BADANIE INTERFERENCJI ŚWIATŁA.

PIERŚCIENIE NEWTONA I PRĄŻKI W KLINIE POWIETRZNYM.

Spis treści

1.PODSTAWY FIZYCZNE

Matematyczny opis interferencji

2. OPIS ĆWICZENIA

3.WYKONANIE ĆWICZENIA

4. OPRACOWANIE WYNIKÓW

5. PYTANIA KONTROLNE

6. LITERATURA

1.PODSTAWY FIZYCZNE

Do najbardziej charakterystycznych zjawisk ruchu falowego należy interferencja. W najogólniejszym sformułowaniu, jest to efekt nakładania się fal. W wyniku tego nałożenia może wystąpić wzmocnienie natężenia fali wypadkowej (fale nakładają się w fazach zgodnych) lub osłabienie (nakładanie się fal o fazach przeciwnych). Przy czym, fazą nazywamy argument funkcji okresowej opisującej rozchodzącą się falę. Aby można było zaobserwować zjawisko interferencji, nakładające się fale (o tej samej częstości) muszą posiadać stałą w czasie różnicę faz, tzn. muszą być spójne.

Jeżli ten warunek nie jest spełniony, to w pewnych chwilach czasu w danym punkcie przestrzeni fazy są zgodne, powodując wzmocnienie, a w innych chwilach przeciwne, dając osłabienie. Rezultatem tych szybko zmieniających się wzmocnień i osłabień jest brak dającego się zaobserwować obrazu interferencyjnego.

W przypadku emisji światła większość źródeł nie jest spójna. Przyczyną tego jest fakt, że każdy atom przechodząc z wyższego poziomu energetycznego na niższy, wysyła krótki ciąg falowy, niezależnie od innych atomów znajdujących się w stanach wzbudzonych. Nawet światło wysłane przez źródło monochromatyczne (o jednej długości fali) stanowi nałożenie krótkich ciągów falowych wysyłanych w sposób przypadkowy (nieskorelowanych fazowo), a wiec źródło jako całość nie jest źródłem spójnym.

Można zaobserwować interferencję stosując niespójne źródło światła jeżeli potrafimy zapewnić spójność wzajemną interferujących promieni (promień - strumień światła o bardzo małym przekroju). Stosowanym sposobem jest podział promienia biegnącego ze źródła na dwa, z których każdy przebywa inną drogę, a następnie spowodowanie ich ponownego nałożenia. Formalnie można przyjąć, że te dwa promienie są wysyłane przez dwa wzajemnie spójne źródła. Spójność wzajemna tych promieni będzie jednak zachowana tylko wtedy, jeżeli różnica przebywanych przez nie dróg nie będzie zbyt duża. Jeżeli ten warunek nie zostanie spełniony, wówczas promień, który przebył dłuższą drogę może "nie zdażyć" spotkać się ze swym macierzystym ciągiem falowym i spójność wzajemna nie będzie już zachowana.

Matematyczny opis interferencji.

Załóżmy, że dwie płaskie, harmoniczne fale elektromagnetyczne 1 i 2 (posiadające identyczną częstość  i ten sam kierunek polaryzacji liniowej) rozchodzą się w kierunku dodatniego zwrotu osi x . Fale te są opisywane przez wartości natężeń ich pól elektrycznych E₁ i E₂. Niech fala 2 przebywa dodatkową drogę  . Wówczas propagacja fal 1 i 2 może być opisana przez wyrażenia: E₁ = E₀₁ sin( t - kx) oraz E₂ = E₀₂ sin[  t - k(x+ ) ] gdzie E₀₁ i E₀₂ oznaczają amplitudy fal 1 i 2,
jest liczbą falową, a  - długością fali (w powietrzu).

Gdy fala 2 przebywa dodatkową drogę  w innym ośrodku niż powietrze, wówczas zmienia się długość fali w tym ośrodku, a w konsekwencji i liczba falowa k. Jeżeli współczynnik załamania na tym odcinku drogi jest równy n, to długość fali zmaleje do wartości
, a liczba falowa
wzrośnie i wyniesie nk. Wyrażenie opisujące falę 2 dla tego przypadku przyjmie postać: E₂ = E₀₂ sin(  t - kx - kn ).

