Wstęp teoretyczny

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą eliminacji Gaussa przebiega w dwóch etapach: pierwszy etap jest nazywany etapem postępowania prostego (etapem eliminacji niewiadomych), drugi etapem postępowania odwrotnego. Na etapie postępowania prostego wyjściowy układ równań zostaje przekształcony do postaci równoważnej (tzn. takiej, która posiada dokładnie takie same rozwiązania co układ wyjściowy) z trójkątną górną macierzą główną układu.

PRZEBIEG DWICZENIA

1. Podział na grupy.

2. Test wiadomości.

3. Wybór oprogramowania (Excel, MathCAD, MatLab, Scilab Octave…)

4. Adaptacja algorytmów postępowania do platformy programowej.

5. Wykonanie próbnych obliczeń na zadaniach testowych.

10y - 7z = 7

6x + 2,099y + 3z = 3,901

5x - y + 5z = 6

W tym układzie równań na przekątnej w a_ii występuje wartość zero dlatego zamieniamy kolumny 1 z 2 otrzymując następujące równanie

A)

10x - 7z = 7

2,099x + 6y + 3z = 3,901

- x + 5 y + 5z = 6

Tabela 1. Wprowadzenie liczb w arkuszu Excel dla równania (A)

Tu wprowadź swoje dane:
	a	b	c	d	Czy tak wyglądają równania?
					R1	10	0	-7	7	10	x +		0		y		-7		z =		7
					R2	2,099	6	3	3,901															2,099	x +		6		y +		3		z =		3,901
					R3	-1	5	5	6															-1	x		5		y +		5		z =		6

Tabela 2. Arkusz Excel z obliczeniami

	A		X	=	B
					10,000	0,000	-7,000	X1	=	7,000
					2,099	6,000	3,000	X2	=			3,901
					-1,000	5,000	5,000	X3	=			6,000
					0,000	6,000	4,469				2,432
						5,000	4,300				6,700
					10,000	0,000	-7,000	X1	=	7,000
					0,000	6,000	4,469	X2	=			2,432
					0,000	5,000	4,300	X3	=			6,700
							0,576				4,674
					10,000	0,000	-7,000	X1	=	7,000
					0,000	6,000	4,469	X2	=			2,432
					0,000	0,000	0,576	X3	=			4,674
					A	B	C	D
					10,000	0,000	56,838	7,000			6,384
					0,000	6,000	36,290	2,432	-36,290		-5,643
					0,000	0,000	0,576	4,674			8,120
							c	8,120

Tabela 3. Wartość numeryczna niewiadomych x, y, z:

Rozwiązanie :
x	=	6,383813522513390
			y	=	-5,642970899087880
			z	=	8,119733603590560

Tabela 4. Zestawienie wyników do wyznaczenia błędu dla równania (A).

								Obliczanie błędu dla równania (A)
		[x] dokładne	[x] obliczone		Wartość błędu %		Ilość miejsc po przecinku
	x							6	6,40	-6,67	-6,7
	y							-6	-5,60	6,67	6,7	1
	z							8	8,10	-1,25	-1,3
	x							6	6,383810000000000	-6,67	-6,666670000000000
	y							-6	-5,642970000000000	6,67	6,666670000000000	5
	z							8	8,119730000000000	-1,25	-1,250000000000000
	x							6	6,383813522513390	-6,67	-6,666666666666670
	y							-6	-5,642970899087880	6,67	6,666666666666670	15
	z							8	8,119733603590560	-1,25	-1,250000000000000

6. Dyskusja błędu z uwzględnieniem błędu numerycznego.

Wnioski:

W tabeli 4. zostały umieszczone wartości [x] dokładne (liczby całkowite)

[x] obliczone (liczby z uwzględnieniem ilości miejsc po przecinku) równania (A) na podstawie tych danych został wyliczony błąd na podstawie zależności (1)

[x] dokładne - [x] obliczone

Błąd = ------------------------------------------ x100% (1)

[x] dokładne

Dla: jednego miejsca po przecinku:

• ”x” [x] dokładne wyniosło 6 i [x] obliczone 6,4 a błąd wyniósł -6,7 % (tabela 4).

