Wydział Inżynierii i Technologii Chemicznej	Imię i Nazwisko: Jakub Kulasa	Zespół: 3	Ocena:
Grupa: 14	Tytuł ćwiczenia: Badanie transportu i wymiany ciepła	Nr ćw.: 10	Data wykonania: 20.03.2002

Badanie transportu i wymiany ciepła

1. Wprowadzenie

Przepływ i wymiana ciepła pomiędzy dwoma ciałami (układami) zachodzi wówczas, gdy istnieje pomiędzy nimi różnica temperatur. Proces ten polega na przekazywaniu przez jedno ciało drugiemu ciału energii wewnętrznej w skali mikroskopowej.

Jeżeli oba ciała pozostają ze sobą w kontakcie wystarczająco długo, to w wyniku przepływu ciepła z ciała o wyższej temperaturze do ciała o niższej temperaturze, nastąpi wyrównanie się temperatur obu ciał. Temperatura danego ciała jest miarą średniej energii kinetycznej zbioru cząsteczek, który to ciepło stanowi.

Ciepło może być przenoszone i przekazywane trzema sposobami:

• Poprzez przewodzenie; bez makroskopowych przemieszczeń cząsteczek, które oscylując wokół swoich położeń równowagi (ciała stałe) przekazują nadmiar energii kinetycznej sąsiednim cząsteczkom.

• Poprzez konwekcję (unoszenie); materia podgrzana przez kontakt z gorącym ciałem zmniejsza swoją gęstość i przemieszcza się, unosząc przejęte ciepło z układu (ciecze i gazy).

• Poprzez promieniowanie; ciało nagrzane do wysokiej temperatury emituje promieniowanie elektromagnetyczne niosące energię, która po pochłonięciu przez ciało chłodniejsze zmienia się ponownie na ciepło. Transport energii może więc zachodzić również i w próżni.

1. Przewodnictwo cieplne

Przewodnictwo cieplne ciał opisuje prawo Fouriera. Gęstość strumienia cieplnego q, tj. ilość energii cieplnej Q przepływającej w czasie dτ przez powierzchnię elementarną ds. prostopadłą do kierunku przepływu:

jest proporcjonalna do gradientu temperatury T. Jeśli ograniczymy się tylko do przepływu wzdłuż jednego kierunku, np. x, to wówczas prawo Fouriera ma postać:

(1)

Współczynnik k zależy od rodzaju materiału i nosi nazwę współczynnika przewodnictwa cieplnego. Charakteryzuje zdolność ciała do przewodzenia ciepła. Jest liczbowo równy ilości ciepła przepływającej w ciągu 1s przez płytkę danego materiału o powierzchni 1m² i grubości 1m pod wpływem różnicy temperatur 1K po obu stronach próbki. Jego wymiarem jest 1W/(m · K). Całkowitą ilość ciepła przenikającą przez próbkę w jednostce czasu, czyli szybkość przepływu ciepła dQ/dτ w stanie ustalonym (tj. dla q = const. i k = const.), uzyskamy po wysumowaniu gęstości strumienia cieplnego po powierzchni S i po grubości próbki x dla ustalonych temperatur T₁ i T₂ po obu jej stronach:

oraz z równania (1):

Otrzymujemy ostatecznie, że szybkość przepływu ciepła przez powierzchnię S próbki o grubości d wynosi:

(2)

gdzie (T₁ - T₂) - różnica temperatur między powierzchniami próbki.

Zapiszmy równanie (2) w postaci, która ukaże jego analogię dla przepływu ciepła do prawa Ohma dla prądu elektrycznego, tj.

gdzie I jest natężeniem prądu elektrycznego, ΔV - różnicą potencjałów (napięciem), a R_c - oporem elektrycznym.

Dla „prądu cieplnego” mamy:

(3)

Możemy zatem powiedzieć, że „prąd cieplny” dQ/dτ przepływa pod wpływem różnicy temperatur ΔT i „doznaje” oporu przepływu - oporu cieplnego:

(4)

W realnych układach fizycznych opór cieplny na jaki natrafia strumień cieplny przy przepływie od ciała gorącego do chłodniejszego złożony jest z oporów cieplnych obu ciał oraz ze stykowego oporu cieplnego.

Stykowy opór cieplny jest związany z mikronierównościami powierzchni. Można zmniejszyć jego wartość poprzez polerowanie powierzchni kontaktujących się ze sobą ciał lub wprowadzając w obszar mikronierówności ciecze, np. glicerynę. Stykowy opór cieplny powoduje zmniejszenie szybkości wymiany ciepła.

