^{x}(2x+y+1)dy=[2xy+\frac{1}{2}y^2+y]= \\

=[2x^2+\frac{1}{2}x^2+x-2x\cdot\frac{1}{2}(x+1)-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(x+1))^2-\frac{1}{2}(x+1)= \\

=\frac{1}{8}(16x^2+4x^2+8x-8x^2-8x-x^2-2x-1-4x-4)=\frac{1}{8}(11x^2-6x-5). \\

$

\begin{center}

IV. Calki podwojne

\end{center}

A wiec mamy \\

$$

\int\!\!\!\int_{D} (2x+y+1)

\, \mathrm{d} o\, =\frac{1}{8}\int\limits_{1}^{5}(11x^2-6x-5)dx= \\

\frac{1}{8}[\frac{11}{3}x^3-3x^2-5x]=\frac{1}{8}[\frac{11\cdot125}{3}-75-25-\frac{11}{3}+3+5]= \\

=\frac{1}{8}(\frac{11\cdot124}{3}-92)=\frac{1}{2}(\frac{11\cdot31}{3}-23)=\frac{1}{2}\cdot\frac{272}{3}=\frac{136}{3}. \\

$$

\indent II sposob. Jezeli bedziemy calkowali najpierw wzgledem zmiennej x, to zmienne granice otrzymamy przecinajac obszar calkowania D prostymi rownoleglymi do osi Ox od lewej strony do prawej i zapisujac w postaci x=f(y) rownania przecietych linii ograniczajacych obszar D. \\

\indent Kazda z prostych rownoleglych do osi Ox, przechodzaca przez obszar calkowania (trojkat ABC), przecina badz najpierw prosta x=y, potem prosta $ x=2y-1 $ (jak prosta k na rysunku 4.6), badz najpierw prosta x=y, potem prosta x=5 (jak prosta l na tym samym rysunku). Wobec powyzszego nalezy podzielic prosta calkowania na dwa obszary $ D_{1} $ i $ D_{2} $, jak na rysunku 4.6. \\

\indent Granice calkowania wzgledem zmiennej y dla obszaru $ D_{1} $ otrzymujemy znajdujac najmniejsza i najwieksza rzedna punktow tego obszaru; bedzie to rzedna punktu A, tzn. $ y=1 $, oraz rzedna np. punktu B, tzn. $ y=3 $. Podobnie granicami calkowania wzgledem zmiennej y obszaru $ D_{2} $ beda $ y=3 $(rzedna np. punktu B) oraz $ y=5 $(rzedna punktu C). W ten sposob calka wyrazi sie w postaci sumy dwoch calek. \\

$$

\int\!\!\!\int_{D} (2x+y+1)

\, \mathrm{d} o\, =\int\!\!\!\int_{D_{1}} (2x+y+1)

\, \mathrm{d} o\, +\int\!\!\!\int_{D_{2}} (2x+y+1)

\, \mathrm{d} o\, = \\

=\int\limits_{y=1}^{y=3}(\int\limits_{x=y}^{x=2y-2}(2x+y+1)dx)dy+\int\limits_{y=3}^{y=5}(\int\limits_{x=y}^{x=5}(2x+y+1)dx)dy. \\

$$

Otrzymujemy kolejno: \\

$$

\int\!\!\!\int_{D} (2x+y+1)

\, \mathrm{d} o\,= \\

=\int\limits_{1}^{3}[x^3+xy+x]dx+\int\limits_{3}^{5}[x^2+xy+x]dx= \\

=\int\limits_{3}^{5}((2y-1)^2+y(2y-1)+(2y-1)-y^2-y^2-y)dy+\int\limits_{3}^{5}(25+5y+5-y^2-y^2-y)dy= \\

=\int\limits_{1}^{3}(4y^2-4y+1+2y^2-y+2y-1-2y^2-y)dy+\int\limits_{3}^{5}(-2y^2+4y+30)dy= \\

=\int\limits_{1}^{3}(4y^2-4y)dy+2\int\limits_{3}^{5}(-y^2+2y+15)dy= \\

=4[\frac{1}{3}y^3-\frac{1}{2}y^2]^{3}_{1}+2[-\frac{1}{3}y^3+y^2+15y]^{5}_{3}= \\

=4(9-\frac{9}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2})+2(-\frac{125}{3}+25+75+9-9-45)= \\

=4(5-\frac{1}{3})+2(-\frac{125}{3}+55)=\frac{136}{3}. \\

$$

\begin{center}

PARAGRAF 4.6. Obliczanie calki podwojnej - Objetosc bryly \\

\end{center}

\indent W kazdym z dwoch sposobow rozwiazania otrzymalismy wynik jednakowy, prostszy jednak okazal sie w tym przypadku sposob pierwszy, w ktorym obszaru calkowania D nie bylismy zmuszeni dzielic na dwa obszary. \\

\indent ZADANIE 4.3. Dany jest walec obrotowy o promieniu r i osi obrotu Oy. Obliczyc objetosc czesci walca wznoszacej sie nad trojkatem OAB (patrz rys. 4.7), ktory jest polowa kwadratu OBAC o boku r, lezacego w plaszczyznie Oxy. \\

RYSUNEK \\

\indent Rozwiazanie. Rownanie powierzchni walca obrotowego jest nastepujace: \\

$$

x^2+z^2=r^2 ;

$$

stad otrzymujemy \\

%$$

%z=\sqrt{r^2-x^2} \qquad (0\leg x\leg).

%$$

poszukiwana objetosc wyrazi sie wzorem \\

$$

V=\int\!\!\!\int_{D} z

\, \mathrm{d} o\, =\int\!\!\!\int_{D} \sqrt{r^2-x^2}

\, \mathrm{d} o\, \\

$$

\indent Obszarem calkowania jest trojkat OAB. Wykonajmy oddzielny rysunek 4.8 dla ustalenia granic calkowania. Przy wyborze kolejnosci calkowania kierujemy sie albo latwoscia ustalenia zmiennych granic, albo latwoscia obliczania calki. W tym zadaniu funkcja podcalkowa nie zawiera zmiennej y, calkowanie wzgledem y bedzie wiec znacznie latwiejsze niz wzgledem x. Zmiennymi granicami calkowania (kierunek rownoleglych do osi Oy) w tym przypadku beda y=0 i y=x. Granicami calkowania wzgledem x beda: najmniejsza odcieta obszaru, tj. x=0 (odcieta punktu O), oraz najwieksza odcieta tego obszaru, tj. x=r (odcieta punktow B lub A). W ten sposob otrzymujemy

$$

V=\int\limits_{0}^{r}(\int\limits_{0}^{x}\sqrt{r^2-x^2}dy)dx=\int\limits_{0}^{r}(\sqrt{r^2-x^2}\int\limits_{0}^{x}dy)dx=\int\limits_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}[y]^{x}_{0}dx= \\

=\int\limits_{0}^{r}x\sqrt{r^2-x^2}dx. \\

$$

\indent Calke te obliczamy podstawiajac $ r^2-x^2=t; $ stad roznikujac otrzymujemy $ -2xdx=dt, $ czyli x $ dx=-\frac{1}{2}dt. $ Nalezy przy tym pamietac, ze przy przejsciu od zmiennej x do zmiennej t zmienia sie granice calkowania, przy czym dla $ x=0 $ jest $ t=r^2, $ dla $ x=r, $ jest $ t=0, $

\end{document}