WFTJ	Imię i Nazwisko: 1. Marek Barciewicz 2. Mariusz Cybula			ROK I	GRUPA 1	ZESPÓŁ 4
Pracownia fizyczna I	TEMAT: Pomiar współczynnika sztywność							Nr ćwiczenia 12
Data wykonania 6.06.97	Data oddania	Zwrot do poprawy	Data oddania	Data zaliczenia	OCENA

Cel ćwiczenia:

Wyznaczanie modułu sztywności kilku metali metodą dynamiczną za pomocą pomiaru okresu drgań skrętnych.

Wprowadzenie:

Modułem sztywności G nazywamy stosunek naprężenia stycznego τ do wywołanego przez nie odkształcenia postaci γ.

G=τ/γ

W celu wyznaczenia G wykorzystamy zjawisko skręcenia pręta, gdyż podatność materiału pręta na skręcanie zależy wyłącznie od modułu sztywności G i rozmiarów geometrycznych. Weźmy pręt o promieniu r i długości l. Skręcenie jest odkształceniem wywołanym działaniem pary sił przyłożonej do płaszczyzny przekroju poprzecznego pręta. Należy zauważyć, że podczas skręcania przekroje poprzeczne obracają się dookoła osi pręta, który nie zmienia przy tym swojej długości ani średnicy.

Schemat geometryczny odkształcenia rozpatrywanego pręta przedstawiono na rysunku 1.

Promień OB obróci się o kąt ϕ od położenia OB'. Dwie tworzące AB i DC na powierzchni tej warstwy pochylą się o kąt γ tak, że uwożony element kwadratowy ABCD przekształci się w rąb AB'C'D. Oznacza to, że powstaną odkształcenia postaci, których miarą jest kąt γ. Jest on proporcjonalny do odległości od osi.

Całkowity moment siły można obliczyć przez całkowanie przyczynków pochodzących od niewielkich pierścieni o promieniu x i grubości dx (rys. 2). Odkształcenie postaci materiału pierścienia wynosi:

γ=(ϕ*x)/l

Zgodnie z prawem Hooke'a wartości naprężeń wynoszą:

Całkowity moment działający na pręt wynosi:

Wielkość nazywamy stałą skręcenia.

Narzuca się możliwość bezpośredniego wyznaczenia modułu sztywności G przez pomiar

wszystkich innych wielkości występujących we wzorze (6). Byłaby to metoda statyczna. Znacznie

wygodniejsza jest jednak metoda dynamiczna, która polega na pomiarze okresu drgań skrętnych

wibratora, w postaci naszego pręta obciążonego ciałem o momencie bezwładności I₀

Przewaga metody dynamicznej polega na zastąpieniu pomiaru siły i kata skręcenia przez

łatwiejszy do przeprowadzenia pomiar okresu drgań.

Aby uniknąć trudnego wyznaczania momentu bezwładności I_x wahadła, wykonujemy dwie

serie pomiarów okresu drgań. Pierwszą dla wahadła nie obciążonego, drugą dla wahadła obciążonego

ciałem geometrycznie prostym, o łatwym do obliczenia momencie bezwładności I_0.

Odpowiednie okresy będą wynosić:

Wartość modułu sztywności wynosi:

Aparatura:

Urządzenie do wykonania pomiarów modułu sztywności G nosi w ćwiczeniu nazwę wibratora. Stanowi je wahadło torsyjne poruszane sprężystością drutu z badanego materiału.

Drut jest przymocowany do statywu za pomocą odpowiedniego uchwytu. Na drugim końcu tego drutu zawiesza się bryłę tak, by jej środek ciężkości oraz punkt zawieszenia znajdowały się na jednej pionowej linii. Jeżeli wychylimy wibrator z położenia r6wnowagi o pewien kąt

w płaszczyźnie poziomej, to jednocześnie drut skręci się o ten sam kąt. Powstanie w drucie

moment obrotowy sił sprężystych, które po oswobodzeniu wibratora wywołają ruch drgający.

Obliczenia:

Dane:

Masy ciężarków: Masa pierścienia stalowego: Moment bezwładności pierść.

m₁ = 142 ±1 [g] M= 1032 ±1 [g] I₀₌0,0184 ± 0,0010 [kg m²]

m₂ = 140 ±1 [g] Średnice pierścienia: I₁=0,0215 ± 0,0011 [kg m²]

m₃ = 141 ±1 [g] 2R= 284 ±1 [mm]

m₄ = 138 ±1 [g] 2r= 251 ±1 [mm]

Średnica pręta DCu[mm]
2,12
2,13
2,13
2,16
2,12
2,11
2,12
2,11
2,11
2,12

Pręt miedziany:

Długość pręta l_Cu = 438 ±1 [mm]

Błąd pomiaru średnicy pręta wynosi:

ΔD_Cu = 0.01 [mm]

ΔD_CuŚr ==0,0048

Średnia średnica pręta wynosi: D_{Cu Śr} =2.123 ± 0,0048 [mm]

