Naprężenia : tg2α₀=2σ₁₂/(σ₁₁-σ₂₂) , σ₁₁=E/(1-v²)*(ε₁₁+vε₂₂) , σ₂₂=E/(1-v²)*(ε₂₂+vε₁₁) , ε₁₂=2Gε₁₂ .

Niezmienniki: σ(σ²-σI_σ+II_σ)=0 => I_σ=σ₁₁+σ₂₂ , II_σ=σ₁₁σ₂₂-σ₁₂² , III_σ=0

Główne: σ₁=1/2*(σ₁₁+σ₂₂)+1/2*√[(σ₁₁-σ₂₂)²+4σ₁₂²] , σ₂=1/2*(σ₁₁+σ₂₂)-1/2*√[(σ₁₁-σ₂₂)²+4σ₁₂²] , α₀₁=α₀ , α₀₂=α₀+π/2 ,

Pod kątem: σ₁₁=1/2*(σ₁+σ₂)+1/2*(σ₁-σ₂)cos2α , σ₂₂=1/2*(σ₁+σ₂)-1/2*(σ₁-σ₂)cos2α , σ₁₂=-1/2*(σ₁-σ₂)sin2α ,Odkształcenia: ε₁₁=1/2*(ε₁+ε₂)+1/2*(ε₁-ε₂)cos2α , ε₂₂=1/2*(ε₁+ε₂)-1/2*(ε₁-ε₂)cos2α , ε₁₂=-1/2*(ε₁-ε₂)sin2α , ε₁=1/2*(ε₁₁+ε₂₂)+1/2*√[(ε₁₁-ε₂₂)²+4ε₁₂²] , ε₂=1/2*(ε₁₁+ε₂₂)-1/2*√[(ε₁₁-ε₂₂)²+4ε₁₂²] , tg2α₀=2ε₁₂/(ε₁₁-ε₂₂) .

Stałe materiałowe : ε₁₁=1/E*σ₁₁ ,ε₂₂=-v/E*σ₁₁ ,ε₃₃=-v/E*σ₁₁ , : ε₁₁=1/E*[σ₁₁-v*(σ₂₂+σ₃₃)] ,ε₂₂=1/E*[σ₂₂-v*(σ₃₃+σ₁₁)] ,ε₃₃=1/E*[σ₃₃-v*(σ₁₁+σ₂₂)] ,ε₁₂=1/2G*σ₁₂ ,ε₂₃=1/2G*σ₂₃ ,ε₃₁=1/2G*σ₃₁ ,

Dla płaskiego stanu: ε₁₁=1/E*(σ₁₁-vσ₂₂) , ε₂₂=1/E*(σ₂₂-vσ₁₁) , ε₁₂=1/2G*σ₁₂ ,

Moduł sprężystości postaciowej: G=E/[2*(1+v)] .Moduł Helmholtza(ściśliwości) : B=E/[3*(1-2v)] .

Energia : U=U_p+U_o , U_p- postaciowa ,U_o- objętościowa :U_p=(1+v)/(3E)*[σ₁₁²+σ₂₂²+σ₃₃²-σ₁₁σ₂₂-σ₂₂σ₃₃-σ₃₃σ₁₁+3(σ₁₂²+σ₂₃²+σ₃₁²)]=(1+v)/(3E)*[σ₁²+σ₂²+σ₃²-σ₁σ₂-σ₂σ₃-σ₃σ₁] , U_o=(1-2v)/(6E)*[σ₁₁²+σ₂₂²+σ₃₃²]= (1-2v)/(6E)*[σ₁²+σ₂²+σ₃²] ,

Hipoteza Hubera:б_red=√[б₁₁²+б₂₂²+б₃₃²-б₁₁б₂₂-б₂₂б₃₃-б₃₃б₁₁+3(б₁₂²+б₂₃²+б₃₁²)] ,lub б_red=√[б₁²+б₂²+б₃²-б₁б₂-б₂б₃-б₃б_] ] б_red=√[б₁₁²+б₂₂²-б₁₁б₂₂+3*б₁₂²] = √[б₁²+б₂²-б₁б₂] ,

Hipoteza Columba-Treski : б_red=б_max-б_min , б_red=√[б₁₁²+4б₂₂²] , ,б_red=√[4б₁₂²]-czyste ścinanie .

