Wzory 21, Statystyka, Kasperowicz-Ruka


Wzory 21

WZORY 21: wzory ważone i nieważone składników równości wariancyjnej cechy zależnej mierzalnej X, ważony i nieważony wskaźnik korelacyjny

Dane indywidualne

(dane jednostkowe)

Tablica korelacyjna:

rozkłady punktowe

Tablica korelacyjna:

rozkłady przedziałowe

(xi, yi)

i = 1,..., nj

j = 1,..., l

(xi, yj)

i = 1,..., k

j = 1,..., l

0x01 graphic

i = 1,..., k

j = 1,..., l

(1)

(2)

(3)

Zróżnicowanie ogólne SSTx: wzory (21.1)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Zróżnicowanie międzygrupowe SSBx: wzory (21.2)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Zróżnicowanie wewnątrzgrupowe SSEx: wzory (21.3)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Równość wariancyjna cechy zależnej mierzalnej X: wzory (21.4)

SSTx = SSBx + SSEx

SSTx = SSBx + SSEx

SSTx = SSBx + SSEx

Kwadrat wskaźnika korelacyjnego 0x01 graphic
: wzory (21.5)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
.

Wskaźnik korelacyjny exy: wzory (21.6)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego 0x01 graphic
 ze współczynnikiem korelacji liniowej r: wzory (21.7) (dla 0x01 graphic
 > 0, na podstawie wzorów (21.1), (21.5) i zestawu 17 wzorów)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego 0x01 graphic
 ze współczynnkiem korelacji liniowej r oraz ze współczynnikiem regresji liniowej 0x01 graphic
: wzory (21.8) (dla 0x01 graphic
 >0, na podstawie wzoru (21.7) i zestawu 18 wzorów)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego 0x01 graphic
 ze współczynnikiem regresji liniowej ay: wzory (21.9) (dla 0x01 graphic
 > 0, na podstawie wzoru (21.8) i zestawu 18 wzorów)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wyżej przytoczono, za literaturą przedmiotu, następujące oznaczenia (por. np. J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa, 1998, rozdział 14: Analiza wariancji, s. 331):

SSTx jest angielskim skrótem określenia: ogólna suma kwadratów odchyleń wartości zmiennej zależnej od średniej arytmetycznej ogólnej tej zmiennej.

SSBx jest angielskim skrótem określenia: suma kwadratów odchyleń średnich artymetycznych grupowych od średniej arytmetycznej ogólnej ważonych liczebnościami grup.

SSEx jest angielskim skrótem określenia: zsumowana dla poszczególnych grup suma kwadratów odchyleń wartości zmiennej zależnej z danej grupy od średniej arytmetycznej tej grupy.

Ważony i nieważony wskaźnik korelacyjny cechy zależnej X w formule wzoru najczęściej stosowanego do obliczeń

Dla danych pogrupowanych w tablicy korelacyjnej w rozkłady punktowe lub przedziałowe o wymiarach k x l (gdzie i = 1,..., k oraz j = 1,..., l) wzory wskaźników korelacyjnych z próby mierzących siłę wpływu cechy niezależnej Y na cechę zależną X są następujące:

(21.A)  0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic

lub

(21.B)  0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic

Dla danych indywidualnych xij dotyczących cechy zależnej X analogiczny wzór dla i = 1,..., nj oraz j = 1,..., l można zapisać następująco:

(21.C)  0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic

Oba wzory znajdują uzasadnie w równości wariancyjnej, w której ogólne zróżnicowanie (dyspersja, zmienność, rozrzut, rozproszenie) zależnej mierzalnej cechy Y jest przedstawione jako suma zróżnicowania międzygrupowego i wewnątrzgrupowego cechy X.

Dla danych inywidualnych oraz dla danych pogrupowanych w tablicy korelacyjnej ogólny wzór wskaźnika korelacyjnego oparty na składnikach SSTx, SSBx i SSEx równości wariancyjnej jest taki sam:

(21.D)  0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
.

Kwadrat wskaźnika korelacyjnego 0x01 graphic
 umożliwia odpowiedź na pytanie, jaką część całkowitej zmienności cechy zależnej X można przypisać wpływowi cechy niezależnej Y. Wskaźnik korelacyjny exy informuje o sile tego wpływu.

Ważona (21.A) i (21.B) lub nieważona (21.C) odmiana wzoru (21.D) zastosowana do obliczeń prowadzi do różnic w wynikach na skutek błędu grupowania. Jest to problem wspólny dla wszystkich miar ważonych, omawiany szeroko w literaturze przedmiotu na przykładzie średniej arytmetycznej, wariancji, współczynnika korelacji liniowej. Nie spotkałam natomiast podobnych do wyżej przedstawionych rozważań dotyczących wskaźnika korelacyjnego.

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wzory 24, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 23, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 15, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 34, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 33, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 32, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 11, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 16, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 28, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 31, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 25, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 18, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 27, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 36, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 19, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 35, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 10, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 14, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 26, Statystyka, Kasperowicz-Ruka

więcej podobnych podstron