Zad. Metryka…
⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y
⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)
⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)
⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)
⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.
⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)
Zad. Cięgi…
♦(1-4/n)n=e-4 ♦(1+2/n)n=e+2
♦jak będzie sin to z lewej (przepisać bez sin), z prawej to samo z minusem.
⇓Odp. Na podstawie tw. o 3 ciągach mamy, że lim…=coś
♦czasami można pomnożyć przez mianownik z innym znakiem.
Zad. Ciągłość i różniczkowalność…
⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx→0f(x)=…=[..]=(coś)
⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx→0f(x)-f(0)//x-0=…=0
⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.
Zad. Stosując definicję granicę ciągu…
⇓Należy wykazać ,że dla dowolnego E>0 istnieje n0∈R takie, że dla n> n0 mamy |..-..|<E
⇓Ustalmy dowolne E>0.Wyznaczamy n0:
⇓|..-..|=|…|=|najprostsza postać|=(nad = napisać n>coś|
⇓Obliczamy delty licznika i mianownika, i stwierdzamy od ilu jest większe n
⇓Liczymy dalej… ( mianownik zwiększamy, a licznik zmniejszamy) (najlepiej zrobić tą samą potęgę) <E ⇓n>coś/E , n0=coś/E
⇓Dla n>coś/E mamy (wynik)<E => dla n>coś/E mamy |..-..|<E
⇓Odp.Wykazaliśmy, że dla dowolnego E>0 istnieje n0=coś/E takie, że dla n>coś/E mamy |..-..|<E
Zad. Badanie funkcji ...
⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to znak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)
⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)
⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...
⇓limx→4+ f(x)=…=∞ ⇓limx→4- f(x)=…=-∞ ⇓limx→4 f`(x)=…=∞
⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną
⇓a= limx→+-∞ f`(x)=…=coś ⇓b= limx→+-∞ (f(x)-ax)=…=coś
⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.
⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.
„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]
Zad. Największa i najmniejsza…
⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0
⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…
⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)
☺W jakich pkt f(x,y,z) ma ekstrema lokalne na zbiorze [g(x,y,z)]?
☻[g(x,y,z)] ☻D={(x,y,z):[g(x,y,z)] ☻Sprawdzamy czy D jest zbiorem Langrange'a.
☻grad g=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)=(…) ≠ (0,0,0) dla wszystkich (x,y,z)єD ☻Zatem D jest zbiorem Lagrange'a ☻F(x,y,z)=f(x,y,z)-λg(x,y,z)=… ☻∂F/∂x=… ∂F/∂y=… ∂F/∂z=… ☻Robimy układ
☻Wyznaczamy x,y,z ☻Odp: Funkcja f(x,y,z) może mieć ekstrema lokalne na zbiorze [g(x,y,z)] w punkcie P=(…)
☺Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość.
☻Policzyć ∂ pierwszego stopnia ☻potem porównać do 0 i zrobić układ równań. ☻utwożyć wszystkie możliwe P1=(…), P2=(…)… ☻Policzyć ∂ mieszane ☻Hf (x,y)=[…] ☻Hf (P1)=[…], potem liczymy wyznaczniki (det) i określamy czy jest określona. „stąd jest nieokreślona, f(x,y) nie ma ekstremum u pkt (…)” // „stąd Hf (…) jest ujemnie określona, stąd f(x,y) posiada max w pkt (…)
☻I tak dla każdego P!!! ☻f(…)=podstaw ☻Odp: f(x,y) ma maksimum lokalne w pkt (…) równe…
☺Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do wykresu funkcji f(x,y)=… w punkcie P=(…) x0=[P]
☻Z=f(x0)+<grad f(x0), x-x0> ☻grad f(x,y)=(∂f/∂x, ∂f/∂y)=(..,..) ☻grad f(x0)=(…) podstawiamy x0 do tego co wyznaczyliśmy. ☻f(x0)=… podstawiamy x0 do startowego ☻Podstawiamy do Z=....
Zad. Indukcja…
⇓1° Sprawdzamy dla n=1 ⇓L=… P=…
⇓2° Ustalmy dowolne n≥1 oraz załóżmy że zachodzi (z polecenia rozpisane)
⇓Obliczamy że Ln+1=Pn+1 ⇓Równość prawdziwa dla n≥1
⇓Odp. Na podstawie twierdzenia indukcji matematycznej wnioskujemy, że równość ||Ln+1=Pn+1|| zachodzi => (z polecenia)
Zad. Metryka…
⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y
⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)
⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)
⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)
⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.
⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)
Zad. Cięgi…
♦(1-4/n)n=e-4 ♦(1+2/n)n=e+2
♦jak będzie sin to z lewej (przepisać bez sin), z prawej to samo z minusem.
⇓Odp. Na podstawie tw. o 3 ciągach mamy, że lim…=coś
♦czasami można pomnożyć przez mianownik z innym znakiem.
Zad. Ciągłość i różniczkowalność…
⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx→0f(x)=…=[..]=(coś)
⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx→0f(x)-f(0)//x-0=…=0
⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.
Zad. Stosując definicję granicę ciągu…
⇓Należy wykazać ,że dla dowolnego E>0 istnieje n0∈R takie, że dla n> n0 mamy |..-..|<E
⇓Ustalmy dowolne E>0.Wyznaczamy n0:
⇓|..-..|=|…|=|najprostsza postać|=(nad = napisać n>coś|
⇓Obliczamy delty licznika i mianownika, i stwierdzamy od ilu jest większe n
⇓Liczymy dalej… ( mianownik zwiększamy, a licznik zmniejszamy) (najlepiej zrobić tą samą potęgę) <E ⇓n>coś/E , n0=coś/E
⇓Dla n>coś/E mamy (wynik)<E => dla n>coś/E mamy |..-..|<E
⇓Odp.Wykazaliśmy, że dla dowolnego E>0 istnieje n0=coś/E takie, że dla n>coś/E mamy |..-..|<E
Zad. Badanie funkcji ...
⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to znak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)
⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)
⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...
⇓limx→4+ f(x)=…=∞ ⇓limx→4- f(x)=…=-∞ ⇓limx→4 f`(x)=…=∞
⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną
⇓a= limx→+-∞ f`(x)=…=coś ⇓b= limx→+-∞ (f(x)-ax)=…=coś
⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.
⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.
„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]
Zad. Największa i najmniejsza…
⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0
⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…
⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)
☺W jakich pkt f(x,y,z) ma ekstrema lokalne na zbiorze [g(x,y,z)]?
☻[g(x,y,z)] ☻D={(x,y,z):[g(x,y,z)] ☻Sprawdzamy czy D jest zbiorem Langrange'a.
☻grad g=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)=(…) ≠ (0,0,0) dla wszystkich (x,y,z)єD ☻Zatem D jest zbiorem Lagrange'a ☻F(x,y,z)=f(x,y,z)-λg(x,y,z)=… ☻∂F/∂x=… ∂F/∂y=… ∂F/∂z=… ☻Robimy układ
☻Wyznaczamy x,y,z ☻Odp: Funkcja f(x,y,z) może mieć ekstrema lokalne na zbiorze [g(x,y,z)] w punkcie P=(…)
☺Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość.
☻Policzyć ∂ pierwszego stopnia ☻potem porównać do 0 i zrobić układ równań. ☻utwożyć wszystkie możliwe P1=(…), P2=(…)… ☻Policzyć ∂ mieszane ☻Hf (x,y)=[…] ☻Hf (P1)=[…], potem liczymy wyznaczniki (det) i określamy czy jest określona. „stąd jest nieokreślona, f(x,y) nie ma ekstremum u pkt (…)” // „stąd Hf (…) jest ujemnie określona, stąd f(x,y) posiada max w pkt (…)
☻I tak dla każdego P!!! ☻f(…)=podstaw ☻Odp: f(x,y) ma maksimum lokalne w pkt (…) równe…
☺Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do wykresu funkcji f(x,y)=… w punkcie P=(…) x0=[P]
☻Z=f(x0)+<grad f(x0), x-x0> ☻grad f(x,y)=(∂f/∂x, ∂f/∂y)=(..,..) ☻grad f(x0)=(…) podstawiamy x0 do tego co wyznaczyliśmy. ☻f(x0)=… podstawiamy x0 do startowego ☻Podstawiamy do Z=....
Zad. Indukcja…
⇓1° Sprawdzamy dla n=1 ⇓L=… P=…
⇓2° Ustalmy dowolne n≥1 oraz załóżmy że zachodzi (z polecenia rozpisane)
⇓Obliczamy że Ln+1=Pn+1 ⇓Równość prawdziwa dla n≥1
⇓Odp. Na podstawie twierdzenia indukcji matematycznej wnioskujemy, że równość ||Ln+1=Pn+1|| zachodzi => (z polecenia)