Naprężenia :skręcające: τ_s=M_s/W₀ W₀=2A₀δ ,normalne б_N=N/A ,gnące: б_g=M_g/W_g W_g=I/(h/2)

.Wyboczenia: P_kr=π²EI_min/l_w² -wzór Eulera na siłę kryt. ,λ=l_w/i_min -smukłość pręta ,i_min=√[I_min/A] -promień bezw. ,η=(π/μ)²-współ.bezpieczeństwa ,η=P_kr/P_dop , l_w=μ*l ,λ_gr=π*√[E/R_k] ,E=2*10⁶ τ(t)=T*S(y)/I_z*b(y) -nap.styczne. a=(3b²*δ₁)/(δh+6bδ₁) -środek ścinania siły poprzecznej

Naprężenia : tg2α₀=2σ₁₂/(σ₁₁-σ₂₂) , σ₁₁=E/(1-v²)*(ε₁₁+vε₂₂) , σ₂₂=E/(1-v²)*(ε₂₂+vε₁₁) , ε₁₂=2Gε₁₂ .

Niezmienniki: σ(σ²-σI_σ+II_σ)=0 => I_σ=σ₁₁+σ₂₂ , II_σ=σ₁₁σ₂₂-σ₁₂² , III_σ=0

Główne: σ₁=1/2*(σ₁₁+σ₂₂)+1/2*√[(σ₁₁-σ₂₂)²+4σ₁₂²] , σ₂=1/2*(σ₁₁+σ₂₂)-1/2*√[(σ₁₁-σ₂₂)²+4σ₁₂²] , α₀₁=α₀ , α₀₂=α₀+π/2 ,

Pod kątem: σ₁₁=1/2*(σ₁+σ₂)+1/2*(σ₁-σ₂)cos2α , σ₂₂=1/2*(σ₁+σ₂)-1/2*(σ₁-σ₂)cos2α , σ₁₂=-1/2*(σ₁-σ₂)sin2α ,Odkształcenia: ε₁₁=1/2*(ε₁+ε₂)+1/2*(ε₁-ε₂)cos2α , ε₂₂=1/2*(ε₁+ε₂)-1/2*(ε₁-ε₂)cos2α , ε₁₂=-1/2*(ε₁-ε₂)sin2α , ε₁=1/2*(ε₁₁+ε₂₂)+1/2*√[(ε₁₁-ε₂₂)²+4ε₁₂²] , ε₂=1/2*(ε₁₁+ε₂₂)-1/2*√[(ε₁₁-ε₂₂)²+4ε₁₂²] , tg2α₀=2ε₁₂/(ε₁₁-ε₂₂) .

Stałe materiałowe : ε₁₁=1/E*σ₁₁ ,ε₂₂=-v/E*σ₁₁ ,ε₃₃=-v/E*σ₁₁ , : ε₁₁=1/E*[σ₁₁-v*(σ₂₂+σ₃₃)] ,ε₂₂=1/E*[σ₂₂-v*(σ₃₃+σ₁₁)] ,ε₃₃=1/E*[σ₃₃-v*(σ₁₁+σ₂₂)] ,ε₁₂=1/2G*σ₁₂ ,ε₂₃=1/2G*σ₂₃ ,ε₃₁=1/2G*σ₃₁ ,

Dla płaskiego stanu: ε₁₁=1/E*(σ₁₁-vσ₂₂) , ε₂₂=1/E*(σ₂₂-vσ₁₁) , ε₁₂=1/2G*σ₁₂ ,

Moduł sprężystości postaciowej: G=E/[2*(1+v)] .Moduł Helmholtza(ściśliwości) : B=E/[3*(1-2v)] .