2. Model ochładzania i ogrzewania ciała o małym oporze przewodzenia.

Metale charakteryzuje mały opór przewodzenia, co sprawia, że z dostatecznie dobrym przybliżeniem można przyjąć, że w każdej chwili temperatury wszystkich punktów wewnątrz próbki o objętości V są jednakowe. Jeśli rozpatrujemy stygnięcie lub ogrzewanie kawałka metalu, wystarczy zatem ograniczyć się tylko do zbadania zjawisk związanych z oddawaniem (pobieraniem) ciepła przez metaliczną powierzchnię próbki.

Rozważmy dla uproszczenia, że mamy tylko do czynienia z procesem stygnięcia ciała (proces odwrotny - ogrzewania - będzie przebiegał analogicznie), oraz, że ciepło oddawane jest tylko przez konwekcję. Proces ten zachodzi dwuetapowo. Chłodny gaz (ciecz) otaczający ciało o wyższej temperaturze ogrzewa się przy jego powierzchni, staje się rzadszy i odpływa do góry, a na jego miejsce napływa nowa porcja chłodnego (gęstszego) gazu.

Gęstość strumienia cieplnego przepływającego pomiędzy stygnącym ciałem a gazem (cieczą) podaje prawo Newtona:

(5)

gdzie T jest temperaturą ciała, T₂ - stałą temperaturą otaczającego gazu (cieczy), α_k - współczynnikiem przyjmowania ciepła.

α_k określa ilość ciepła oddawaną przez jednostkę powierzchni ciała stałego w jednostce czasu, pozostającego w kontakcie z gazem (cieczą) przy różnicy temperatur pomiędzy powierzchnią cała i gazem (cieczą) równą 1K. Wartości α_k zależą silnie od geometrii układu i od tego czy mamy do czynienia z konwekcją naturalną czy wymuszoną (tj. przez wymuszony przepływ gazu lub cieczy).

Energia odpływająca z ciała o powierzchni S zgodnie z prawem Newtona (5) po czasie dτ mumsi być równa ciepłu, które oddało ciało ochładzając się o dT:

(6)

gdzie: m to masa ciała, c - jego ciepło właściwe.

Po rozdzieleniu zmiennych w równaniu (6) dostajemy:

(7)

Całkowanie równania (7) przy założeniu, że w chwili τ = 0 temperatura ciała wynosiła T₀:

daje:

(8)

Ze wzoru (8) możemy obliczyć zależność różnicy temperatur ΔT stygnącego ciała T i otoczenia T₂ od czasu τ:

(9)

Wzór (9) wygodnie jest przepisać w postaci:

(10)

gdzie przez ΔT₀ oznaczyliśmy początkową różnicę temperatur pomiędzy ciałem a otaczającym go gazem (cieczą), a przez ΔT(τ) tę samą różnicę po czasie τ.

Ze wzoru (10) widać, że różnica temperatur między stygnącym ciałem i otoczenie, zanika wykładniczo do zera, a stała czasowa procesu:

(11)

jest cechą charakterystyczną układu, oznaczającą czas, po którym początkowa różnica temperatur ΔT₀ zmniejczy się e - krotnie, tj. do -0,37 ΔT₀.

W praktyce zależność (10) ustali się dopiero po upływie pewnego czasu.

3. Model ogrzewania ciała o małym oporze przewodzenia poprzez opór cieplny stykowy i opór cieplny izolatora

Płaskorównoległą płytkę materiału, którego przewodnictwo cieplne chcemy zbadać umieszczamy między źródłem ciepła - grzejnikiem a odbiornikiem. Rejestrujemy zmiany różnicy temperatur pomiędzy grzejnikiem o bardzo dużej pojemności cieplnej i stabilizowanej temperaturze T₁ = const. a odbiornikiem, będącym bardzo dobrym przewodnikiem ciepła. Szybkość akumulowania ciepła przez odbiornik:

(12)

będzie równa szybkości przepływu ciepła przez opór cieplny R_c badanego układu, na który składają się: opór cieplny materiału R_k dany wzorem (4) oraz dwa opory stykowe R_S1 i R_S2. Korzystając z równania (2) i przyjmując, że opór cieplny: R_c = R_k + R_S1 + R_S2, można zapisać równanie:

(13)

Przyrównując stronami (12) i (13) otrzymujemy równanie:

(14)

Po rozdzieleniu zmiennych w równaniu (14) i wycałkowaniu go dostajemy, że różnica temperatur pomiędzy grzejnikiem a odbiornikiem zanika w czasie według wzoru:

(15)

Gdy powierzchnia grzejnika, odbiornika oraz próbki są polerowane, a badany materiał jest izolatorem cieplnym, wówczas mamy podstawy, aby przyjąć, że:

i wówczas:

(16)

Jeśli wpływ R_S1 i R_S2 jest nie do pominięcia, wówczas przeprowadzając pomiar dla dwu próbek z tego samego materiału lecz o różnych grubościach, można wyeliminować opory stykowe R_S1 i R_S2.

---