Występujący w argumencie funkcji sinus iloczyn n nosi nazwę różnicy dróg optycznych (droga optyczna = współczynnik załamania razy droga geometryczna). Natomiast iloczyn kn , charakteryzujący zmianę fazy spowodowaną przebyciem dodatkowej drogi optycznej, nazywany jest kątem przesunięcia fazowego  ( =kn =
n ).

Policzymy teraz jaki będzie wynik nałożenia się fal 1 i 2.

E = E₁ + E₂ = E₀₁ sin( t - kx) + E₀₂ sin(  t - kx -  )

(1a)

Detektory fal elektromagnetycznych (w tym nasze oczy) reagują na natężenie fali I tj. średnią ilość energii padającej na jednostkową powierzchnię w jednostce czasu. Energia przenoszona przez falę jest proporcjonalna do kwadratu natężenia pola elektrycznego. Dla rozpatrywanego przez nas przypadku (patrz (1a)) będzie więc proporcjonalna do:

E² = (E₁+E₂)² = E₀₁² sin²( t - kx) + E₀₂²sin²(  t - kx -  ) + 2 E₀₁ E₀₂ sin( t - kx) sin(  t - kx -  )

(1b)

Zgodnie ze znanym wzorem trygonometrycznym: cos - cos =
ostatni człon wyrażenia na E² możemy przekształcić do postaci następującej:

2 E₀₁ E₀₂ sin( t - kx) sin(  t - kx -  ) = E₀₁ E₀₂ { cos( ) - cos[ 2(  t - kx ) -  ] }

Biorąc pod uwagę ostatni wynik, E² możemy wyrazić jako:

E² = E₀₁² sin²( t - kx) + E₀₂²sin²(  t - kx -  ) + E₀₁ E₀₂ { cos - cos[ 2(  t - kx ) -  ] }

(2)

Z równania (2) wynika, że energia przenoszona przez falę zależy od czasu. Jednakże detektor rejestruje nie chwilową wartość natężenia fali, ale średnią w czasie wartość strumienia energii. Dla rozpatrywanego tu rodzaju fal, można tę średnią policzyć według wzoru:

(3)

Jak wynika z (2) i (3) znalezienie  E^2> sprowadza się do policzenia średnich wartości w okresie funkcji typu sin²( t+δ ) i cos(2 t+γ ). Uśrednienie pierwszej z wymienionych funkcji daje wartość 1 2 , a drugiej 0. Stąd otrzymujemy:

(4)

czyli:

(5)

Pierwszy wyraz prawej strony wyrażenia (5) (tj. I₁) jest natężeniem fali 1, drugi natężeniem fali 2, natomiast trzeci opisuje efekt interferencji fali 1 i 2. W zależności od kąta przesunięcia fazowego
wartość tego wyrazu zmienia się granicach od
(wtedy cos = -1, a  =
= (2m+1) , gdzie m=0,1,2,...) do
(wówczas cos = 1, a  =
= m2 ).

W pierwszym przypadku wystąpi osłabienie natężenia (
), a w drugim - jego wzmocnienie (
). Warunek na osłabienie (lub wzmocnienie) natężenia najwygodniej jest sformułować w odniesieniu do różnicy dróg optycznych n .

Z powyższych rozważań wynika, że osłabienie otrzymamy, gdy
, a wzmocnienie - kiedy n =m .

Rozpatrzmy przypadek szczególny, gdy I₁ = I₂ = I₀ . Po podstawieniu tych wartości do (5) otrzymamy: I = 2I₀+2I₀cos . Dla wzmocnienia (tj. cos =1) I = 4I₀ . Oznacza to, że przy nałożeniu fal 1 i 2 wypadkowe natężenie jest aa cztery razy większe od natężenia fali składowej, a nie dwa razy, jak tego należałoby oczekiwać. Czyżby zasada zachowania energii przestała tu obowiązywać? To pozorne naruszenie zasady zachowania energii łatwo wyjaśnimy, jeżeli zwrócimy uwagę na fakt, że oprócz miejsc, gdzie występuje wzmocnienie, dla których I = 4I₀ , istnieją takie obszary, gdzie otrzymujemy I = 0 , a więc wygaszenie. Spotykamy się tu nie z naruszeniem zasady zachowania energii, a tylko z redystrybucją energii w przestrzeni. W powyższych rozważaniach przesunięcie fazy było spowodowane przebyciem dodatkowej drogi  . Nie jest to jedyna przyczyna zmieniająca fazę. Odbicie światła w zależności od rodzaju powierzchni odbijającej i kąta padania może również zmienić fazę (w sposób skokowy).