Energia : U=U_p+U_o , U_p- postaciowa ,U_o- objętościowa :U_p=(1+v)/(3E)*[σ₁₁²+σ₂₂²+σ₃₃²-σ₁₁σ₂₂-σ₂₂σ₃₃-σ₃₃σ₁₁+3(σ₁₂²+σ₂₃²+σ₃₁²)]=(1+v)/(3E)*[σ₁²+σ₂²+σ₃²-σ₁σ₂-σ₂σ₃-σ₃σ₁] , U_o=(1-2v)/(6E)*[σ₁₁²+σ₂₂²+σ₃₃²]= (1-2v)/(6E)*[σ₁²+σ₂²+σ₃²] ,

Hipoteza Hubera:б_red=√[б₁₁²+б₂₂²+б₃₃²-б₁₁б₂₂-б₂₂б₃₃-б₃₃б₁₁+3(б₁₂²+б₂₃²+б₃₁²)] ,lub б_red=√[б₁²+б₂²+б₃²-б₁б₂-б₂б₃-б₃б_] ] б_red=√[б₁₁²+б₂₂²-б₁₁б₂₂+3*б₁₂²] = √[б₁²+б₂²-б₁б₂] ,

Hipoteza Columba-Treski : б_red=б_max-б_min , б_red=√[б₁₁²+4б₂₂²] , ,б_red=√[4б₁₂²]-czyste ścinanie .

Naprężenia :skręcające: τ_s=M_s/W₀ W₀=2A₀δ ,normalne б_N=N/A ,gnące: б_g=M_g/W_g W_g=I/(h/2)

.Wyboczenia: P_kr=π²EI_min/l_w² -wzór Eulera na siłę kryt. ,λ=l_w/i_min -smukłość pręta ,i_min=√[I_min/A] -promień bezw. ,η=(π/μ)²-współ.bezpieczeństwa ,η=P_kr/P_dop , l_w=μ*l ,λ_gr=π*√[E/R_k] ,E=2*10⁶ τ(t)=T*S(y)/I_z*b(y) -nap.styczne. a=(3b²*δ₁)/(δh+6bδ₁) -środek ścinania siły poprzecznej

Naprężenia : tg2α₀=2σ₁₂/(σ₁₁-σ₂₂) , σ₁₁=E/(1-v²)*(ε₁₁+vε₂₂) , σ₂₂=E/(1-v²)*(ε₂₂+vε₁₁) , ε₁₂=2Gε₁₂ .

Niezmienniki: σ(σ²-σI_σ+II_σ)=0 => I_σ=σ₁₁+σ₂₂ , II_σ=σ₁₁σ₂₂-σ₁₂² , III_σ=0

Główne: σ₁=1/2*(σ₁₁+σ₂₂)+1/2*√[(σ₁₁-σ₂₂)²+4σ₁₂²] , σ₂=1/2*(σ₁₁+σ₂₂)-1/2*√[(σ₁₁-σ₂₂)²+4σ₁₂²] , α₀₁=α₀ , α₀₂=α₀+π/2 ,

Pod kątem: σ₁₁=1/2*(σ₁+σ₂)+1/2*(σ₁-σ₂)cos2α , σ₂₂=1/2*(σ₁+σ₂)-1/2*(σ₁-σ₂)cos2α , σ₁₂=-1/2*(σ₁-σ₂)sin2α ,Odkształcenia: ε₁₁=1/2*(ε₁+ε₂)+1/2*(ε₁-ε₂)cos2α , ε₂₂=1/2*(ε₁+ε₂)-1/2*(ε₁-ε₂)cos2α , ε₁₂=-1/2*(ε₁-ε₂)sin2α , ε₁=1/2*(ε₁₁+ε₂₂)+1/2*√[(ε₁₁-ε₂₂)²+4ε₁₂²] , ε₂=1/2*(ε₁₁+ε₂₂)-1/2*√[(ε₁₁-ε₂₂)²+4ε₁₂²] , tg2α₀=2ε₁₂/(ε₁₁-ε₂₂) .

