METODA ZERO - JEDYNKOWA
Tak zwane tabelki zero - jedynkowe służą do określania prawdziwości lub fałszywości zdań zawierających spójniki logiczne. Prawdę lub fałsz nazywamy wartością logiczną zdania. W notacji logicznej symbol 0 oznacza zdanie fałszywe, natomiast 1 zdanie prawdziwe. Wartość logiczną zdania prostego zapisujemy zwykle pod (lub nad) odpowiadającą mu zmienną, wartość logiczną zdania złożonego zapisujemy pod głównym spójnikiem tego zdania.
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Tabelka dla negacji ukazuję dość oczywistą prawidłowość, że negacja zmienia wartość
logiczną zdania. Gdy weźmiemy dowolne zdanie fałszywe (oznaczone - 0) i następnie zanegujemy je, to otrzymamy zdanie prawdziwe (oznaczone 1). Na przykład: Gdańsk jest stolicą Polski - fałsz, Gdańsk nie jest stolicą Polski - prawda. Natomiast poprzedzenie negacją zdania prawdziwego czyni z niego zdanie fałszywe. Na przykład: Kraków leży nad Wisłą - prawda, Kraków nie leży nad Wisłą - fałsz.
Tabelka dla alternatywy pokazuje, iż jest ona zdaniem fałszywym tylko w jednym
przypadku - gdy oba jej człony są fałszywe. Gdy przynajmniej jeden człon jest zdaniem prawdziwym - prawdziwa jest również cała alternatywa.
Gdy w prognozie pogody słyszymy, że będzie padał deszcz lub śnieg, tymczasem
następnego dnia nie będzie ani deszczu, ani śniegu (czyli oba człony alternatywy okażą się zdaniami fałszywymi), to całą prognozę należy uznać za fałszywą. Gdy jednak spadnie sam deszcz (pierwszy człon prawdziwy), sam śnieg (drugi człon prawdziwy), lub też i śnieg i deszcz (oba człony alternatywy prawdziwe), zdanie mówiące że będzie padał deszcz lub śnieg okazuje się prawdziwe.
Z tabelki dla implikacji możemy dowiedzieć się, że zdanie, którego głównym spójnikiem jest jeśli... to może być fałszywe tylko w jednym wypadku, mianowicie, gdy jego poprzednik jest prawdziwy, natomiast następnik fałszywy.
Jako przykładem ilustrującym tabelkę dla implikacji posłużymy się zdaniem
wypowiedzianym przez ojca do dziecka: Jeśli zdasz egzamin, to dostaniesz komputer. Gdy następnie dziecko nie zdaje egzaminu i komputera nie dostaje (pierwszy wiersz tabeli - poprzednik i następnik implikacji fałszywe) lub gdy zdaje egzamin i dostaje komputer (ostatni wiersz tabeli - poprzednik i następnik implikacji prawdziwe), to nie powinno być wątpliwości, że obietnica ojca okazała się prawdziwa. Gdy natomiast dziecko zdaje egzamin, a jednak komputera nie dostaje (trzeci wiersz tabeli - poprzednik implikacji prawdziwy, a następnik fałszywy), należy wówczas uznać, że ojciec skłamał składając swoją obietnicę.
Z uwagi na rzadkie występowanie w języku potocznym spójnika wtedy i tylko wtedy
trudno jest wskazać przykłady obrazujące prawomocność powyższej tabelki.
Najłatwiejszym sposobem na zapamiętanie tabelki dla równoważności wydaje się
skojarzenie, że aby równoważność była prawdziwa, obie jej strony muszą być „równoważne” sobie, to znaczy albo obie fałszywe (pierwszy wiersz tabeli), albo oba prawdziwe (ostatni wiersz). Gdy natomiast strony równoważności posiadają różne wartości logiczne (drugi i trzeci wiersz tabeli), cała równoważność jest fałszywa.
