Co nieco o statystyce

Najczęściej wykorzystywanymi metodami opisywania zestawu danych liczbowych są: średnia arytmetyczna, mediana, dominanta, średnia ważona i odchylenie standardowe.

Średnią arytmetyczną n liczb a₁,a₂,...,a_n nazywamy liczbę

Średnia arytmetyczna jest właśnie tym, co w potocznym języku określa się mianem średniej.

Na przykład średnią liczb 2, 2, 5 i 7 jest

Średnia arytmetyczna jest jedną z najbardziej intuicyjnych miar oceny populacji, stosowanych często w codziennym życiu - przykładem może być średni wzrost w grupie osób mających wzrost 174, 178, 182 i 185 cm. Średni wzrost wynosi 179,75 cm.

W podobny sposób można mówić o średniej płacy w danej firmie, średniej cenie pomarańczy na targowiskach w lipcu 2004 roku czy średniej ocen studenta w roku akademickim.

Mediana (zwana też wartością środkową) to w statystyce wartość w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba danych.

Niech a₁,a₂,...,a_n oznacza ciąg liczb, w którym każda następna liczba jest nie mniejsza od poprzedniej, czyli dla dowolnych dwóch kolejnych liczb a_n i a_n+1 spełniony jest warunek a_n ≤ a_n+1.

Gdy n jest liczbą nieparzystą, to medianą liczb a₁,a₂,...,a_n nazywamy środkowy wyraz tego ciągu. Gdy n jest liczbą parzystą, to medianą liczb a₁,a₂,...,a_n nazywamy średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów tego ciągu..

Np. By wyznaczyć medianę dla ciągu liczb 16, 13, 7, 25, 14, 5 należy najpierw go uporządkować

5, 7, 13, 14, 16, 25

Ponieważ wszystkich wyraz jest parzysta liczba, wybieramy dwa środkowe (13 i 14) i wyznaczamy ich średnią arytmetyczną
. Otrzymany wynik jest medianą tego zestawu danych.

Dla zestawu liczb 1, 4, 5, 8, 3, 2, 7, 2, 2, 3, 5 medianą jest liczba 3 (po uporządkowaniu 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 7, 8) .

Mediana dzieli zestaw danych na dwie równoliczne części. Wyrazy pierwszej części są mniejsze od mediany lub jej równe. Wyrazy drugiej części są jej równe lub od niej większe.

Dominanta (moda, wartość modalna) zestawu danych to wartość, która w tym zestawie występuje najczęściej. Jeśli w zestawie kilka wartości występuje z tą samą (najwyższą) częstością, każda z tych wartości jest dominantą. Jeśli wszystkie wartości w zestawie występują z taka samą częstością, to wówczas zestaw ten nie posiada dominanty.

Zestaw 16, 13, 7, 25, 14, 5 nie posiada dominanty, a w zestawie 1, 4, 5, 8, 3, 2, 7, 2, 2, 3, 5 dominanta jest liczba 2.

Mając zestaw danych liczbowych, możemy obliczyć zarówno ich średnią arytmetyczną, medianę czy dominantę, jednak nie zawsze wszystkie te wielkości są tak samo użyteczne. Łatwo sobie wyobrazić sytuację, w której ani średnia arytmetyczna, ani mediana nie są tak użyteczne jak dominanta. Np. producentów sprzętu sportowego na pewno najbardziej zainteresuje najczęstsza (dominująca) opinia klientów, czyli dominanta.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania 1- 4 str. 238-239 oraz zadania 9 -12, 14 str.240 - 241z podręcznika.

Gdy obliczamy średnią arytmetyczną liczb, wszystkie liczby traktujemy tak samo (żadna z nich nie jest wyróżniona). Czasami jednak do niektórych danych przywiązujemy większą wagę i chcemy to uwzględnić przy obliczaniu wartości przeciętnej. Ten rodzaj średniej, w którym nie każda wielkość jest jednakowo ważna, nazywamy średnia ważoną. Czynniki, które opisują znaczenie, jakie chcemy nadać poszczególnym wartościom, nazywamy wagami średniej ważonej.

Średnia ważona liczb x₁, x₂, ..., x_n z wagami odpowiednio a₁,a₂,...,a_n (gdzie a₁,a₂,...,a_n oznaczają liczby dodatnie) to liczba
obliczana według wzoru:

Gdy wszystkie wagi są równe średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej.

Przykład

Oblicz średnią ważoną liczb 3, 5, 7, 10 z wagami odpowiednio 1, 1, 3, 5.

Ćwiczenie 2

Rozwiąż zadania 1- 5 str. 246-247 oraz zadania 8 str.248 z podręcznika.

---