4.5 Współrzędne izometryczne

I forma kwadratowa powierzchni sparametryzowanej parametrami u i v:

gdzie: u = const, v = const - linie parametryczne

dla F = 0 - siatka linii parametrycznych jest ortogonalna

Współrzędne krzywoliniowe u,v nazywane są izometrycznymi, jeżeli długość ds na powierzchni można wyrazić wzorem:

gdzie: μ² - dowolna funkcja parametrów u i v.

Jeżeli zatem współrzędne u i v są izometrycznymi to zachodzą następujące związki:

F = 0, E = G = μ²

Twierdzenie:

Współrzędne u i v są izometryczne jeżeli:

1. siatka współrzędnych jest siatką ortogonalną,

1. przesunięcie ds wywołane zmiana współrzędnej u o wartość du = ε jest równe przesunięciu ds wywołanemu zmiana współrzędnej v o dv = ε

(gdzie ε to nieskończenie mała, dowolnie obrana liczba)

Czy współrzędne elipsoidalne B,L są izometryczne ? NIE !

Warunek 1: jest spełniony - (współrzędne tworzą siatkę ortogonalną),

Warunek 2:
(I forma kwadratowa dla elipsoidy)

dla dB = ε mamy

dla dL = ε mamy

nie jest spełniony.

Przekształcimy wzór na ds²:

zamiast współrzędnej B wprowadzimy nową współrzędną q:

taką, że

otrzymamy zatem:

Teraz jak widać współrzędne q i L są współrzędnymi izometrycznymi

Współrzędna q będzie równa:

czyli po rozwiązaniu

gdzie: q - współrzędna izometryczna (ważna w odwzorowaniach równokątnych)

e - mimośród elipsoidy

Warunki równokątności

(w przypadku stosowania współrzędnych izometrycznych)

Warunki równokątności odwzorowania elipsoidy obrotowej na płaszczyznę:

oraz

Po zastąpieniu B,L współrzędnymi izometrycznymi q,L otrzymamy:

oraz

ponieważ
zatem

przedstawia warunki równokątności w zastosowaniu współrzędnych izometrycznych (Cauchy'ego - Riemana)

Warunki te musi spełniać funkcja analityczna zmiennej zespolonej z = q+iL

Jest ona rozwijalna w szereg potęgowy i opisuje dowolne odwzorowanie równokątne.

Przy wyprowadzaniu funkcji odwzorowawczych odwzorowań równokątnych możemy posłużyć się następującymi sposobami:

• zastąpić współrzędne geodezyjne B,L współrzędnymi izometrycznymi q,L,

• wykorzystać funkcję analityczną do przekształcania związku między współrzędnymi prostokątnymi płaskimi x,y i współrzędnymi q,L

Na tej funkcji bazuje teoria odwzorowania Gaussa-Krügera

Kartografia matematyczna. Odwzorowanie Gaussa-Krügera

1