Czas drgań bez obciąż. t0[s]		Okres drgań T0 [s]	Czas drgań z pierś. t1[s]	Okres drgań T1 [s]	Odległość masy od osi obrotu Rm[mm]	Czas drgań z pierś.i cięż. t2[s]		Okres drgań T2 [s]		Odl. ciężarków od osi obrotu Rc[mm]		Moduł sztywności G [N/m^2]
71,00		2,366	99,31	3,310		103,69		3,456				Z pierść.
70,84		2,361	99,44	3,315		103,47		3,449				2,33E+10
70,75		2,358	99,38	3,313	133,75	103,53		3,451		74		Z pierść. i cięż.
70,91		2,364	99,03	3,301		103,78		3,459				2,31E+10
71,00		2,366	99,35	3,311		103,68		3,456				Średni:
Śr:	70,9	2,363	99,302	3,310		103,63	3,454				2,32E+10

ΔG_Cu= 9,34E+08

G_Cu=2,317 ± 0,094 E+10 [N/m²]

Średnica pręta DSt[mm]
2,16
2,14
2,13
2,17
2,16
2,15
2,17
2,16
2,18
2,16

II. Pręt stalowy:

Długość pręta l_St = 445 ±1 [mm]

Błąd pomiaru średnicy pręta wynosi:

ΔD_St = 0.01 [mm]

ΔD_StŚr ==0,0046

Średnia średnica pręta wynosi: D_{St Śr} =2,158 ± 0,0046[mm]

Czas drgań bez obciąż. t0[s]		Okres drgań T0 [s]	Czas drgań z pierś. t1[s]	Okres drgań T1 [s]	Odległość masy od osi obrotu Rm[mm]	Czas drgań z pierś.i cięż. t2[s]		Okres drgań T2 [s]		Odl. ciężarków od osi obrotu Rc[mm]		Moduł sztywności G [N/m^2]
52,25		1,742	70,50	2,350		75,56		2,519				Z pierść:
52,44		1,748	72,59	2,420		75,63		2,521				5,553E+10
52,38		1,746	72,47	2,416	133,75	75,60		2,520		74		Z pierść. i cięż.
52,42		1,747	72,51	2,417		75,51		2,517				5,375E+10
52,29		1,743	72,53	2,418		75,59		2,520				Średni:
Śr:	52,35	1,745	72,12	2,404		75,58	2,519				5,464E+10

Średnica pręta DSt[mm]
2,11
2,13
2,10
2,11
2,12
2,11
2,11
2,12
2,13
2,11

ΔG_St= 2,389E+09

G_St=5,46 ± 0,24 E+10 [N/m²]

III. Pręt mosiężny:

Długość pręta l_Mś = 437 ±1 [mm]

Błąd pomiaru średnicy pręta wynosi:

Δ_Mś = 0.01 [mm]

ΔD_MśŚr ==0,0031

Średnia średnica pręta wynosi: D_{Mś Śr} =2,115 ± 0,0031[mm]

Czas drgań bez obciąż. t0[s]		Okres drgań T0 [s]	Czas drgań z pierś. t1[s]	Okres drgań T1 [s]	Odległość masy od osi obrotu Rm[mm]	Czas drgań z pierś.i cięż. t2[s]		Okres drgań T2 [s]		Odl. ciężarków od osi obrotu Rc[mm]		Moduł sztywności G [N/m^2]
80,28		2,676	112,64	3,755		117,55		3,918				Z pierść.
80,35		2,678	112,76	3,759		117,60		3,920				2,3205E+10
80,31		2,677	112,75	3,758	133,75	117,58		3,919		74		Z pierść. i cięż.
80,25		2,675	112,89	3,763		117,70		3,923				2,3026E+10
80,33		2,677	112,83	3,761		117,56		3,918				Średni:
Śr:	80,30	2,677	112,77	3,759		117,60	3,920				2,3115E+10

ΔG_Mś= 9,32E+08

G_Mś=2,311 ± 0,094 E+10 [N/m²]

Krytyczne podejście do wyników pomiarów.

Błędy pomiarowe jakie mogły wystąpić podczas naszych pomiarów możemy podzielić na:

1. błędy wynikające z dokładności przyrządów użytych podczas ćwiczenia:

- dokładność suwmiarki wynosząca 0,01 [mm],

- dokładność śruby mikrometrycznej wynosząca 0,01 [mm],

- dokładność wagi wynosząca 10-6 [kg]

błędy wynikające z indywidualnych warunków przeprowadzającego ćwiczenie - w tym przypadku refleksu. Błąd ten wpłynął na pewno znaczenie na wynik pomiaru współczynnika sprężystości (największy błąd w tych pomiarach)

1. - błąd ten możemy oszacować na ok. ± O,5 [s]

-1. Niebagatelne znaczenie dla dokładności pomiaru miało także bicie zamocowania drutu w uchwycie.

Wnioski:

Jak wykazały powyższe wyliczenia w doświadczeniu wykonanym przez nas uzyskaliśmy zbliżone wartości do wartości tablicowych. Różnice jakie wystąpiły między tymi wartościami spowodowane są błędami przy wykonywaniu tego doświadczenia. Błąd spowodowany jest przede wszystkim zawodnością zmysłów ludzkich przy pomiarze czasu i ruchami uchwytu drutu względem statywu.

---