Egzamin pisemny ze statystyki matematycznej wrzesień 2002 r.

Zad 1.

Realizacja próby prostej {(x,y)} obejmuje następujące dane o wartości produkcji x oraz jej kosztach y: (2,5), (3,3), (3,4), (2,3), (4,3). Przy poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o braku korelacji.

Zad 2.

Przeprowadzono test z fizyki wśród 100 losowo wybranych uczniów. Wyniki testu zawiera tabela. Przyjmując poziom istotności 0,05, sprawdzić czy można przyjąć, że rozkład prawdopodobieństwa uzyskiwanych punktów przez uczniów jest równomierny (prawdopodobieństwa wystąpienia każdej liczby punktów są stałe).

liczba punktów	1	2	3	4	5
liczba uczniów	20	25	22	15	18

Zad 3.

Ile osób należy wylosować do próby, aby z błędem średnim szacunku do 1m² i ufnością 0,95 ocenić przedziałowo powierzchnię mieszkań jeżeli wiemy, że odchylenie standardowe tej powierzchni wynosi około 11m²?

Zad 4.

W próbie prostej składającej się z dwuosobowych rodzin zaobserwowano tygodniowe wydatki na żywność, których struktura jest prezentowana poniżej:

wydatki w zł	30-50	50-70	70-90
liczebności	60	120	20

Ocenić punktowo i przedziałowo (przy współczynniku ufności 0,9) procent wydatków nie większych od 50 w populacji.

Zad 5.

Wylosowano 169 żarówek, wśród których znajdowało się 13 wybrakowanych. Dopuszcza się, że 5% produkcji żarówek może być złej jakości. Czy z prawdopodobieństwem popełnienia błędu wynoszącym 0,05 można twierdzić, że jakość produkcji była gorsza od dopuszczalnej?

Zad 6.

Czy to prawda?	Tak czy nie?
Jeśli wariancja nieobciążonego estymatora parametru θ wynosi 16, a wartość szacowanego parametru wynosi 40, to względny średni błąd szacunku tego parametru wynosi 10%.
Jeśli U jest sprawdzianem testu dla pewnej hipotezy H0 oraz P(U€K|H0)=0,01, gdzie K jest obszarem krytycznym testu wyznaczonym przy poziomie istotności 0,05, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Gdy obciążenie estymatora T parametru θ wynosi 4, a błąd średniokwadratowy 20, to odchylenie standardowe tego estymatora wynosi 16.
Jeśli statystyka T jest nieobciążonym estymatorem parametru θ i jej wariancja zmierza do zera wraz z nieograniczonym wzrostem próby prostej, to T jest zgodnym estymatorem parametru θ.
Rozkład płac w populacji ma asymetrię prawostronną. Wówczas średnia z próby prostej losowanej z takiej populacji ma granicznie rozkład normalny prawdopodobieństwa.
Jeśli E(X)=2 i D^2(X)=16 i Y=10X+40, to E(Y)=40. Przez E(X) i D^2(X) oznaczono odpowiednio wartość oczekiwaną i wariancję pewnej zmiennej losowej.
Średnia z próby prostej jest zgodnym estymatorem wartości oczekiwanej zmiennej losowej.
Jeśli przy ustalonej liczebności próby zwiększamy poziom ufności, to rozpiętość przedziału ufności maleje.
Poziom istotności testu, to prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju.
Jeśli przy ustalonej liczebności próby zwiększamy poziom istotności testu dla pewnej hipotezy, to prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju nie rośnie.

Niech zmienna losowa T ma rozkład Studenta z k stopniami swobody. Wtedy: P{|T|>3,182}=0,05; P{|T|<2,57}=0,95

Niech zmienna losowa Z ma standardowy rozkład normalny. Wtedy: P{|Z|>1,645}=0,1; P{|Z|<1,96}=0,95

Zmienna losowa U ma rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody, to P{U≥9,488}=0,05; P{U<11,07}=0,95

1

---