Wzory 15

WZORY 15: analiza wariancji z klasyfikacją pojedynczą

W modelu analizy wariancji z klasyfikacją pojedynczą z populacji o rozkładzie normalnym zmiennej losowej Y wyodrębnia się k podpopulacji o rozkładzie normalnym tej zmiennej określonym przez średnie μi (i = 1,..., k) oraz jednakowe, choć niekoniecznie znane, wariancje σ^2. Kryterium podziału populacji na podpopulacje są poziomy czynnika, który występuje w k wariantach. Czynnik jest zmienną nielosową, którą możemy oznaczyć symbolem X.

Sprawdzamy hipotezę mówiącą, że średnie μi są we wszystkich wyodrębnionych podpopulacjach jednakowe. Hipoteza alternatywna głosi, że średnie μi są różne dla co najmniej dwóch wyodrębnionych podpopulacji. Zatem

x0 : μ1 = μ2 = ,..., = μk, x1 : μi … μj dla i … j, i, j = 1,..., k

Narzędziem weryfikacji hipotezy sprawdzanej xo jest statystyka F dana wzorem (15.1):

(15.1)

W liczniku i mianowniku wzoru (15.1) występują składniki równości wariancyjnej: wzór (15.2)

SST = SSB + SSE

gdzie

zróżnicowanie międzygrupowe SSB: wzór (15.3)

, i = 1,..., k, j = 1,..., ni, .

zróżnicowanie wewnątrzgrupowe SSE: wzory (15.4)

, ,

zróżnicowanie ogólne SST: wzory (15.5)

, , dla

, , , , , ,

Statystyka F ma rozkład F-Snedecora określony przez k - 1 oraz n - k stopni swobody.

Zbiorem wartości krytycznych w teście F jest zbiór K dany jako: , gdzie  jest wartością odczytaną z tablic rozkładu F-Snedecora przyjętym poziomie istotności α oraz ustalonej liczbie stopni swobody, która wynosi v1 = k - 1 oraz v2 = n - k, tak, aby .

Jeżeli obliczona podstawie wyników n-elementowej losowej próby statystyka F przyjmuje wartość należącą do zbioru K czyli przekroczy wartość  to, przy poziomie istotności α oraz przy ustalonej liczbie stopni swobody, odrzucamy hipotezę badaną mówiącą, że wartości oczekiwane są jednakowe, czyli że badany czynnik nie różnicuje wartości zmiennej losowej Y, na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że wartości oczekiwane są różne, czyli że badany czynnik różnicuje wartości zmiennej losowej Y.

Jeżeli obliczona podstawie wyników losowej próby statystyka F przyjmie wartość nie należącą do zbioru K czyli nie przekroczy wartości  to, przyjętym poziomie istotności α oraz przy ustalonej liczbie stopni swobody, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy badanej mówiącej, że wartości oczekiwane są jednakowe, czyli że badany czynnik nie różnicuje wartości zmiennej losowej Y.

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.