Przykład:
Obliczymy wartość logiczną zdania p → (q ^ r) przy założeniu, że zmienne p i q reprezentują zdanie prawdziwe, natomiast zmienna r - zdanie fałszywe, a więc zachodzi sytuacja:
p → (q ^ r)
1 1 0
Wartość logiczną całego zdania reprezentować będzie symbol umieszczony pod głównym spójnikiem schematu, a więc pod implikacją. Aby określić wartość implikacji musimy znać wartość jej poprzednika i następnika. Poprzednikiem implikacji jest tu zdanie proste p i jego wartość mamy już podaną. Natomiast następnikiem jest tu całe ujęte w nawias wyrażenie (p ^ q), którego wartość musimy dopiero obliczyć. Robimy to korzystając z tabelki dla koniunkcji, a dokładniej jej wiersza mówiącego, że gdy pierwszy człon koniunkcji jest prawdziwy, a drugi fałszywy, to cała koniunkcja jest fałszywa. Mamy zatem sytuację:
p → (q ^ r)
1 1 0 0
(symbole podkreślone pokazują wartości, z których skorzystaliśmy do obliczeń)
W tym momencie możemy już określić wartość logiczną całego zdania, sprawdzając w tabelce jaką wartość przyjmuje implikacja, której poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.
p → (q ^ r)
1 0 1 0 0
Ostatecznie widzimy, że całe zdanie jest fałszywe, ponieważ pod głównym spójnikiem otrzymaliśmy wartość 0.
Przykład:
Obliczymy wartość logiczną zdania (p → q) v ~ r, przy założeniach: p - 1, q - 0, r - 0, a więc:
(p → q) v ~ r
1 0 0
W tym przypadku głównym spójnikiem jest alternatywa. Oba jej człony stanowią zdania
złożone (p → q oraz ~ r), których wartości należy obliczyć najpierw. Korzystamy do tego z
tabelek dla implikacji oraz dla negacji.
(p → q) v ~ r
1 0 0 0
(p → q) v ~ r
1 0 0 1 0
Gdy znamy wartości logiczne obu członów alternatywy, możemy obliczyć ostateczny wynik. Czynimy to korzystając z tabelki dla alternatywy i biorąc pod uwagę wartości otrzymane pod implikacją oraz negacją, czyli głównymi spójnikami obu członów alternatywy.
(p → q) v ~ r
1 0 0 1 1 0
…………………………………………………………………………………
Obliczymy wartość logiczną zdania: ~ (p ^ q) ≡ (~ r → ~ s)
przy założeniach: p - 1, q -0, r - 1, s - 0, a więc:
~ (p ^ q) ≡ (~ r → ~ s)
1 0 1 0
Głównym spójnikiem jest tu oczywiście równoważność. Obliczanie wartości jej stron rozpocząć musimy od obliczenia wartości koniunkcji w pierwszym nawiasie oraz negacji zdań prostych w drugim.
~ (p ^ q) ≡ (~ r → ~ s)
1 0 0 1 0
~ (p ^ q) ≡ (~ r → ~ s)
1 0 0 0 1 1 0
Następnie możemy określić wartość implikacji w drugim nawiasie, biorąc pod uwagę
wartości otrzymane pod negacją r oraz negacją s (ponieważ poprzednikiem i następnikiem
implikacji są zdania złożone ~ r i ~ s):
~ (p ^ q) ≡ (~ r → ~ s)
1 0 0 0 1 1 1 0
W tym momencie nie możemy jeszcze przystąpić do określenia wartości logicznej równoważności, ponieważ nie została obliczona do końca wartość jej lewej strony. Pierwszy człon równoważności to bowiem nie sama koniunkcja (p ^ q), ale dopiero negacja tej koniunkcji. Negacja jest tu głównym spójnikiem (dopiero ona spina koniunkcję w całość), musimy więc najpierw obliczyć wartość negacji:
~ (p ^ q) ≡ (~ r → ~ s)
1 1 0 0 0 1 1 1 0
Dopiero teraz możemy określić wartość całego zdania:
~ (p ^ q) ≡ (~ r → ~ s)
1 1 0 0 1 0 1 1 1 0
4