Stałe materiałowe : ε₁₁=1/E*σ₁₁ ,ε₂₂=-v/E*σ₁₁ ,ε₃₃=-v/E*σ₁₁ , : ε₁₁=1/E*[σ₁₁-v*(σ₂₂+σ₃₃)] ,ε₂₂=1/E*[σ₂₂-v*(σ₃₃+σ₁₁)] ,ε₃₃=1/E*[σ₃₃-v*(σ₁₁+σ₂₂)] ,ε₁₂=1/2G*σ₁₂ ,ε₂₃=1/2G*σ₂₃ ,ε₃₁=1/2G*σ₃₁ ,

Dla płaskiego stanu: ε₁₁=1/E*(σ₁₁-vσ₂₂) , ε₂₂=1/E*(σ₂₂-vσ₁₁) , ε₁₂=1/2G*σ₁₂ ,

Moduł sprężystości postaciowej: G=E/[2*(1+v)] .Moduł Helmholtza(ściśliwości) : B=E/[3*(1-2v)] .

Energia : U=U_p+U_o , U_p- postaciowa ,U_o- objętościowa :U_p=(1+v)/(3E)*[σ₁₁²+σ₂₂²+σ₃₃²-σ₁₁σ₂₂-σ₂₂σ₃₃-σ₃₃σ₁₁+3(σ₁₂²+σ₂₃²+σ₃₁²)]=(1+v)/(3E)*[σ₁²+σ₂²+σ₃²-σ₁σ₂-σ₂σ₃-σ₃σ₁] , U_o=(1-2v)/(6E)*[σ₁₁²+σ₂₂²+σ₃₃²]= (1-2v)/(6E)*[σ₁²+σ₂²+σ₃²] ,

Hipoteza Hubera:б_red=√[б₁₁²+б₂₂²+б₃₃²-б₁₁б₂₂-б₂₂б₃₃-б₃₃б₁₁+3(б₁₂²+б₂₃²+б₃₁²)] ,lub б_red=√[б₁²+б₂²+б₃²-б₁б₂-б₂б₃-б₃б_] ] б_red=√[б₁₁²+б₂₂²-б₁₁б₂₂+3*б₁₂²] = √[б₁²+б₂²-б₁б₂] ,

Hipoteza Columba-Treski : б_red=б_max-б_min , б_red=√[б₁₁²+4б₂₂²] , ,б_red=√[4б₁₂²]-czyste ścinanie .

Naprężenia :skręcające: τ_s=M_s/W₀ W₀=2A₀δ ,normalne б_N=N/A ,gnące: б_g=M_g/W_g W_g=I/(h/2)

.Wyboczenia: P_kr=π²EI_min/l_w² -wzór Eulera na siłę kryt. ,λ=l_w/i_min -smukłość pręta ,i_min=√[I_min/A] -promień bezw. ,η=(π/μ)²-współ.bezpieczeństwa ,η=P_kr/P_dop , l_w=μ*l ,λ_gr=π*√[E/R_k] ,E=2*10⁶ τ(t)=T*S(y)/I_z*b(y) -nap.styczne. a=(3b²*δ₁)/(δh+6bδ₁) -środek ścinania siły poprzecznej

Naprężenia : tg2α₀=2σ₁₂/(σ₁₁-σ₂₂) , σ₁₁=E/(1-v²)*(ε₁₁+vε₂₂) , σ₂₂=E/(1-v²)*(ε₂₂+vε₁₁) , ε₁₂=2Gε₁₂ .

Niezmienniki: σ(σ²-σI_σ+II_σ)=0 => I_σ=σ₁₁+σ₂₂ , II_σ=σ₁₁σ₂₂-σ₁₂² , III_σ=0

Główne: σ₁=1/2*(σ₁₁+σ₂₂)+1/2*√[(σ₁₁-σ₂₂)²+4σ₁₂²] , σ₂=1/2*(σ₁₁+σ₂₂)-1/2*√[(σ₁₁-σ₂₂)²+4σ₁₂²] , α₀₁=α₀ , α₀₂=α₀+π/2 ,

