Stereometria

1. Długości prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny. Objętość prostopadłościanu wynosi 8 zaś długość przekątnej wynosi
   . Obliczyć długości krawędzi.

2. Pole powierzchni ściany czworościanu foremnego wynosi
   . Obliczyć pole powierzchni kuli stycznej do wszystkich ścian tego czworościanu.

3. Długość boku podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi a, zaś długość przekątnej ściany bocznej
   . Obliczyć kąt nachylenia tej przekątnej do sąsiedniej ściany.

4. Objętość kuli o promieniu R jest równa objętości walca, którego przekrój osiowy jest kwadratem. Obliczyć wysokość tego walca.

5. Objętości brył powstałych przez obrót trójkąta równoramiennego dookoła jego podstawy oraz dookoła jego ramienia są równe. Wykazać, że jest to trójkąt równoboczny.

6. W kulę o promieniu 5 wpisano ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 4. Obliczyć długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

7. W stożek, którego tworząca i średnica podstawy mają równą długość wpisano kulę o promieniu r = 10. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej stożka.

8. Objętość walca jest równa V, zaś pole powierzchni bocznej S. Znaleźć kąt jaki przekątna osiowego przekroju tego walca tworzy z podstawą.

9. Tworząca stożka ma długości równej 1 jest nachylona do podstawy pod kątem
   . Obliczyć pole powierzchni sześcianu wpisanego w ten stożek.

10. Krawędzie boczne prawidłowego ostrosłupa trójkątnego mają długość 3 i są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem
    . Oblicz objętość ostrosłupa.

11. W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ostrosłupa i przekątną podstawy jest równe
    . Obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

12. W stożku kąt między wysokością stożka i jego tworzącą jest równy
    . Promień kuli wpisanej w ten stożek jest równy r. Obliczyć objętość stożka.

13. Stosunek pola powierzchni kuli wpisanej w stożek do pola podstawy stożka jest równy
    . Obliczyć kąt przy wierzchołku osiowego przekroju stożka.

14. Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną, do której należą dokładnie trzy jego wierzchołki. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

15. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole powierzchni całkowitej jest równe 9, a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
    . Oblicz objętość ostrosłupa.

16. Z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego trójkątnego poprowadzono wysokości dwóch ścian bocznych. Miara kąta między tymi wysokościami jest równa
    , a krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość
    . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

17. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
    . Odległość środka podstawy ostrosłupa od krawędzi bocznej wynosi
    . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

18. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna o długości b jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
    . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa oraz wyznacz cosinus kąta płaskiego ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa.

19. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole jednej ściany jest trzy razy mniejsze od pola podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa przyjmując, że długość krawędzi podstawy wynosi 14. Wyznacz sinus kąta między sąsiednimi krawędziami tego ostrosłupa

20. W stożek, którego przekrojem jest trójkąt równoboczny, wpisano walec o największej objętości. Oblicz stosunek wysokości walca do długości promienia podstawy stożka.

21. Który ze stożków o danej tworzącej długości l ma największą objętość?

22. Zbadać, który z prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i danym polu powierzchni całkowitej S ma największą objętość.

23. Wierzchołki podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątnego należą do powierzchni kuli o promieniu 3, a wierzchołek ostrosłupa jest środkiem kuli. Wyznaczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa tak, aby jego objętość była najmniejsza.

24. W kulę o promieniu R wpisano stożek o największej objętości. Znaleźć tę objętość.

25. W kulę o promieniu R wpisano walec. Jaka powinna być wysokość walca, aby jego pole powierzchni bocznej było największa?

26. Jaka powinna być długość krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wpisanego w kulę o promieniu R, aby jego objętość była największa? Znaleźć tę objętość.

27. Na kuli o danym promieniu opisano ostrosłup prawidłowy czworokątny o najmniejszej objętości. Znaleźć tę objętość.

28. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt utworzony przez krawędź boczną i krawędź podstawy jest równy
    . Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy R. Oblicz objętość ostrosłupa. Dla jakich
    zadanie ma rozwiązanie?

29. Na tej samej podstawie zbudowano dwa stożki, jeden wewnątrz drugiego. Kąty rozwarcia stożków mają miary
    i
    . Różnica długości wysokości tych stożków wynosi d. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami bocznymi tych stożków.

30. Obliczyć odległość środka ściany sześcianu od przekątnej sześcianu, leżeli długość tej przekątnej wynosi d.

---