WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

im. Jarosława Dąbrowskiego

Laboratorium Fizyki Ogólnej

Sprawozdanie z ćwiczenia laboratoryjnego

nr 1

Tytuł: Rozkład normalny (Gaussa)

Wykonał:	Witold Bużantowicz, WMT, A-10		Warszawa, dn. 28.05.2004 r.
	Prowadzący zajęcia:		mgr inż. Paweł Marć
	Ocena przygotowania do zajęć:
	Ocena końcowa:

1. Wstęp teoretyczny

Cele ćwiczenia

• otrzymanie eksperymentalnego rozkładu Gaussa (schodkowego),

• naniesienie na rozkładzie schodkowym odpowiedniego rozkładu ciągłego,

• wyznaczenie parametrów rozkładu.

Wzory i zależności

• warunek normalizacji – suma wszystkich możliwych prawdopodobieństw jest równa jedności:

(1.1)

• rozkład Gaussa:

(1.2)

gdzie: – wartość średnia (określa położenie rozkładu),

– odchylenie standardowe (określa szerokość rozkładu).

przy czym:

(1.3)

(1.4)

• metoda Simpsona:

(1.5)

Czynności pomiarowe

Wersja A:

• Zapoznać się z budową pochylni.

• Wsypać pojedynczo kulki przez otwór w pudełku do urządzenia tak, by nie zderzały się ze sobą.

• Policzyć i zapisać, ile kulek wpadło do poszczególnychprzegródek.

• Przesypać kulki z powrotem do pudełka.

• Powyższe operacje powtórzyć dziesięciokrotnie.

• Obliczyć, ile kulek wpadło do poszczególnych przegródek łącznie w 10 wsypaniach.

Wersja B:

• Wykonać pomiary rezystancji 104 rezystorów.

• Pogrupować wyniki w przedziały o szerokości 0,5  (wartości minimalna R_min i maksymalna R_max są podane na obudowie).

2. Wyniki pomiarów

Tabela 1.

Wyniki pomiarów.

(Dane oryginalne w załączeniu)

ni	li	l'i	ni	li	l'i	ni	li	l'i	ni	li	l'i
1	6	4,25	11	28	25,75	21	47	49,00	31	3	5,00
2	5	4,25	12	32	38,75	22	43	50,75	32	3	2,75
3	1	3,50	13	63	49,00	23	70	54,00	33	2	2,25
4	7	6,25	14	38	45,75	24	33	42,75	34	2	1,75
5	10	8,25	15	44	47,75	25	35	33,50	35	1	1,25
6	6	8,50	16	65	58,75	26	31	26,50	36	1	0,75
7	12	10,50	17	61	61,25	27	9	16,00	37	0	0,25
8	12	15,50	18	58	64,75	28	15	12,00
9	26	20,75	19	82	70,25	29	9	11,00
10	19	23,00	20	59	61,75	30	11	8,50

gdzie: n_i – przedział,

l_i – suma kulek w i-tej przegrodzie po 10 wsypaniach,

l'_i – punkty simpsonowskie wyznaczone ze wzoru (1.5).

3. Opracowanie wyników pomiarów

W tabeli 1. (str. 2) umieszczono – obok danych uzyskanych doświadczalnie – punkty pomocnicze wyznaczone metodą Simpsona (tzn. ze wzoru 1.5).

Tabela 2. zawiera obliczenia konieczne do wyznaczenia parametrów oraz i narysowania wykresu funkcji:

Tabela 2.

Obliczenia pomocnicze.

n	l	x (n-nśr)^2	(l(n-nśr))^2	Pi l/N	y lg(Pi)	x^2	xy
1	6	324	11664	0,0063	-2,1991	104976	-712,513
2	5	289	7225	0,0053	-2,2783	83521	-658,428
3	1	256	256	0,0011	-2,9773	65536	-762,180
4	7	225	11025	0,0074	-2,1322	50625	-479,738
5	10	196	19600	0,0105	-1,9773	38416	-387,544
6	6	169	6084	0,0063	-2,1991	28561	-371,650
7	12	144	20736	0,0126	-1,8981	20736	-273,324
8	12	121	17424	0,0126	-1,8981	14641	-229,668
9	26	100	67600	0,0274	-1,5623	10000	-156,229
10	19	81	29241	0,0200	-1,6985	6561	-137,580
11	28	64	50176	0,0295	-1,5301	4096	-97,927
12	32	49	50176	0,0337	-1,4721	2401	-72,134
13	63	36	142884	0,0664	-1,1779	1296	-42,405
14	38	25	36100	0,0400	-1,3975	625	-34,937
15	44	16	30976	0,0464	-1,3338	256	-21,341
16	65	9	38025	0,0685	-1,1644	81	-10,479
17	61	4	14884	0,0643	-1,1919	16	-4,768
18	58	1	3364	0,0611	-1,2138	1	-1,214
19	82	0	0	0,0864	-1,0635	0	0
20	59	1	3481	0,0622	-1,2064	1	-1,206
21	47	4	8836	0,0495	-1,3052	16	-5,221
22	43	9	16641	0,0453	-1,3438	81	-12,094
23	70	16	78400	0,0738	-1,1322	256	-18,115
24	33	25	27225	0,0348	-1,4588	625	-36,469
25	35	36	44100	0,0369	-1,4332	1296	-51,595
26	31	49	47089	0,0327	-1,4859	2401	-72,809
27	9	64	5184	0,0095	-2,0230	4096	-129,474
28	15	81	18225	0,0158	-1,8012	6561	-145,895
29	9	100	8100	0,0095	-2,0230	10000	-202,302
30	11	121	14641	0,0116	-1,9359	14641	-234,241
31	3	144	1296	0,0032	-2,5001	20736	-360,021
32	3	169	1521	0,0032	-2,5001	28561	-422,524
33	2	196	784	0,0021	-2,6762	38416	-524,542
34	2	225	900	0,0021	-2,6762	50625	-602,153
35	1	256	256	0,0011	-2,9773	65536	-762,180
36	1	289	289	0,0011	-2,9773	83521	-860,430
37	0	324	0	0	–	104976	0
703	949	4218	834408	1	-65,821	864690	-8895,33

Wyznaczenie parametrów rozkładu normalnego

• średnia arytmetyczna na podstawie obliczeń z tabeli 2.:

Z wykresu 1. (str. 6) odczytujemy wartość , zatem:

i taką wartość przyjmujemy do dalszych obliczeń.