2. OPIS ĆWICZENIA

Połóżmy na płaską płytkę szklaną soczewkę płasko-wypukłą o dużym promieniu krzywizny, tak aby strona wypukła dotykała płytki (rys.1a). Pomiędzy soczewką a płytką utworzy się szczelina powietrza o zmiennej grubości. Oświetlmy teraz ten układ światłem monochromatycznym o długości fali  , biegnącym prostopadle do powierzchni płytki. Promienie odbite od wypukłej strony soczewki (1') będą mogły interferować z promieniami odbitymi od górnej powierzchni płytki (1''), gdyż są wzajemnie spójne jako pochodzące z podziału tego samego promienia macierzystego (1), a różnica dróg optycznych między nimi nie jest duża (  100  ). Inne promienie nie spełniają tych warunków.

W zależności od różnicy faz nakładających się promieni 1' i 1'' wystąpi wzmocnienie lub osłabienie natężenia światła. Ponieważ punkty o tej samej różnicy faz będą leżały na okręgach, zaobserwujemy w mikroskopie rodzinę na przemian ciemnych i jasnych współśrodkowych pierścieni (rys. 1). Te ciemne noszą nazwę pierścieni Newtona.

Rys.1 Bieg promieni przy powstaniu pierścieni Newtona oraz obraz tych pierścieni w mikroskopie.

Zgodnie z wcześniej przedstawionymi rozważaniami wzmocnienie nastąpi, gdy: n =m (m=0,1,2,...), a osłabienie (wygaszenie), jeżeli: n =(2m+1)  2. Różnicę dróg optycznych n w naszym przypadku (rys.1a) stanowi odcinek 2e (gdyż n=1, a światło przebywa odcinek e dwukrotnie). Ze względu na zmianę fazy na przeciwną przy odbiciu od ośrodka optycznie gęstszego, należy jeszcze do 2e dodać   2. Eksperymentalnym potwierdzeniem wspomnianego skoku fazy jest powstanie ciemnego krążka w punkcie styku soczewki z płytką (prążek zerowego rzędu). Po uwzględnieniu powyższych uwag warunek na wygaszenie przybierze postać
, a po przekształceniu:

2e = m

(6a)

Wzmocnienie otrzymujemy, gdy:

(6b)

Powiążemy teraz e z innymi parametrami, które można stosunkowo łatwo zmierzyć. Z trójkąta AOB (rys.1a) mamy związek: R² = r_m² + (R - e)². Po podniesieniu do kwadratu dostajemy: R² = r_m² + R² - 2Re + e² . Ponieważ e  R, to wyraz e² można pominąć. Po wykonaniu redukcji dostajemy ostatecznie:
. Po podstawieniu tego wyrażenia do (6a) otrzymujemy związek łączący promien Newtona r_m rzźdu m z promieniem krzywizny soczewki R, d3ugooci1 fali  i rzedem interferencji m.

r_m² = R m

(7)

Jeżeli różnica dróg optycznych będzie powstawać nie w przestrzeni pomiędzy płaszczyzną a wypukłą stroną soczewki, tylko w klinie powietrznym, powstałym przy nachyleniu pod małym kątem dwóch podstawowych szkieł mikroskopowych, to wówczas w polu widzenia (w mikroskopie) zobaczymy ciemne prążki (patrz rys.2). Oznacza to, że grubość klina w miejscu powstania danego prążka spełnia warunek:

2e = m

(8)

gdzie 2e jest podwojoną grubością klina (światło biegnie tam i z powrotem - porównaj rys.3).