Pod kątem: σ₁₁=1/2*(σ₁+σ₂)+1/2*(σ₁-σ₂)cos2α , σ₂₂=1/2*(σ₁+σ₂)-1/2*(σ₁-σ₂)cos2α , σ₁₂=-1/2*(σ₁-σ₂)sin2α ,Odkształcenia: ε₁₁=1/2*(ε₁+ε₂)+1/2*(ε₁-ε₂)cos2α , ε₂₂=1/2*(ε₁+ε₂)-1/2*(ε₁-ε₂)cos2α , ε₁₂=-1/2*(ε₁-ε₂)sin2α , ε₁=1/2*(ε₁₁+ε₂₂)+1/2*√[(ε₁₁-ε₂₂)²+4ε₁₂²] , ε₂=1/2*(ε₁₁+ε₂₂)-1/2*√[(ε₁₁-ε₂₂)²+4ε₁₂²] , tg2α₀=2ε₁₂/(ε₁₁-ε₂₂) .

Stałe materiałowe : ε₁₁=1/E*σ₁₁ ,ε₂₂=-v/E*σ₁₁ ,ε₃₃=-v/E*σ₁₁ , : ε₁₁=1/E*[σ₁₁-v*(σ₂₂+σ₃₃)] ,ε₂₂=1/E*[σ₂₂-v*(σ₃₃+σ₁₁)] ,ε₃₃=1/E*[σ₃₃-v*(σ₁₁+σ₂₂)] ,ε₁₂=1/2G*σ₁₂ ,ε₂₃=1/2G*σ₂₃ ,ε₃₁=1/2G*σ₃₁ ,

Dla płaskiego stanu: ε₁₁=1/E*(σ₁₁-vσ₂₂) , ε₂₂=1/E*(σ₂₂-vσ₁₁) , ε₁₂=1/2G*σ₁₂ ,

Moduł sprężystości postaciowej: G=E/[2*(1+v)] .Moduł Helmholtza(ściśliwości) : B=E/[3*(1-2v)] .

Energia : U=U_p+U_o , U_p- postaciowa ,U_o- objętościowa :U_p=(1+v)/(3E)*[σ₁₁²+σ₂₂²+σ₃₃²-σ₁₁σ₂₂-σ₂₂σ₃₃-σ₃₃σ₁₁+3(σ₁₂²+σ₂₃²+σ₃₁²)]=(1+v)/(3E)*[σ₁²+σ₂²+σ₃²-σ₁σ₂-σ₂σ₃-σ₃σ₁] , U_o=(1-2v)/(6E)*[σ₁₁²+σ₂₂²+σ₃₃²]= (1-2v)/(6E)*[σ₁²+σ₂²+σ₃²] ,

Hipoteza Hubera:б_red=√[б₁₁²+б₂₂²+б₃₃²-б₁₁б₂₂-б₂₂б₃₃-б₃₃б₁₁+3(б₁₂²+б₂₃²+б₃₁²)] ,lub б_red=√[б₁²+б₂²+б₃²-б₁б₂-б₂б₃-б₃б_] ] б_red=√[б₁₁²+б₂₂²-б₁₁б₂₂+3*б₁₂²] = √[б₁²+б₂²-б₁б₂] ,

Hipoteza Columba-Treski : б_red=б_max-б_min , б_red=√[б₁₁²+4б₂₂²] , ,б_red=√[4б₁₂²]-czyste ścinanie .

Naprężenia :skręcające: τ_s=M_s/W₀ W₀=2A₀δ ,normalne б_N=N/A ,gnące: б_g=M_g/W_g W_g=I/(h/2)

.Wyboczenia: P_kr=π²EI_min/l_w² -wzór Eulera na siłę kryt. ,λ=l_w/i_min -smukłość pręta ,i_min=√[I_min/A] -promień bezw. ,η=(π/μ)²-współ.bezpieczeństwa ,η=P_kr/P_dop , l_w=μ*l ,λ_gr=π*√[E/R_k] ,E=2*10⁶ τ(t)=T*S(y)/I_z*b(y) -nap.styczne. a=(3b²*δ₁)/(δh+6bδ₁) -środek ścinania siły poprzecznej

---