• odchylenie standardowe  wyznaczone na podstawie wzoru (1.4) ma wartość:

Wartość  odczytana z wykresu 1. (str. 5):

Wartość  obliczona metodą Simpsona:

Logarytmując wzór (1.2), otrzymujemy:

Wykresem w/w funkcji jest linia prosta opisana równaniem y=ax+b.

Korzystając z metody najmniejszych kwadratów Gaussa:

dla danych z tabeli 2. otrzymujemy:

Ponieważ wiemy, że wzór na odchylenie standardowe wyraża się następująco:

możemy wyznaczyć wartość odchylenia standardowego:

.

Do obliczeń przyjmujemy średnią arytmetyczną wyznaczonych powyżej odchyleń:

.

Wyznaczenie względnej i bezwzględnej liczby kulek w zadanych przedziałach

Tabela 3.

Zestawienie porównawcze

Przedział			Wartości obliczone			Wartości teoretyczne
			Bezwzględna ilość kulek	Względna ilość kulek
1.		<15;23>	529	55,7%		50,0%
2.		<13;25>	698	73,6%		68,0%
3.		<7;31>	905	95,4%		95,0%
4.		<1;37>	949	100,0%		99,7%

gdzie:

4. Wnioski

Otrzymane w sposób doświadczalny prawdopodobieństwa dla zadanych przedziałów odbiegają nieco od wartości teoretycznych. Rozbieżności wyjaśnić można w następujący sposób:

• wykonano stosunkowo małą liczbę prób – prawdopodobieństwa teoretyczne obliczono bowiem przy założeniu, że liczba elementów dąży do nieskończoności,

• wartość odchylenia standardowego wyznaczono zgrubnie – stanowi ono średnią arytmetyczną trzech innych obliczonych bądź odczytanych wartości odchyleń, w znaczący sposób różniących się od siebie,

• niemały wpływ na wynik ćwiczenia miały oddziaływania między kulkami wynikłe z niedokładności przeprowadzenia doświadczenia i budowy układu pomiarowego.

Należy jednak zauważyć, że już przy użytej w ćwiczeniu liczbie kul możemy zaobserwować rozkład normalny (Gaussa), który z dość dobrym przybliżeniem ilustruje zależności teoretyczne.

Ostatecznie cel doświadczenia został osiągnięty.

n	l	x (n-nśr)^2	(l(n-nśr))^2	Pi l/N	y lg(Pi)	x^2	xy
1	6	324	11664	0,0063	-2,1991	104976	-712,513
2	5	289	7225	0,0053	-2,2783	83521	-658,428
3	1	256	256	0,0011	-2,9773	65536	-762,180
4	7	225	11025	0,0074	-2,1322	50625	-479,738
5	10	196	19600	0,0105	-1,9773	38416	-387,544
6	6	169	6084	0,0063	-2,1991	28561	-371,650
7	12	144	20736	0,0126	-1,8981	20736	-273,324
8	12	121	17424	0,0126	-1,8981	14641	-229,668
9	26	100	67600	0,0274	-1,5623	10000	-156,229
10	19	81	29241	0,0200	-1,6985	6561	-137,580
11	28	64	50176	0,0295	-1,5301	4096	-97,927
12	32	49	50176	0,0337	-1,4721	2401	-72,134
13	63	36	142884	0,0664	-1,1779	1296	-42,405
14	38	25	36100	0,0400	-1,3975	625	-34,937
15	44	16	30976	0,0464	-1,3338	256	-21,341
16	65	9	38025	0,0685	-1,1644	81	-10,479
17	61	4	14884	0,0643	-1,1919	16	-4,768
18	58	1	3364	0,0611	-1,2138	1	-1,214
19	82	0	0	0,0864	-1,0635	0	0
20	59	1	3481	0,0622	-1,2064	1	-1,206
21	47	4	8836	0,0495	-1,3052	16	-5,221
22	43	9	16641	0,0453	-1,3438	81	-12,094
23	70	16	78400	0,0738	-1,1322	256	-18,115
24	33	25	27225	0,0348	-1,4588	625	-36,469
25	35	36	44100	0,0369	-1,4332	1296	-51,595
26	31	49	47089	0,0327	-1,4859	2401	-72,809
27	9	64	5184	0,0095	-2,0230	4096	-129,474
28	15	81	18225	0,0158	-1,8012	6561	-145,895
29	9	100	8100	0,0095	-2,0230	10000	-202,302
30	11	121	14641	0,0116	-1,9359	14641	-234,241
31	3	144	1296	0,0032	-2,5001	20736	-360,021
32	3	169	1521	0,0032	-2,5001	28561	-422,524
33	2	196	784	0,0021	-2,6762	38416	-524,542
34	2	225	900	0,0021	-2,6762	50625	-602,153
35	1	256	256	0,0011	-2,9773	65536	-762,180
36	1	289	289	0,0011	-2,9773	83521	-860,430
37	0	324	0	0	–	104976	0
703	949	4218	834408	1	-65,821	864690	-8895,33