Wzory 21
WZORY 21: wzory ważone i nieważone składników równości wariancyjnej cechy zależnej mierzalnej X, ważony i nieważony wskaźnik korelacyjny
Dane indywidualne (dane jednostkowe) |
Tablica korelacyjna: rozkłady punktowe |
Tablica korelacyjna: rozkłady przedziałowe |
(xi, yi) i = 1,..., nj j = 1,..., l |
(xi, yj) i = 1,..., k j = 1,..., l |
i = 1,..., k j = 1,..., l |
(1) |
(2) |
(3) |
Zróżnicowanie ogólne SSTx: wzory (21.1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gdzie |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zróżnicowanie międzygrupowe SSBx: wzory (21.2) |
||
|
|
|
gdzie |
||
|
|
|
Zróżnicowanie wewnątrzgrupowe SSEx: wzory (21.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gdzie |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Równość wariancyjna cechy zależnej mierzalnej X: wzory (21.4) |
||
SSTx = SSBx + SSEx |
SSTx = SSBx + SSEx |
SSTx = SSBx + SSEx |
Kwadrat wskaźnika korelacyjnego |
||
|
|
|
Wskaźnik korelacyjny exy: wzory (21.6) |
||
|
|
|
Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego |
||
|
|
|
Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego |
||
|
|
|
Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego |
||
|
|
|
Wyżej przytoczono, za literaturą przedmiotu, następujące oznaczenia (por. np. J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa, 1998, rozdział 14: Analiza wariancji, s. 331): |
SSTx jest angielskim skrótem określenia: ogólna suma kwadratów odchyleń wartości zmiennej zależnej od średniej arytmetycznej ogólnej tej zmiennej. |
SSBx jest angielskim skrótem określenia: suma kwadratów odchyleń średnich artymetycznych grupowych od średniej arytmetycznej ogólnej ważonych liczebnościami grup. |
SSEx jest angielskim skrótem określenia: zsumowana dla poszczególnych grup suma kwadratów odchyleń wartości zmiennej zależnej z danej grupy od średniej arytmetycznej tej grupy. |
Ważony i nieważony wskaźnik korelacyjny cechy zależnej X w formule wzoru najczęściej stosowanego do obliczeń |
Dla danych pogrupowanych w tablicy korelacyjnej w rozkłady punktowe lub przedziałowe o wymiarach k x l (gdzie i = 1,..., k oraz j = 1,..., l) wzory wskaźników korelacyjnych z próby mierzących siłę wpływu cechy niezależnej Y na cechę zależną X są następujące: |
(21.A) lub
(21.B) |
Dla danych indywidualnych xij dotyczących cechy zależnej X analogiczny wzór dla i = 1,..., nj oraz j = 1,..., l można zapisać następująco: |
(21.C) |
Oba wzory znajdują uzasadnie w równości wariancyjnej, w której ogólne zróżnicowanie (dyspersja, zmienność, rozrzut, rozproszenie) zależnej mierzalnej cechy Y jest przedstawione jako suma zróżnicowania międzygrupowego i wewnątrzgrupowego cechy X. |
Dla danych inywidualnych oraz dla danych pogrupowanych w tablicy korelacyjnej ogólny wzór wskaźnika korelacyjnego oparty na składnikach SSTx, SSBx i SSEx równości wariancyjnej jest taki sam: |
(21.D) |
Kwadrat wskaźnika korelacyjnego |
Ważona (21.A) i (21.B) lub nieważona (21.C) odmiana wzoru (21.D) zastosowana do obliczeń prowadzi do różnic w wynikach na skutek błędu grupowania. Jest to problem wspólny dla wszystkich miar ważonych, omawiany szeroko w literaturze przedmiotu na przykładzie średniej arytmetycznej, wariancji, współczynnika korelacji liniowej. Nie spotkałam natomiast podobnych do wyżej przedstawionych rozważań dotyczących wskaźnika korelacyjnego. |
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998. |