• ”y” [x] dokładne wyniosło -6 i [x] obliczone -5,6 a błąd wyniósł 6,7 % (tabela 4).

• ”z” [x] dokładne wyniosło 8 i [x] obliczone 8,1 a błąd wyniósł -1,3 % (tabela 4).

Dla: pięciu miejsc po przecinku:

• ”x” [x] dokładne wyniosło 6 i [x] obliczone 6,38381 a błąd wyniósł -6,66667 % (tabela 4).

• ”y” [x] dokładne wyniosło -6 i [x] obliczone -5,64297 a błąd wyniósł 6,66667 % (tabela 4).

• ”z” [x] dokładne wyniosło 8 i [x] obliczone 8,11973 a błąd wyniósł -1,25 % (tabela 4).

Dla: pięciu miejsc po przecinku:

• ”x” [x] dokładne wyniosło 6 i [x] obliczone 6,383813522513390 a błąd wyniósł - 6,666666666666670 % (tabela 4).

• ”y” [x] dokładne wyniosło -6 i [x] obliczone -5,642970899087880 a błąd wyniósł 6,666666666666670% (tabela 4).

• ”z” [x] dokładne wyniosło 8 i [x] obliczone 8,119733603590560 a błąd wyniósł -1,250000000000000% (tabela 4).

We wszystkich ”x” i ”z” bez względu na ilość miejsc po przecinku błąd jest ujemny lecz przy 5 i 15 miejscach ma tą samą wartość -1,25% (tabela 4).

• dowolnie wybrany układ co najmniej 3x3

B)

x + 2y + z = 1

3x + 6y + 0,09z = 3,901

0,02x + 0,002 y + 2z = -0,2

Tabela 5 Arkusz Excel z obliczeniami

	A		X	=	B
					1,000	2,000	1,000	X1	=	1,000
					3,000	3,000	0,090	X2	=			3,901
					0,020	0,002	2,000	X3	=			-0,200
					0,000	-3,000	-2,910				0,901
						-0,038	1,980				-0,220
					1,000	2,000	1,000	X1	=	1,000
					0,000	-3,000	-2,910	X2	=			0,901
					0,000	-0,038	1,980	X3	=			-0,220
							2,017				-0,231
					1,000	2,000	1,000	X1	=	1,000
					0,000	-3,000	-2,910	X2	=			0,901
					0,000	0,000	2,017	X3	=			-0,231
					A	B	C	D
					1,000	0,378	0,115	1,000			1,493
					0,000	-3,000	0,334	0,901	-0,334		-0,189
					0,000	0,000	2,017	-0,231			-0,115
							c	-0,115

Tabela 6. Wartość numeryczna niewiadomych x, y, z:

Rozwiązanie :
x	=	1,492811928773770
			y	=	-0,189036422954493
			z	=	-0,114739082864783

Tabela 7. Zestawienie wyników do wyznaczenia błędu dla równania (B).

Obliczanie błędu dla równania (B)
	[x] dokładne	[x] obliczone		Wartość błędu %	Ilość miejsc po przecinku
						x	1	1,493000000000000	-49,30	-49,30000000000
						y	0	-0,189000000000000	-	-	3
						z	0	-0,115000000000000	-	-
						x	1	1,492810000000000	-49,30	-49,30000000000
						y	0	-0,189040000000000	-	-	5
						z	0	-0,114740000000000	-	-
						x	1	1,492811928773770	-49,30	-49,30000000000
						y	0	-0,189036422954493	-	-	15
						z	0	-0,114739082864783	-	-!

W tabeli 7. zostały umieszczone wartości [x] dokładne (liczby całkowite)

[x] obliczone (liczby z uwzględnieniem ilości miejsc po przecinku) równania (B) na podstawie tych danych został wyliczony błąd na podstawie zależności (1). Wartości [x] dokładnego dla „y” i „z” jest równe zero z togo powodu nie można wyznaczyć błędu gdyż nie dzieli się przez zero. [x] dokładne jego wartość powinna być dodatnia lub ujemna ale nie równa zero.

---