1. Metodę zmiennych stanu używa się do opisu własności stanu w niektórych zagadnieniach układów liniowych i nieliniowych, a zwłaszcza w wielo wymiarowych układach automatyzacji kompleksowej. Opis ten można w wielu przypadkach uważać za równoważny transmitancji operatorowej dla układów jednowymiarowych i macierzy transmitancji dla układów wielowymiarowych. Jednak równania stanu, chociaż trudniejsze niż transmitancje do interpretacji fizycznej i niemożliwe do bezpośredniego określenia w drodze pomiarowej, są wygodniejsze do celów modelowania analogowego i cyfrowego oraz do projektowania układów wielowymiarowych.

Wielkości charakteryzujące zachowanie się układu nazywamy współrzędnymi, a najmniejszy liczebnie zespól współrzędnych, wystarczający łącznie ze znajomością wielkości wejściowych do określenia zachowania się układu w przyszłości, nazywamy wektorem stanu układu.

Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu U(t) w chwilach t tworzy przestrzeń stanów układu (przestrzeń fazowa). Zbiór wartości wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu tworzy w tej przestrzeni krzywa, zwano trajektoria stanu układu (trajektoria fazowa).

Równanie stanu układu zapisuje się zwykle w postaci:

U(t)=F(U(t),X(t)] z n warunkami początkowymi:

U(to) = Uo, Przy czym:

U(t)=dU(t)/dt

2.

3.Płaszczyzna fazowa jest szczególnym przypadkiem przestrzeni fazowej. Metoda płaszczyzny fazowej odznacza się swoja geometryczna poglądowośdą i umożliwia bezpośrednie określenie-wszelkich rodzajów stabilności układu, charakteru przebiegów przejściowych i niektórych własności statycznych.

Zmianie stanu układu będzie odpowiadał ruch punktu w przestrzeni fazowej. Krzywa, jaka zakreśli ten punkt w przestrzeni fazowej,-nazywana jest trajektoria fazowa -jest to zbiór kolejnych stanów dynamicznych układu. Trajektoria fazowa wychodzi z punktu przedstawiającego warunki początkowe y(0), y(0),..., y^(n-1)(O) i:

a) albo kończy się w punkcie równowagi

b) albo zdąża do nieskończoności

c) albo przechodzi w krzywa zamkniętą

W przestrzeni fazowej możemy badać nie tylko przebiegi w układach swobodnych, lecz także odpowiedzi układu na wymuszenia skokowe, liniowo narastające oraz na dowolne kombinacje tego typu wymuszeń. Czas jest zawarty pośrednio w trajektorii fazowej i może być odtworzony z wykresu.

W zasadne za pomocą trajektorii fazowych możemy rozważać na płaszczyźnie fazowej tyiko układy pierwszego rzędu oraz
te układy drugiego rzędu, których równania dają się sprowadzić do postaci:

Dzieląc równania stronami eliminujemy czas i otrzymujemy postać dogodna do analizy na płaszczyźnie fazowej.

Równanie to jest podstawa graficzno-analitycznej metody rozwiązywania równań różniczkowych, twz. metody izoklin. Równanie izoldin:

Zmieniając w tym równaniu wartość stałej C, otrzymamy rodzinę izoklin, na podstawie której wykreślamy przebieg krzywych całkowych, twz portret fazowy.

---