Egzamin pisemny ze statystyki matematycznej wrzesień 2002 r.

Zad 1.

Jak liczną próbę osób należy wybrać, aby z błędem średnim szacunku do 1m² i ufnością 0,95 ocenić przedziałowo powierzchnię mieszkań jeżeli wiemy, że odchylenie standardowe tej powierzchni wynosi około 9m²?

Zad 2.

Przeprowadzono egzamin wśród 200 losowo wybranych uczniów. Wyniki egzaminu zawiera tabela. Przyjmując poziom istotności 0,05, sprawdzić czy można przyjąć, że rozkład prawdopodobieństwa wyników uczniów jest równomierny (prawdopodobieństwa wystąpienia każdej liczby punktów są stałe).

liczba punktów	3	4	5	6	7
liczba uczniów	50	40	44	36	30

Zad 3.

Realizacja próby prostej {(x,y)} obejmuje następujące dane o wartości produkcji x oraz jej kosztach y: (2,5), (3,3), (3,4), (2,3), (4,3). Przy poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o braku korelacji.

Zad 4.

Wylosowano 169 żarówek, wśród których znajdowało się 13 wybrakowanych. Dopuszcza się, że 5% produkcji żarówek może być złej jakości. Czy z prawdopodobieństwem popełnienia błędu wynoszącym 0,05 można twierdzić, że jakość produkcji była gorsza od dopuszczalnej?

Zad 5.

W próbie prostej składającej się z dwuosobowych rodzin zaobserwowano tygodniowe wydatki na żywność, których struktura jest prezentowana poniżej:

wydatki w zł	30-50	50-70	70-90
liczebności	60	120	20

Ocenić punktowo i przedziałowo (przy współczynniku ufności 0,9) procent wydatków nie większych od 50 w populacji.

Zad 6.

Czy to prawda?	Tak czy nie?
Rozkład płac w populacji ma asymetrię prawostronną. Wówczas średnia z próby prostej losowanej z takiej populacji ma granicznie rozkład normalny prawdopodobieństwa.
Jeśli U jest sprawdzianem testu dla pewnej hipotezy H0 oraz P(U€K|H0)=0,01, gdzie K jest obszarem krytycznym testu wyznaczonym przy poziomie istotności 0,05, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Jeśli E(X)=2 i D^2(X)=16 i Y=10X+40, to E(Y)=20. Przez E(X) i D^2(X) oznaczono odpowiednio wartość oczekiwaną i wariancję pewnej zmiennej losowej.
Jeśli statystyka T jest nieobciążonym estymatorem parametru θ i jej wariancja zmierza do zera wraz z nieograniczonym wzrostem próby prostej, to T jest zgodnym estymatorem parametru θ.
Jeśli wariancja nieobciążonego estymatora parametru θ wynosi 16, a wartość szacowanego parametru wynosi 40, to względny średni błąd szacunku tego parametru wynosi 10%.
Gdy obciążenie estymatora T parametru θ wynosi 4, a błąd średniokwadratowy 20, to odchylenie standardowe tego estymatora wynosi 16.
Jeśli przy ustalonej liczebności próby zwiększamy poziom istotności testu dla pewnej hipotezy, to prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju nie rośnie.
Jeśli przy ustalonej liczebności próby zmniejszymy poziom ufności, to rozpiętość przedziału ufności wzrośnie.
Poziom istotności testu, to prawdopodobieństwo nie popełnienia błędu II rodzaju.
Średnia z próby prostej jest zgodnym estymatorem wartości oczekiwanej zmiennej losowej.

Niech zmienna losowa T ma rozkład Studenta z k stopniami swobody. Wtedy: P{|T|>3,182}=0,05; P{|T|<2,57}=0,95

Niech zmienna losowa Z ma standardowy rozkład normalny. Wtedy: P{|Z|>1,645}=0,1; P{|Z|<1,96}=0,95

Zmienna losowa U ma rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody, to P{U≥9,488}=0,05; P{U<11,07}=0,95

1

---