Grubości klina odpowiadające dwóm kolejnym prążkom będą się różnić o pół długości fali (porównaj wzór (8)).

Gdy jedna z powierzchni tworzących klin nie będzie płaszczyzną, a będzie zawierać np. rowek o głębokości h (rys.4a), to wtedy obraz prążków ulega zmianie i będzie taki jak na rys.4b . Oczywiście zawsze ten sam prążek, niezależnie od kształtu, będzie łączył miejsca o tej samej grubości klina. Dlatego prążki te noszą nazwę prążków jednakowej grubości.

Na podstawie przesunięcia prążka można wyznaczyć głębokość rowka. Uwzględniając, że wzrost grubości klina o pół długości fali daje przesunięcie prążka w polu widzenia o d, to przesunięcie prążka o x musi być spowodowane głębokością rowka h, zgodnie z równaniem wynikającym z proporcji:

(9)

Efekt przesunięcia prążków może być spowodowany również obecnoocią uskoku na powierzchni odbijającej (rys.4a i 4b). Analizując kierunek przesunięcia prążków można ustalić co spowodowało przesunięcie: wgłębienie czy wypukłość, obecne na powierzchni odbijającej. Każdy z tych przypadków daje inny (przeciwny) kierunek przesunięcia. Przy ustalaniu co spowodowało przesunięcie prążków, wgłębienie czy wypukłość, należy wziąć pod uwagę zarówno kierunek klina, jak i odwracanie obrazu w mikroskopie użytym do obserwacji.

3.WYKONANIE ĆWICZENIA

1. Włączyć monochromatyczne źródło światła o znanej długości fali  .

2. Położyć na stoliku krzyżowym płytkę płasko-równoległą z soczewką i znaleźć ostry obraz pierścieni Newtona.

3. Zmierzyć promienie co najmniej 6-ciu pierścieni Newtona r_m , notując ich rząd interferencji m.

4. Z dwóch mikroskopowych szkieł podstawowych, z których jedno posiada rowek, wypukłość lub uskok, sporządzić klin o małym kącie rozwarcia, wkładając na jednym końcu kawałek cienkiej bibułki pomiędzy szkiełka lub stosując nacisk na położone na siebie szkiełka.

5. Zaobserwować obraz prążków interferencyjnych i ich przesunięcie w obrębie rowka, wypukłości lub uskoku. Obraz prążków korygujemy dociskiem szkiełek.

6. Po ustaleniu rodzaju deformacji powierzchni odbijającej (rowek czy wzniesienie), zmierzyć przesunięcie prążków x i odległość pomiędzy nimi d. Oszacować błędy  d i  x.

7. Używając źródeł światła o nieznanej długości fali zmierzyć promienie co najmniej 6-ciu pierścieni Newtona r_m (notując m).

4. OPRACOWANIE WYNIKÓW

1. Sporządź wykres zależności r_m² w funkcji  m dla światła o znanej długości fali.

2. Stosując metodę najmniejszej sumy kwadratów do wzoru (7), kładąc: y=r_m² oraz x= m, obliczyć R oraz  R.

3. Sporządzić wykres zależności r_m² od Rm (gdzie R - promień krzywizny wyznaczony w p.2) dla źródła o nieznanej długości fali oraz stosując metodę najmniejszej sumy kwadratów znaleźć nieznaną długość fali  i jej błąd   .

4. Na podstawie wzoru (9) wyznaczyć głębokość rowka (uskoku) h lub wysokość wzniesienia oraz obliczyć  h stosując metodę różniczki zupełnej.

5. Przeprowadzić dyskusję otrzymanych rezultatów.

5. PYTANIA KONTROLNE

1. Jakie warunki muszą być spełnione, aby można było zaobserwować zjawisko interferencji ?

2. Jak uzyskać wzajemną spójność promieni ?

3. Jak obliczyć wypadkowe natężenie interferujących fal ?

4. Jakie są warunki uzyskania wzmocnienia (osłabienia) natężenia fali wypadkowej w zjawisku interferencji ?

5. Jak otrzymać obraz pierścieni Newtona (ich opis matematyczny) ?

6. Jak wyznaczyć głębokość rowka (wysokość wypukłości) ?

---